2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值(十六大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬真題練 2題型一：單調(diào)性的定義及判斷 2題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷 2題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性 3題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值 4題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍 4題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小 5題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明 5題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù) 6題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值 6題型十：奇函數(shù)的中值模型 7題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式 7題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用 8題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用 9題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用 9題型十五：類周期與倍增函數(shù) 10題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性 1002重難創(chuàng)新練 1103真題實(shí)戰(zhàn)練 13題型一：單調(diào)性的定義及判斷1．下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．2．（2024·高三·黑龍江齊齊哈爾·期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減3．（2024·高三·上海靜安·期中）已知函數(shù)，且.(1)求的值，并指出函數(shù)的奇偶性；(2)在（1）的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是增函數(shù).題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函數(shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足對于任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值11．（2024·上海松江·二模）已知，函數(shù)，若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．（2024·高三·北京東城·期末）設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為.②若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最大值是.14．函數(shù)的最大值為.題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍15．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．16．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．17．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．18．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小19．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，,若，則（

）A． B． C． D．20．（2024·北京西城·一模）設(shè)，其中，則（

）A． B．C． D．21．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且則的大小關(guān)系為A． B．C． D．題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明22．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)23．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．24．（2024·高三·江西·期中）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)25．（多選題）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．26．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2).題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)27．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則28．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）函數(shù)為奇函數(shù)，則.29．（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)是奇函數(shù)，則.30．設(shè)奇函數(shù)，則的值為.題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值31．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，則．32．已知偶函數(shù)和奇函數(shù)均定義在上，且滿足，則．33．已知，是分別定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則.34．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．題型十：奇函數(shù)的中值模型35．（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且最大值為1，則函數(shù)的最大值和最小值的和為.36．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中且，，，則和的值一定不會是（

）A．和 B．-3和4C．3和-1 D．和37．已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.38．已知函數(shù)，則是（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函數(shù)；若，則.39．（2024·安徽安慶·三模）若，都有成立，則函數(shù)在上的最大值與最小值的和為.題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式40．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．41．（2024·遼寧大連·一模）設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．42．（2024·云南貴州·二模）若函數(shù)的定義域?yàn)榍覉D象關(guān)于軸對稱，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解是（

）A． B．C． D．43．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用44．（2024·陜西寶雞·二模）請寫出一個(gè)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱的函數(shù)的解析式．45．（2024·四川瀘州·一模）函數(shù)的對稱中心為．46．已知函數(shù)，函數(shù)滿足，若與的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于.47．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的是（

）A． B．C． D．48．（2024·高三·陜西漢中·期中）已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，，…，，則等于（

）A． B． C． D．題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用49．已知函數(shù)的定義域是，，，當(dāng)時(shí)，，則．50．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則．51．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則．52．（多選題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（

）A．的一個(gè)周期為4 B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱中心C．時(shí)， D．題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用53．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)的定義域均為R，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，則（

）A． B． C．3 D．454．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)且，，則（

）A．21 B．22 C． D．55．（2024·高三·河南濮陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，若，則.56．（2024·江西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（

）A． B． C． D．57．（2024·山東日照·二模）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．658．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.題型十五：類周期與倍增函數(shù)59．（2024·江西上饒·一模）已知函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間[－2，4]內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．A． B．C． D．60．（2024·河北衡水·一模）定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，，若任給，存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）.A． B．C． D．題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性61．已知定義在上的函數(shù)滿足：．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)若，求；(3)若，判斷并證明的單調(diào)性．62．已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且．(1)求，，的值；(2)判斷的奇偶性，并證明．63．已知函數(shù)對任意，，總有，且當(dāng)時(shí)，，．(1)求證：是上的奇函數(shù)；(2)求證：是上的減函數(shù)；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．方程有解C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)3．（2024·河北保定·二模）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．4．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)6．（2024·遼寧沈陽·三模）已知是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A． B． C． D．17．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)的圖象在x軸上方，對，都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．為偶函數(shù)C．有最小值 D．在上單調(diào)遞增9．（多選題）（2024·湖南常德·一模）若定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)都有且，則下列判斷正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．在定義域上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，D．10．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則下列說法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．11．（多選題）（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，則（

）A． B．函數(shù)是奇函數(shù) C． D．的一個(gè)周期為312．（多選題）（2024·廣東茂名·二模）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.若，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．213．（2024·山東濰坊·二模）請寫出同時(shí)滿足下面三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)解析式．①；②至少有兩個(gè)零點(diǎn)；③有最小值．14．（2024·廣西南寧·二模）定義域?yàn)镽的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．若，則．15．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù).16．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則的中位數(shù)為.1．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若為偶函數(shù)，則．2．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知，，且是奇函數(shù)，則．5．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．7．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．8．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．9．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．10．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．111．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．12．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．13．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．114．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．15．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.16．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若是奇函數(shù)，則，．第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬真題練 2題型一：單調(diào)性的定義及判斷 2題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷 3題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性 4題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值 6題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍 8題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小 9題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明 11題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù) 13題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值 14題型十：奇函數(shù)的中值模型 16題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式 18題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用 20題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用 22題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用 24題型十五：類周期與倍增函數(shù) 28題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性 3002重難創(chuàng)新練 3203真題實(shí)戰(zhàn)練 41題型一：單調(diào)性的定義及判斷1．下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故A不正確；對于B，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)在上是增函數(shù)，故C不正確；對于D，函數(shù)在上是增函數(shù)，故D不正確.故選：B．2．（2024·高三·黑龍江齊齊哈爾·期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且，所以是奇函數(shù)，又，作出函數(shù)圖象如下圖：由圖知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：B3．（2024·高三·上海靜安·期中）已知函數(shù)，且.(1)求的值，并指出函數(shù)的奇偶性；(2)在（1）的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是增函數(shù).【解析】（1）因?yàn)?，又，所以，所以，，此時(shí)，所以為奇函數(shù)；（2）任取，則，因?yàn)?所以,所以,所以即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，解得或，所以的定義域?yàn)?，又開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得，故a的取值范圍是.故選；B.題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函數(shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，不妨設(shè)，則，則，即，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D．8．已知函數(shù)滿足對于任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，對于任意實(shí)數(shù)，都有成立，不妨設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：D9．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，函數(shù)是增函數(shù)，則，即；由，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是在上恒成立，因此在上恒成立，即；又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，從而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B10．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，由函數(shù)解析式可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增不滿足題意，故在R上單調(diào)遞減，所以，解得：.題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值11．（2024·上海松江·二模）已知，函數(shù)，若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【解析】由題意，令，，，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)榇嬖谧钚≈?，故需，解得，結(jié)合，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)榇嬖谧钚≈担市?，即，解得，這與矛盾；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且在上的值域?yàn)?，，此時(shí)存在最小值2；則實(shí)數(shù)的取值范圍為或．故答案為：或．12．（2024·高三·北京東城·期末）設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為.②若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為；②由，則當(dāng)時(shí)，，由有最小值，故當(dāng)時(shí)，的最小值小于等于，則當(dāng)且時(shí)，有，符合要求；當(dāng)時(shí)，，故不符合要求，故舍去.綜上所述，.故答案為：；.13．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最大值是.【答案】16【解析】由，而，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，則的最大值是16.故答案為：1614．函數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，令，則，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即函數(shù)的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故答案為：題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍15．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象對稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C16．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)的對稱軸是，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)椋虼?，所以的取值范圍?故選：A．17．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B18．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，依題意，，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小19．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，,若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于成軸對稱，注意到當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，所以距離越遠(yuǎn)值越大，因?yàn)?，距離最遠(yuǎn)的為，故最大，而，且，所以，綜上所述，.故選：A.20．（2024·北京西城·一模）設(shè)，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，故，故，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，，且，綜上所述，有.故選：C.21．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且則的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗?；因?yàn)椋?；故偶函?shù)在,上單調(diào)遞增，故，即故選：B.題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明22．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】A【解析】令，，∴為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令，∴，∴為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令，，∴為偶函數(shù)，故C正確；令，∴，∴為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：C23．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槎x域?yàn)椋瑒t，所以函數(shù)的對稱中心為，所以將函數(shù)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.24．（2024·高三·江西·期中）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】B【解析】對A，，故是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對B，，故是偶函數(shù)，故B正確；對C，，故是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對D，，故是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B25．（多選題）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BBC【解析】對于A中，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以為的奇函?shù)，符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為的奇函?shù)，符合題意；對于C中，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為定義域上的奇函數(shù)，符合題意；對于D中，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為定義域上的偶函數(shù)，不符合題意.故選：ABC.26．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2).【解析】（1）由題意知，，或，所以定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以，所以，所以為奇函數(shù).（2）由題意知的定義域?yàn)?，，所以，所以，所以為奇函?shù).題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)27．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則【答案】【解析】，又，易知的對稱中心是，把它的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平行一個(gè)單位得圖象的函數(shù)為奇函數(shù)．，由題意，∴，．故答案為：－2．28．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）函數(shù)為奇函數(shù)，則.【答案】【解析】設(shè)，若函數(shù)是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即，則，則.故答案為：29．（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，，而當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，而當(dāng)時(shí)，，則，所以，.故答案為：30．設(shè)奇函數(shù)，則的值為.【答案】0【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：.題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值31．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，則．【答案】27【解析】因?yàn)?，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，而，①所以，即，②由①②得，所以．故答案為：.32．已知偶函數(shù)和奇函數(shù)均定義在上，且滿足，則．【答案】【解析】因?yàn)椤偎砸驗(yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以……②①②聯(lián)立解得：，，所以.故答案為：.33．已知，是分別定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則.【答案】【解析】和已知條件相加得故故故答案為：34．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：B題型十：奇函數(shù)的中值模型35．（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且最大值為1，則函數(shù)的最大值和最小值的和為.【答案】2【解析】奇函數(shù)如果存在最值，則最大值和最小值之和為0，所以函數(shù)最大值和最小值之和為0，則函數(shù)的最大值和最小值之和為2.故答案為：2.36．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中且，，，則和的值一定不會是（

）A．和 B．-3和4C．3和-1 D．和【答案】A【解析】令，，易得，，所以，因?yàn)椋詾槠鏀?shù)，驗(yàn)證可知A、B、D三組數(shù)值和均為奇數(shù)，C組數(shù)值和為偶數(shù)，故C組數(shù)值一定不是和的值.故選：C.37．已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】2【解析】令，由，得定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，又是增函數(shù)，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，由，得，即，則，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，所以的最小值為2.故答案為：238．已知函數(shù)，則是（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函數(shù)；若，則.【答案】奇【解析】因?yàn)槎x域?yàn)镽,則，則，所以為奇函數(shù).因?yàn)?，所以，所以，所以故答案為：奇?9．（2024·安徽安慶·三模）若，都有成立，則函數(shù)在上的最大值與最小值的和為.【答案】【解析】依題意，，都有成立，令，則，所以；令，，即令，則的定義域?yàn)椋?，故為上的奇函?shù)，，令，則的定義域?yàn)?，且，故為上的奇函?shù)，故為上的奇函數(shù)，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故在上的最大值與最小值的和為故為上的最大值與最小值的和為，故答案為：題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式40．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知，，令，則，所以是奇函數(shù)．又由，可得，即，得．由，因?yàn)榫鶠樯系臏p函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A41．（2024·遼寧大連·一模）設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，顯然定義域?yàn)?，，又，所以為上的奇函?shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，又，則，所以，即，所以，解得，則滿足的的取值范圍是．故選：C．42．（2024·云南貴州·二模）若函數(shù)的定義域?yàn)榍覉D象關(guān)于軸對稱，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)且，所以在范圍內(nèi)的解為.因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上圖象關(guān)于軸對稱，所以在內(nèi)的解為，所以不等式在R內(nèi)的解為.故選：C43．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】記，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以為偶函?shù).所以，又在上單調(diào)遞增，所以，即，解得.故選：C題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用44．（2024·陜西寶雞·二模）請寫出一個(gè)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱的函數(shù)的解析式．【答案】（答案不唯一）【解析】的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．同樣如函數(shù)也滿足題意．故答案為：（答案不唯一）．45．（2024·四川瀘州·一模）函數(shù)的對稱中心為．【答案】【解析】因?yàn)?，則的圖象可以由函數(shù)向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以關(guān)于對稱.故答案為：46．已知函數(shù)，函數(shù)滿足，若與的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于.【答案】6【解析】已知函數(shù)，繪制其圖像如下圖：根據(jù)圖像易知函數(shù)關(guān)于中心對稱；又函數(shù)滿足，易知也關(guān)于中心對稱.由于與均關(guān)于中心對稱，可得兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于中心對稱，設(shè)其交點(diǎn)分別為，，…，，根據(jù)對稱性易知，即得：.故答案為：47．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)所求函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，由題意知點(diǎn)Q在的圖象上，可得，即函數(shù)關(guān)于對稱的函數(shù)解析式為．故選：D．48．（2024·高三·陜西漢中·期中）已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，，…，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對稱，因?yàn)椋缘膶ΨQ中心為，，所以也關(guān)于對稱，所以與兩個(gè)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于對稱，所以對于每組對稱點(diǎn)和均滿足，，所以.故選：B.題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用49．已知函數(shù)的定義域是，，，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【解析】由得：，又，，，，.故答案為：.50．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，用替換上式中的，可得，在中，用替換，可得，所以，用替換該式中的，可得，所以，所以函數(shù)的周期為，在中，令，得，在中，令，得，在中，令，得，所以，所以.故答案為：.51．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則．【答案】【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)為周期函數(shù)，周期為，所以，由，可得，由，可得，所以，所以，故答案為：.52．（多選題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（

）A．的一個(gè)周期為4 B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱中心C．時(shí)， D．【答案】BD【解析】為奇函數(shù)，，且，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于直線對稱，，即，，令，則，，，故的一個(gè)周期為4，故A正確；則直線是函數(shù)的一個(gè)對稱軸，故B不正確；當(dāng)時(shí)，，，，又，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；，故D正確.故選：AD.題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用53．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)的定義域均為R，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，，即，即①，由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得②，由可得，又得，兩式相加，，將①式代入，得，則得，將②式代入得，，則，于是，即的周期為12.又，由①可得，得，又由可得，即得.因，可得，，于是，故選：B.54．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)且，，則（

）A．21 B．22 C． D．【答案】A【解析】∵為偶函數(shù)且，則，故關(guān)于點(diǎn)對稱，又∵，則，則是以周期為4的周期函數(shù)，故關(guān)于點(diǎn)對稱，∴，則，又∵，則，故.故選：C.55．（2024·高三·河南濮陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，若，則.【答案】【解析】對任意，由于，且函數(shù)的定義域?yàn)?，故點(diǎn)在曲線上，且曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故點(diǎn)也在曲線上，從而，從而對任意有.從而對任意，由知，即.根據(jù)條件又有，即.現(xiàn)在對任意的整數(shù)，我們有：，所以，從而有：.故有：.故答案為：.56．（2024·江西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可知關(guān)于對稱，又，則，又，則，，.故選：A.57．（2024·山東日照·二模）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．6【答案】C【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，即，即，所以.所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱.又是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)的周期為4.所以，所以.58．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【解析】因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，所以，，所以函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)關(guān)于對稱，由可得，即，為常數(shù)，所以，即關(guān)于點(diǎn)對稱，且函數(shù)關(guān)于對稱，所以，，故，即是函數(shù)的一個(gè)周期，由可得，所以，即，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，且函數(shù)關(guān)于對稱，則，，故，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，由，令，則，而，所以，則，所以，則.故答案為：題型十五：類周期與倍增函數(shù)59．（2024·江西上饒·一模）已知函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間[－2，4]內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又時(shí)，，所以可作出函數(shù)在[－2，4]的圖像如下：又函數(shù)在區(qū)間[－2，4]內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)與在區(qū)間[－2，4]內(nèi)有3個(gè)不同交點(diǎn)，由圖像可得或,即或.故選D60．（2024·河北衡水·一模）定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，，若任給，存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，可得在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在，上的值域?yàn)椋?，在上的值域?yàn)?，，在上的值域?yàn)?，，，，在上的值域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，在，上的值域?yàn)?，，，解得；?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，在，上的值域?yàn)?，，，解得；?dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，值域?yàn)?，不符合題意；綜上，的范圍是或．故選：．題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性61．已知定義在上的函數(shù)滿足：．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)若，求；(3)若，判斷并證明的單調(diào)性．【解析】（1）是奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)椋?，得到，令，得到，即，所以是奇函?shù).（2）令，得到，由（1）知是奇函數(shù)，所以.（3）在上單調(diào)遞增，證明如下：在上任取，令，則，又因?yàn)?，而，所以，即，得到，所以在上單調(diào)遞增.62．已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且．(1)求，，的值；(2)判斷的奇偶性，并證明．【解析】（1）令，得，因?yàn)椋裕?，得，因?yàn)?，所以．令，得，即，因?yàn)椋?，所以．?）為偶函數(shù)．證明如下：令，得，由（1）得，即，又的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)．63．已知函數(shù)對任意，，總有，且當(dāng)時(shí)，，．(1)求證：是上的奇函數(shù)；(2)求證：是上的減函數(shù)；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）證明：函數(shù)對任意，，總有，令，則，解得.令，得到，則可證，是上的奇函數(shù).（2）證明：在上任取、且，則，由（1）是上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所?由題可知，當(dāng)時(shí)，，所以.即所以函數(shù)是上的減函數(shù).（3）因?yàn)?，令，則令，則.因?yàn)?，所以又因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以，則，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.1．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】C【解析】由，得且，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以選項(xiàng)A正確．因?yàn)椋允呛瘮?shù)的一個(gè)周期，由選項(xiàng)A知點(diǎn)是函數(shù)的圖象的對稱中心，則也是函數(shù)的圖象的對稱中心，所以選項(xiàng)B正確．因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以選項(xiàng)C正確．方法一：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．方法二：因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．方程有解C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】A【解析】對于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋覞M足，取，得，則，取，得，則，故錯(cuò)誤；對于B，取，得，則，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程無解，故B錯(cuò)誤.對于CD，由知，所以是偶函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，錯(cuò)誤.故選：C.3．（2024·河北保定·二模）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，即，即，所以.因?yàn)?，所以?故選：A4．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意得，函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，由奇函?shù)的性質(zhì)得，，解得，經(jīng)過檢驗(yàn)符合題意，所以當(dāng)時(shí)，，所以.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，不恒成立，故，A錯(cuò)誤．B：解法一

令，得，又，所以，故，B錯(cuò)誤．解法二

令，得，又，所以，B錯(cuò)誤．C：解法一

由B選項(xiàng)的解法一可知，則，所以為奇函數(shù)，C錯(cuò)誤，D正確．解法二

令，得，又，所以，所以，結(jié)合選項(xiàng)得C錯(cuò)誤，D正確．綜上可知，選D．6．（2024·遼寧沈陽·三模）已知是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，又是奇函數(shù)，所以，即，所以，則，所以是以為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以.故選：A7．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)的圖象在x軸上方，對，都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，故有．因?yàn)?，都有，所以，所以，又函?shù)的圖象在x軸上方，所以，所以，即函數(shù)的周期為4．當(dāng)，可得，所以，當(dāng)，可得，所以，所以，所以.故選：C．8．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．為偶函數(shù)C．有最小值 D．在上單調(diào)遞增【答案】A【解析】由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，令，則，得，時(shí)，恒成立，無法確定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定為偶函數(shù)，B不確定；由于的對稱軸為與的位置關(guān)系不確定，故在上不一定單調(diào)遞增，D也不確定，由于表示開口向上的拋物線，故函數(shù)必有最小值，C正確，故選：C9．（多選題）（2024·湖南常德·一模）若定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)都有且，則下列判斷正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．在定義域上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，D．【答案】BCD【解析】由知恒成立，再由知恒成立.設(shè)，則，且.故，.由于，故.而，故歸納即知.又因?yàn)閷τ校蕷w納即知.特別地有，故，所以對有.這就得到了，從而.設(shè)有無理數(shù)，有理數(shù)數(shù)列使得，由于是連續(xù)的，故，而，故.這就表明.由于，故不是奇函數(shù)，故其圖象并不關(guān)于原點(diǎn)對稱，A錯(cuò)誤；由于在定義域上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，故B，C正確；對于D，由可得，從而，D正確.故選：BCD.10．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則下列說法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【答案】BC【解析】方法一：先介紹正弦平方差公式：．證明過程如下：．由題意，可以令，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．因?yàn)?，故選項(xiàng)B正確．因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確．因?yàn)?，故，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．方法二：對于選項(xiàng)A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤．對于選項(xiàng)B，令，則．而，所以，故選項(xiàng)B正確．對于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B可知，，令，則，所以．又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故C正確．對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)B以及，可得，所以，同理可得．因?yàn)?，故，故D錯(cuò)誤．故選：BC11．（多選題）（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，則（

）A． B．函數(shù)是奇函數(shù) C． D．的一個(gè)周期為3【答案】BC【解析】令，則，所以，A選項(xiàng)正確；令，則，即，所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，令，則，令，則，所以，所以，因?yàn)椋?，，C選項(xiàng)正確；令，則，所以，，所以，的一個(gè)周期為6，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC．12．（多選題）（2024·廣東茂名·二模）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.若，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則不等式，可變形為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則不等式成立，則，解得，1，2符合題意，故選：CD.13．（2024·山東濰坊·二模）請寫出同時(shí)滿足下面三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)解析式．①；②至少有兩個(gè)零點(diǎn)；③有最小值．【答案】（答案不唯一）【解析】取，其對稱軸為，滿足①，令，解得或2，滿足②至少有兩個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)，，滿足③有最小值.故答案為：（答案不唯一）.14．（2024·廣西南寧·二模）定義域?yàn)镽的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．若，則．【答案】2499【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，則即，又的圖象關(guān)于直線對稱，則，所以，即，可得，則是以4為周期的函數(shù).因?yàn)?，由，令，得，所以，，，所?故答案為：2499.15．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù).【答案】【解析】定義域?yàn)?，，所以，故，故答案為?6．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則的中位數(shù)為.【答案】/【解析】由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對稱，得，兩式相減得，所以，由時(shí)，由，得；由時(shí)，由，得；又由，結(jié)合，，所以成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，且此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，所以的中位數(shù)為：.故答案為：.1．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，所以.故答案為：2.2．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D3．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對A，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?，，則，故A錯(cuò)誤；對B，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對D，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，，則，則不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知，，且是奇函數(shù)，則．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故即，故，故答案為：.5．（