2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章第02講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析(五大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第02講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系 2題型二：一元線性回歸模型 3題型三：非線性回歸 5題型四：列聯(lián)表與獨立性檢驗 7題型五：誤差分析 1002重難創(chuàng)新練 1303真題實戰(zhàn)練 21題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系1．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·上?！と＃┥虾０俾?lián)集團對旗下若干門店的營業(yè)額與三個影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點圖，則下述大小關(guān)系正確的為（

）．A． B． C． D．3．觀察下列散點圖，其中兩個變量的相關(guān)關(guān)系判斷正確的是（

）A．a(chǎn)為正相關(guān)，b為負相關(guān)，c為不相關(guān) B．a(chǎn)為負相關(guān)，b為不相關(guān)，c為正相關(guān)C．a(chǎn)為負相關(guān)，b為正相關(guān)，c為不相關(guān) D．a(chǎn)為正相關(guān)，b為不相關(guān)，c為負相關(guān)4．（2024·四川涼山·三模）調(diào)查某校高三學(xué)生的身高和體重得到如圖所示散點圖，其中身高和體重相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．學(xué)生身高和體重沒有相關(guān)性B．學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)C．學(xué)生身高和體重呈負相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是題型二：一元線性回歸模型5．在2024年8月8日召開的中國操作系統(tǒng)產(chǎn)業(yè)大會上，國產(chǎn)操作系統(tǒng)銀河麒麟發(fā)布了首個人工智能版本，該系統(tǒng)通過多項技術(shù)創(chuàng)新實現(xiàn)了人工智能與操作系統(tǒng)的深度融合，可廣泛應(yīng)用于自動駕駛?醫(yī)療健康?教育等多個領(lǐng)域，標志著中國在自主操作系統(tǒng)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)新突破.某新能源車企采用隨機調(diào)查的方式并統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)市面上可以實現(xiàn)自動駕駛的新能源汽車上可為乘客提供的功能數(shù)目與汽車上所安裝的人工智能芯片個數(shù)線性相關(guān)，且根據(jù)樣本點求得的回歸直線方程為，若在回歸直線上，則.6．（2024·江西·一模）已知變量y與x線性相關(guān)，由樣本點求得的回歸方程為，若點在回歸直線上，且，，則．7．題圖所示是某地2014年至2020年生活垃圾無害化處理量（單位：萬噸）的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2014～2020．(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2022年某地生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，．8．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）傳統(tǒng)燃油汽車與新能源汽車相比，有著明顯的缺點：如傳統(tǒng)燃油汽車在行駛過程中會產(chǎn)生尾氣排放和噪音污染，環(huán)保性能較差、能源效力較低等我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表．年份t20192020202120222023年份代碼12345銷量y（萬輛）1113182127(1)統(tǒng)計表明銷量y與年份代碼x有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性同歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)該企業(yè)隨機調(diào)查了該地區(qū)2023年的購車情況．據(jù)調(diào)查，該地區(qū)2023年購置新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車的人數(shù)的比例大約為．從被調(diào)查的2023年所有車主中按分層抽樣抽取12人，再從12人中隨機抽取3人，記這3人中購置新能源汽車的人數(shù)為X，求X的分布列和期望．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．題型三：非線性回歸9．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）當前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響生活的方方面面，人工智能被認為是推動未來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段.某公司在這個領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬元）與其年銷售量（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表.（百萬）12345（千件）0.511.535.5(1)若該公司科研團隊計劃用方案①作為年銷售量關(guān)于年投資額的回歸分析模型，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)及參考公式，確定該經(jīng)驗回歸方程；(2)若該公司科研團隊計劃用方案②作為年銷售量關(guān)于年投資額的回歸分析模型，的殘差平方和，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)及參考公式，比較兩種模型的擬合效果哪種更好？并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測年投入額為6百萬元時，產(chǎn)品的銷售量約為多少？（計算結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位）參考公式及數(shù)據(jù)：，10．紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害.每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）關(guān)于平均溫度（℃）的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；附：回歸方程中，.參考數(shù)據(jù)52152347.333.62781.33.6(2)現(xiàn)在有10根棉花纖維，其中有6根為長纖維，4根為短纖維，從中隨機抽取3根棉花纖維，設(shè)抽到的長纖維棉花的根數(shù)為X，求X的分布列.11．（2024·山東濟南·三模）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．(1)根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，題型四：列聯(lián)表與獨立性檢驗12．為了增強學(xué)生的身體素質(zhì)，提高適應(yīng)自然環(huán)境、克服困難的能力，某校在課外活動中新增了一項登山活動，并對“學(xué)生喜歡登山和性別是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，得到如圖所示的等高條形統(tǒng)計圖，則下列說法中正確的有．①被調(diào)查的學(xué)生中喜歡登山的男生人數(shù)比喜歡登山的女生人數(shù)多②被調(diào)查的女生中喜歡登山的人數(shù)比不喜歡登山的人數(shù)多③若被調(diào)查的男女生均為100人，則可以認為喜歡登山和性別有關(guān)④無論被調(diào)查的男女生人數(shù)為多少，都可以認為喜歡登山和性別有關(guān)13．觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間的隨機變量的觀測值最小的是（

）A． B．C． D．14．為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.(1)填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān)；單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，記100個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量.求及取最大值時的值.參考公式：（其中為樣本容量）參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87915．某市銷售商為了解A、B兩款手機的款式與購買者性別之間是否有關(guān)系，對一些購買者做了問卷調(diào)查，得到列聯(lián)表如表所示：購買A款購買B款總計女252045男154055總計4060100(1)根據(jù)小概率之值的獨立檢驗，能否認為購買手機款式與性別有關(guān)？(2)用購買每款手機的頻率估計一個顧客購買該款手機的概率，從所有購買兩款手機的人中，選出3人作為幸運顧客，記3人中購買款手機的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：（其中）.臨界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．樹德中學(xué)為了調(diào)查中學(xué)生周末回家使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲情況，學(xué)校德育處隨機選取高一年級中的100名男同學(xué)和100名女同學(xué)進行無記名問卷調(diào)查.問卷調(diào)查中設(shè)置了兩個問題：①你是否為男生?②你是否使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲?調(diào)查分兩個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)：先確定回答哪一個問題，讓被調(diào)查的200名同學(xué)從裝有3個白球，3個黑球(除顏色外完全相同)的袋子中隨機摸取兩個球，摸到同色兩球的學(xué)生如實回答第一個問題，摸到異色兩球的學(xué)生如實回答第二個問題；第二個環(huán)節(jié)：再填寫問卷(只填“是”與“否”).回收全部問卷，經(jīng)統(tǒng)計問卷中共有70張答案為“是”.(1)根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果，利用你所學(xué)的知識，估計該校中學(xué)生使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲的概率；(2)據(jù)核查以上的200名學(xué)生中有30名男學(xué)生使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲，按照(1)中的概率計算，依據(jù)小概率值α=0.15的獨立性檢驗，能否認為中學(xué)生使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲與性別有關(guān)聯(lián)；若有關(guān)聯(lián)，請解釋所得結(jié)論的實際含義.參考公式和數(shù)據(jù)如下：.α0.150.100.050.0250.005xα2.0722.7063.8415.0247.879題型五：誤差分析17．在建立兩個變量與的回歸模型時，分別選擇了4個不同的模型，模型1、2、3、4的決定系數(shù)依次為0.20，0.48，0.96，0.85，則其中擬合效果最好的模型是（

）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型418．已知一系列樣本點的一個經(jīng)驗回歸方程為，若樣本點的殘差為2，則（

）．A． B．1 C． D．519．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）下列說法中錯誤的是（

）A．獨立性檢驗的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異B．兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，若越接近1，則x與y之間的線性相關(guān)程度越強C．若一組樣本數(shù)據(jù)（）的樣本點都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r為0.98D．由一組樣本數(shù)據(jù)（）求得的回歸直線方程為，設(shè)，則20．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的決定系數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（

）A．模型1（決定系數(shù)為0.97） B．模型2（決定系數(shù)為0.85）C．模型3（決定系數(shù)為0.40） D．模型4（決定系數(shù)為0.25）21．（2024·山東·一模）相關(guān)變量的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程：，相關(guān)系數(shù)為.則（

）

A．B．C．D．22．（2024·四川·模擬預(yù)測）下表是某工廠記錄的一個反應(yīng)器投料后，連續(xù)8天每天某種氣體的生成量（L）：日期代碼x12345678生成的氣體y（L）481631517197122為了分析該氣體生成量變化趨勢、工廠分別用兩種模型：①，②對變量x和y的關(guān)系進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下：注：殘差：經(jīng)計算得，，，，其中，(1)根據(jù)殘差圖、比較模型①，模型②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個模型？并簡要說明理由；(2)根據(jù)（1）問選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；(3)若在第8天要根據(jù)（2）問求出的回歸方程來對該氣體生成量做出預(yù)測，那么估計第9天該氣體生成量是多少？（精確到個位）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．23．（2024·河北唐山·三模）據(jù)統(tǒng)計，某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元）與某類商品銷售額（單位：億元）的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第年12345678910居民年收入32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷售額25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計量的值.379.6391247.624568.9(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù).以此推斷，與的線性相關(guān)程度是否很強？(2)根據(jù)統(tǒng)計量的值與樣本相關(guān)系數(shù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(3)根據(jù)（2）的經(jīng)驗回歸方程，計算第1個樣本點對應(yīng)的殘差（精確到0.01）；并判斷若剔除這個樣本點再進行回歸分析，的值將變大還是變?。浚ú槐卣f明理由，直接判斷即可）.附：樣本的相關(guān)系數(shù)，，，.1．中華人民共和國體育代表團參加夏季奧運會以來，中國健兒們不斷取得好成績，到今天成長為體育大國，從2000年以來，金牌情況統(tǒng)計如下（不含中國香港?中國臺灣）：中國體育代表團夏季奧運會獲得金牌數(shù)屆數(shù)第27屆第28屆第29屆第30屆第31屆第32屆屆數(shù)代碼123456地點2000年悉尼2004年雅典2008年北京2012年倫敦2016年里約熱內(nèi)盧2021年東京金牌數(shù)283248382638根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程，若不考慮其他因素，根據(jù)回歸方程預(yù)測第33屆（2024年巴黎奧運會）中國體育代表團金牌總數(shù)為（

）（精確到0.01，金牌數(shù)精確到1，參考數(shù)據(jù)：）；參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.A．29 B．33 C．37 D．452．某運動制衣品牌為了使成衣尺寸更精準，現(xiàn)選擇15名志愿者，對其身高和臂展進行測量（單位：），圖①為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，圖②為身高與臂展所對應(yīng)的散點圖，并求得其回歸直線方程為，則下列結(jié)論中不正確的為（

）A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系C．可估計身高為的人臂展大約為D．身高相差的兩人臂展都相差3．（2024·高三·上海·單元測試）下圖是某地區(qū)2010年至2019年污染天數(shù)（單位：天）與年份的折線圖．根據(jù)2010年至2014年數(shù)據(jù)，2015年至2019年的數(shù)據(jù)，2010年至2019年的數(shù)據(jù)分別建立線性回歸模型，，，則（

）A．， B．，C．， D．，4．在研究變量與之間的相關(guān)關(guān)系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)誤差較大，剔除這對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗回歸方程為，且，則（

）A．13.5 B．14 C．14.5 D．155．（2024·湖南邵陽·三模）某學(xué)習(xí)小組對一組數(shù)據(jù)進行回歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程，樣本點的中心為.乙同學(xué)對甲的計算過程進行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程，則實數(shù)（

）A． B． C． D．6．為考察兩個變量，的相關(guān)性，搜集數(shù)據(jù)如表，則兩個變量的線性相關(guān)程度（

）510152025103105110111114（參考數(shù)據(jù)：，，）A．很強 B．很弱 C．無相關(guān) D．不確定7．（2024·高三·上?！ふn堂例題）為了調(diào)查各參賽人員對主辦方的滿意程度，研究人員隨機抽取了500名參賽運動員進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示，現(xiàn)有如下說法：①在參與調(diào)查的500名運動員中任取1人，抽到對主辦方表示滿意的男性運動員的概率為；②在犯錯誤的概率不超過的前提下可以認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關(guān)”；③沒有的把握認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關(guān)”；則正確命題的個數(shù)為（

）男性運動員（人）女性運動員（人）對主辦方表示滿意200220對主辦方表示不滿意5030注：0.6000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．38．（2024·福建寧德·三模）2024海峓兩岸各民族歡度“三月三”暨福籽同心愛中華福建省第十一屆“三月三”畬族文化節(jié)活動在寧德隆重開幕.海峽兩岸各民族同胞齊聚于此，與當?shù)厝罕姽餐瑲g慶“三月三”，暢敘兩岸情.在活動現(xiàn)場，為了解不同時段的入口游客人流量，從上午10點開始第一次向指揮中心反饋入口人流量，以后每過一個小時反饋一次.指揮中心統(tǒng)計了前5次的數(shù)據(jù)，其中為第次入口人流量數(shù)據(jù)（單位:百人），由此得到關(guān)于的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程（參考數(shù)據(jù):），可頂測下午4點時入口游客的人流量為（

）A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.09．（多選題）現(xiàn)統(tǒng)計具有線性相關(guān)關(guān)系的變量X，Y，Z的n組數(shù)據(jù)，如下表所示：變量123…n平均數(shù)方差X…Y…Z…并對它們進行相關(guān)性分析，得到，Z與的相關(guān)系數(shù)是，，Z與Y的相關(guān)系數(shù)是，則下列判斷正確的是（

）附：經(jīng)驗回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，相關(guān)系數(shù).A． B．C． D．10．（多選題）（2024·高三·河北保定·開學(xué)考試）某機構(gòu)抽樣調(diào)查一批零件的尺寸和質(zhì)量，得到樣本數(shù)據(jù)，并計算得該批零件尺寸和質(zhì)量的平均值分別為3和60，方差分別為4和400，且.則（

）（參考公式：相關(guān)系數(shù).回歸直戰(zhàn)的方程是：，其中）A．樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為B．樣本數(shù)據(jù)關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為C．樣本數(shù)據(jù)所得回歸直線的殘差平方和為0D．若數(shù)據(jù)均滿足正態(tài)分布，則估計11．（多選題）（2024·福建泉州·一模）為了研究青少年長時間玩手機與近視率的關(guān)系，現(xiàn)從某校隨機抽查600名學(xué)生，經(jīng)調(diào)查，其中有的學(xué)生近視，有的學(xué)生每天玩手機超過1小時，玩手機超過1小時的學(xué)生的近視率為．用頻率估計概率，則（

）（附：，其中．）0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．如果抽查的一名學(xué)生近視，則他每天玩手機超過1小時的概率為B．如果抽查的一名學(xué)生玩手機不超過1小時，則他近視的概率為C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可認為每天玩手機超過1小時會影響視力D．從該校抽查10位學(xué)生，每天玩手機超過1小時且近視的人數(shù)的期望為512．隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴重，空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下，對人體的呼吸系統(tǒng)造成了的嚴重的影響．現(xiàn)調(diào)查了某市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康狀況，得到列聯(lián)表如下，則．（結(jié)果精確到0.001）室外工作室內(nèi)工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病150無呼吸系統(tǒng)疾病100總計20013．（2024·重慶·三模）對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸方程，則在樣本點處的殘差為.14．我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù).通過對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).令，，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：262156526805.36112501302.612請從相關(guān)系數(shù)的角度分析，模型擬合程度更好是；利用模型擬合程度更好的模型以及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程為；（系數(shù)精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中：，15．（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）為了緩解高三學(xué)生學(xué)業(yè)壓力，學(xué)校開展健美操活動，高三某班文藝委員調(diào)查班級學(xué)生是否愿意參加健美操，得到如下的列聯(lián)表.性別愿意不愿意男生610女生186(1)根據(jù)該列聯(lián)表，并依據(jù)顯著水平的獨立性檢驗，判斷能否認為“學(xué)生性別與是否愿意參加健美操有關(guān)”；(2)在愿意參加的所有學(xué)生中，根據(jù)性別，分層抽樣選取8位學(xué)生組織班級健美操隊，并從中隨機選取2人作為領(lǐng)隊，記這2人中女生人數(shù)為隨機變量，求的分布及期望.附：.16．（2024·高三·廣西貴港·開學(xué)考試）為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：男學(xué)生女學(xué)生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100(1)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩有關(guān)聯(lián)？(2)已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步.假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個數(shù)都增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，則，.17．為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間（x分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成績（y分）的關(guān)系，某實驗小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）.編號12345學(xué)習(xí)時間x3040506070數(shù)學(xué)成績y65788599108(1)求數(shù)學(xué)成績與學(xué)習(xí)時間的相關(guān)系數(shù)（精確到0.001）；(2)請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合，并求出關(guān)于的回歸直線方程，并由此預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間為100分鐘時的數(shù)學(xué)成績（參考數(shù)據(jù)：，的方差為200）；(3)基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí).經(jīng)過一學(xué)期的實施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生.按照是否參與周末在校自主學(xué)習(xí)以及成績是否有進步統(tǒng)計，得到列聯(lián)表（表二）.依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗，分析“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進步”是否有關(guān).沒有進步有進步合計參與周末在校自主學(xué)習(xí)35130165未參與周末不在校自主學(xué)習(xí)253055合計60160220附：方差：相關(guān)系數(shù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．（2024·河北秦皇島·三模）將保護區(qū)分為面積大小相近的多個區(qū)域，用簡單隨機抽樣的方法抽取其中15個區(qū)域進行編號，統(tǒng)計抽取到的每個區(qū)域的某種水源指標和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量，得到數(shù)組.已知，，.(1)求樣本的樣本相關(guān)系數(shù)；(2)假設(shè)該植物的壽命為隨機變量（可取任意正整數(shù)），研究人員統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均為0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.（i）求的表達式；（ii）推導(dǎo)該植物壽命期望的值（用表示，取遍），并求當足夠大時，的值.附：樣本相關(guān)系數(shù)；當足夠大時，.19．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）2024年初，冰城哈爾濱充分利用得天獨厚的冰雪資源，成為2024年第一個“火出圈”的網(wǎng)紅城市，冰城通過創(chuàng)新營銷展示了豐富的文化活動，成功提升了吸引力和知名度，為其他旅游城市提供了寶貴經(jīng)驗，從2024年1月1日至5日，哈爾濱太平國際機場接待外地游客數(shù)量如下：（日）12345（萬人）4550606580(1)計算的相關(guān)系數(shù)（計算結(jié)果精確到0.01），并判斷是否可以認為日期與游客人數(shù)的相關(guān)性很強；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；(3)為了吸引游客，在冰雪大世界售票處針對各個旅游團進行了現(xiàn)場抽獎的活動，具體抽獎規(guī)則為：從該旅游團中隨機同時抽取兩名游客，兩名游客性別不同則為中獎．已知某個旅游團中有5個男游客和個女游客，設(shè)重復(fù)進行三次抽獎中恰有一次中獎的概率為，當取多少時，最大？參考公式：，，，參考數(shù)據(jù)：．1．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？(2)估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）(3)是否有的把握認為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？（附：其中，．）2．某（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)？附：，乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8286．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅲ））某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2≥k)0.050

0.0100.001k3.8416.63510.8287．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標Ⅱ））某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.第02講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系 2題型二：一元線性回歸模型 4題型三：非線性回歸 7題型四：列聯(lián)表與獨立性檢驗 11題型五：誤差分析 1602重難創(chuàng)新練 2103真題實戰(zhàn)練 37題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系1．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由散點圖可知，相關(guān)系數(shù)所在散點圖呈負相關(guān)，所在散點圖呈正相關(guān)，所以都為正數(shù)，都為負數(shù)．所在散點圖近似一條直線上，線性相關(guān)性比較強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近，而所在散點圖比較分散，線性相關(guān)性比較弱點，相關(guān)系數(shù)的絕對值越遠離．綜上所得：．

故答案為：B．2．（2024·上?！と＃┥虾０俾?lián)集團對旗下若干門店的營業(yè)額與三個影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點圖，則下述大小關(guān)系正確的為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由散點圖可知，圖一兩個變量成正相關(guān)，且線性相關(guān)性較強，故，圖二、圖三兩個變量都成負相關(guān)，且圖二的線性相關(guān)性更強，故，，，故，所以.故選：C.3．觀察下列散點圖，其中兩個變量的相關(guān)關(guān)系判斷正確的是（

）A．a(chǎn)為正相關(guān)，b為負相關(guān)，c為不相關(guān) B．a(chǎn)為負相關(guān)，b為不相關(guān)，c為正相關(guān)C．a(chǎn)為負相關(guān)，b為正相關(guān)，c為不相關(guān) D．a(chǎn)為正相關(guān)，b為不相關(guān)，c為負相關(guān)【答案】A【解析】根據(jù)給定的散點圖，可得a中的數(shù)據(jù)分布在左下方到右上方的區(qū)域里，為正相關(guān)，b中的數(shù)據(jù)分布在左上方到右下方的區(qū)域里，為負相關(guān)，c中的數(shù)據(jù)各點分布不成帶狀，相關(guān)性不明確，不相關(guān).故選：A.4．（2024·四川涼山·三模）調(diào)查某校高三學(xué)生的身高和體重得到如圖所示散點圖，其中身高和體重相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．學(xué)生身高和體重沒有相關(guān)性B．學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)C．學(xué)生身高和體重呈負相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是【答案】B【解析】由散點圖可知，散點的分布集中在一條直線附近，所以學(xué)生身高和體重具有相關(guān)性，不正確；又身高和體重的相關(guān)系數(shù)為，相關(guān)系數(shù)，所以學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)，正確，不正確；從樣本中抽取一部分，相關(guān)性可能變強，也可能變?nèi)酰赃@部分的相關(guān)系數(shù)不一定是，不正確.故選：.題型二：一元線性回歸模型5．在2024年8月8日召開的中國操作系統(tǒng)產(chǎn)業(yè)大會上，國產(chǎn)操作系統(tǒng)銀河麒麟發(fā)布了首個人工智能版本，該系統(tǒng)通過多項技術(shù)創(chuàng)新實現(xiàn)了人工智能與操作系統(tǒng)的深度融合，可廣泛應(yīng)用于自動駕駛?醫(yī)療健康?教育等多個領(lǐng)域，標志著中國在自主操作系統(tǒng)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)新突破.某新能源車企采用隨機調(diào)查的方式并統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)市面上可以實現(xiàn)自動駕駛的新能源汽車上可為乘客提供的功能數(shù)目與汽車上所安裝的人工智能芯片個數(shù)線性相關(guān)，且根據(jù)樣本點求得的回歸直線方程為，若在回歸直線上，則.【答案】【解析】由題意，點在回歸直線上，所以，所以，又，由在回歸直線上，得，所以，所以.故答案為：.6．（2024·江西·一模）已知變量y與x線性相關(guān)，由樣本點求得的回歸方程為，若點在回歸直線上，且，，則．【答案】6【解析】由題意，點在回歸直線上，代入可得，，解得，因，且樣本中心點在回歸直線上，將條件代入得：，故，解得．故答案為：6.7．題圖所示是某地2014年至2020年生活垃圾無害化處理量（單位：萬噸）的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2014～2020．(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2022年某地生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，．【解析】（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：因為，，，，，所以．因為，故y與t之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系；（2）由（1）結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得，，，所以y關(guān)于t的回歸方程，2022年對應(yīng)的t值為9，故，預(yù)測2022年該地生活垃圾無害化處理量為1.82萬噸．8．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）傳統(tǒng)燃油汽車與新能源汽車相比，有著明顯的缺點：如傳統(tǒng)燃油汽車在行駛過程中會產(chǎn)生尾氣排放和噪音污染，環(huán)保性能較差、能源效力較低等我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表．年份t20192020202120222023年份代碼12345銷量y（萬輛）1113182127(1)統(tǒng)計表明銷量y與年份代碼x有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性同歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)該企業(yè)隨機調(diào)查了該地區(qū)2023年的購車情況．據(jù)調(diào)查，該地區(qū)2023年購置新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車的人數(shù)的比例大約為．從被調(diào)查的2023年所有車主中按分層抽樣抽取12人，再從12人中隨機抽取3人，記這3人中購置新能源汽車的人數(shù)為X，求X的分布列和期望．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．【解析】（1）設(shè)關(guān)于的線性回歸方程，依題意，，，，，因此，，則關(guān)于的線性回歸方程為，令，解得，，取，所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在年能突破萬輛．（2）依題意，按1:3分層抽樣知，12人中有9人購置了傳統(tǒng)燃油汽車，3人購置了新能源汽車，所有可能的取值為，，，，，，，，所以的分布列為：期望.題型三：非線性回歸9．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）當前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響生活的方方面面，人工智能被認為是推動未來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段.某公司在這個領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬元）與其年銷售量（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表.（百萬）12345（千件）0.511.535.5(1)若該公司科研團隊計劃用方案①作為年銷售量關(guān)于年投資額的回歸分析模型，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)及參考公式，確定該經(jīng)驗回歸方程；(2)若該公司科研團隊計劃用方案②作為年銷售量關(guān)于年投資額的回歸分析模型，的殘差平方和，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)及參考公式，比較兩種模型的擬合效果哪種更好？并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測年投入額為6百萬元時，產(chǎn)品的銷售量約為多少？（計算結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位）參考公式及數(shù)據(jù)：，【解析】（1）由題意，，，所以線性回歸方程為.（2）按（1）可得，根據(jù)題意可得如下數(shù)據(jù)：x12345y0.511.535.51.12.33.54.7方案①的殘差平方和為，由于，故方案②非線性回歸方程擬合效果更好.當時，(千件)，故當年投入額為6百萬元時，產(chǎn)品的銷售量約為9.68千件.10．紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害.每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）關(guān)于平均溫度（℃）的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；附：回歸方程中，.參考數(shù)據(jù)52152347.333.62781.33.6(2)現(xiàn)在有10根棉花纖維，其中有6根為長纖維，4根為短纖維，從中隨機抽取3根棉花纖維，設(shè)抽到的長纖維棉花的根數(shù)為X，求X的分布列.【解析】（1）根據(jù)散點圖的形狀，判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型，將兩邊同時取自然對數(shù)，得，依題意，，，因此，則，于是z關(guān)于x的線性回歸方程為，所以y關(guān)于x的回歸方程為.（2）依題意，X的可能值為，，，所以X的分布列為：012311．（2024·山東濟南·三模）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．(1)根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，【解析】（1）由散點圖的變化趨勢，知適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；（2）由題意得：，，，，所以；（3）令，，估計2024年的企業(yè)利潤為99.25億元．題型四：列聯(lián)表與獨立性檢驗12．為了增強學(xué)生的身體素質(zhì)，提高適應(yīng)自然環(huán)境、克服困難的能力，某校在課外活動中新增了一項登山活動，并對“學(xué)生喜歡登山和性別是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，得到如圖所示的等高條形統(tǒng)計圖，則下列說法中正確的有．①被調(diào)查的學(xué)生中喜歡登山的男生人數(shù)比喜歡登山的女生人數(shù)多②被調(diào)查的女生中喜歡登山的人數(shù)比不喜歡登山的人數(shù)多③若被調(diào)查的男女生均為100人，則可以認為喜歡登山和性別有關(guān)④無論被調(diào)查的男女生人數(shù)為多少，都可以認為喜歡登山和性別有關(guān)【答案】①③【解析】因為被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，由等高堆積條形統(tǒng)計圖可知，喜歡登山的男生占80%，喜歡登山的女生占30%，所以A正確，B錯誤;設(shè)被調(diào)查的男女生人數(shù)均為n，則由等高堆積條形統(tǒng)計圖可得列聯(lián)表如下男女合計喜歡0.8n0.3n1.1n不喜歡0.2n0.7n0.9n合計nn2n由公式可得：.當時，，可以判斷喜歡登山和性別有關(guān)，故C正確；而，所以的值與n的取值有關(guān).故D錯誤.故答案為：①③.13．觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間的隨機變量的觀測值最小的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】等高的條形圖中所占比例相差越小，隨機變量的觀測值越小.故選：B.14．為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.(1)填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān)；單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，記100個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量.求及取最大值時的值.參考公式：（其中為樣本容量）參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879【解析】（1）由頻率分布直方圖知，200只小白鼠按指標值分布為：在內(nèi)有（只）；在）內(nèi)有（只）；在）內(nèi)有（只）；在）內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）由題意，有抗體且指標值小于60的有50只；而指標值小于60的小白鼠共有（只），所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計70130200零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得.根據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關(guān).（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”.記事件發(fā)生的概率分別為，則，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率.（ii）由題意，知隨機變量，所以.又，設(shè)時，最大，所以解得，因為是整數(shù)，所以.15．某市銷售商為了解A、B兩款手機的款式與購買者性別之間是否有關(guān)系，對一些購買者做了問卷調(diào)查，得到列聯(lián)表如表所示：購買A款購買B款總計女252045男154055總計4060100(1)根據(jù)小概率之值的獨立檢驗，能否認為購買手機款式與性別有關(guān)？(2)用購買每款手機的頻率估計一個顧客購買該款手機的概率，從所有購買兩款手機的人中，選出3人作為幸運顧客，記3人中購買款手機的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：（其中）.臨界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）零假設(shè)：假設(shè)購買手機款式與性別無關(guān)..由.根據(jù)小概率值的獨立檢驗，我們推斷不成立，即認為購買手機款式與性別有關(guān).（2）由題設(shè)，從所有購買兩款手機的人中，選出1人購買款手機的概率為，所以，選出3人作為幸運顧客，其中購買款手機的人數(shù)，故，，，.分布列如下：0123所以.16．樹德中學(xué)為了調(diào)查中學(xué)生周末回家使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲情況，學(xué)校德育處隨機選取高一年級中的100名男同學(xué)和100名女同學(xué)進行無記名問卷調(diào)查.問卷調(diào)查中設(shè)置了兩個問題：①你是否為男生?②你是否使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲?調(diào)查分兩個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)：先確定回答哪一個問題，讓被調(diào)查的200名同學(xué)從裝有3個白球，3個黑球(除顏色外完全相同)的袋子中隨機摸取兩個球，摸到同色兩球的學(xué)生如實回答第一個問題，摸到異色兩球的學(xué)生如實回答第二個問題；第二個環(huán)節(jié)：再填寫問卷(只填“是”與“否”).回收全部問卷，經(jīng)統(tǒng)計問卷中共有70張答案為“是”.(1)根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果，利用你所學(xué)的知識，估計該校中學(xué)生使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲的概率；(2)據(jù)核查以上的200名學(xué)生中有30名男學(xué)生使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲，按照(1)中的概率計算，依據(jù)小概率值α=0.15的獨立性檢驗，能否認為中學(xué)生使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲與性別有關(guān)聯(lián)；若有關(guān)聯(lián)，請解釋所得結(jié)論的實際含義.參考公式和數(shù)據(jù)如下：.α0.150.100.050.0250.005xα2.0722.7063.8415.0247.879【解析】（1）因為摸到同色兩球的概率，所以回答第一個問題的人數(shù)為人，回答第二個問題的人數(shù)為人，因為男女人數(shù)相等，是等可能的，所以回答第一個問題，選擇“是”的同學(xué)人數(shù)為人，則回答第二個問題，選擇“是”的同學(xué)人數(shù)為人，所以估計中學(xué)生在考試中有作弊現(xiàn)象的概率為.（2）由(1)可知200名學(xué)生使用智能手機玩網(wǎng)絡(luò)游戲估計有50人，則有20名女生使用智能手機玩網(wǎng)絡(luò)游戲男女合計使用智能手機玩游戲302050不用智能手機玩游戲7080150100100200零假設(shè)為：使用智能手機玩耍游戲與性別無關(guān)，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，因此認為使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于.在男生中使用智能手機玩耍游戲和不使用智能手機玩耍游戲的概率分別為，在女生中使用智能手機玩耍游戲和不使用智能手機玩耍游戲的概率分別為，在被調(diào)查者中男生使用智能手機玩耍游戲是女生的倍，于是根據(jù)概率穩(wěn)定概率的原理，我們可以認為男士使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲的概率大于女生使用智能手機玩耍網(wǎng)絡(luò)游戲的概率.題型五：誤差分析17．在建立兩個變量與的回歸模型時，分別選擇了4個不同的模型，模型1、2、3、4的決定系數(shù)依次為0.20，0.48，0.96，0.85，則其中擬合效果最好的模型是（

）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【答案】C【解析】因為越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，所以這4個不同的模型擬合效果最好的模型是模型3.故選：C18．已知一系列樣本點的一個經(jīng)驗回歸方程為，若樣本點的殘差為2，則（

）．A． B．1 C． D．5【答案】C【解析】由題意得，得,故選：C.19．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）下列說法中錯誤的是（

）A．獨立性檢驗的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異B．兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，若越接近1，則x與y之間的線性相關(guān)程度越強C．若一組樣本數(shù)據(jù)（）的樣本點都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r為0.98D．由一組樣本數(shù)據(jù)（）求得的回歸直線方程為，設(shè)，則【答案】C【解析】A，獨立性檢驗的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異，從而確定研究對象是否有關(guān)聯(lián)，A正確；B，兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，若越接近1，則x與y之間的線性相關(guān)程度越強，B正確；C，若一組樣本數(shù)據(jù)（）的樣本點都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r為1，C錯誤；D，由殘差分析可知，介于0與1之間，D正確.故選：C20．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的決定系數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（

）A．模型1（決定系數(shù)為0.97） B．模型2（決定系數(shù)為0.85）C．模型3（決定系數(shù)為0.40） D．模型4（決定系數(shù)為0.25）【答案】A【解析】在兩個變量與x的回歸模型中，它們的決定系數(shù)越接近，模型擬合效果越好，在四個選項中A的決定系數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型，故選：A．21．（2024·山東·一模）相關(guān)變量的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程：，相關(guān)系數(shù)為.則（

）

A．B．C．D．【答案】D【解析】由散點圖得負相關(guān)，所以，因為剔除點后，剩下點數(shù)據(jù)更線性相關(guān)性更強，則更接近，所以.故選：D.22．（2024·四川·模擬預(yù)測）下表是某工廠記錄的一個反應(yīng)器投料后，連續(xù)8天每天某種氣體的生成量（L）：日期代碼x12345678生成的氣體y（L）481631517197122為了分析該氣體生成量變化趨勢、工廠分別用兩種模型：①，②對變量x和y的關(guān)系進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下：注：殘差：經(jīng)計算得，，，，其中，(1)根據(jù)殘差圖、比較模型①，模型②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個模型？并簡要說明理由；(2)根據(jù)（1）問選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；(3)若在第8天要根據(jù)（2）問求出的回歸方程來對該氣體生成量做出預(yù)測，那么估計第9天該氣體生成量是多少？（精確到個位）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【解析】（1）選擇模型①，理由如下：根據(jù)殘差圖可以看出：模型①的殘差點分布在x軸附近，模型②的殘差點距離x軸較遠，所以，模型②的殘差明顯比模型①大，所以模型①的擬合效果相對較好；（2）由（1）可知y關(guān)于x的回歸方程為，令，則，由所給的數(shù)據(jù)可得，，，則，所以y關(guān)于x的回歸方程為．（3）將代入回歸方程，可得，所以預(yù)測該氣體第9天的生成量約為157L．23．（2024·河北唐山·三模）據(jù)統(tǒng)計，某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元）與某類商品銷售額（單位：億元）的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第年12345678910居民年收入32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷售額25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計量的值.379.6391247.624568.9(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù).以此推斷，與的線性相關(guān)程度是否很強？(2)根據(jù)統(tǒng)計量的值與樣本相關(guān)系數(shù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(3)根據(jù)（2）的經(jīng)驗回歸方程，計算第1個樣本點對應(yīng)的殘差（精確到0.01）；并判斷若剔除這個樣本點再進行回歸分析，的值將變大還是變?。浚ú槐卣f明理由，直接判斷即可）.附：樣本的相關(guān)系數(shù)，，，.【解析】（1）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷線性相關(guān)程度很強.（2）由及，可得，所以，又因為，所以，所以與的線性回歸方程.（3）第一個樣本點的殘差為：，由于該點在回歸直線的左下方，故將其剔除后，的值將變小.1．中華人民共和國體育代表團參加夏季奧運會以來，中國健兒們不斷取得好成績，到今天成長為體育大國，從2000年以來，金牌情況統(tǒng)計如下（不含中國香港?中國臺灣）：中國體育代表團夏季奧運會獲得金牌數(shù)屆數(shù)第27屆第28屆第29屆第30屆第31屆第32屆屆數(shù)代碼123456地點2000年悉尼2004年雅典2008年北京2012年倫敦2016年里約熱內(nèi)盧2021年東京金牌數(shù)283248382638根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程，若不考慮其他因素，根據(jù)回歸方程預(yù)測第33屆（2024年巴黎奧運會）中國體育代表團金牌總數(shù)為（

）（精確到0.01，金牌數(shù)精確到1，參考數(shù)據(jù)：）；參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.A．29 B．33 C．37 D．45【答案】C【解析】，，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為.2024年對應(yīng)，代入回歸方程得，故選：C.2．某運動制衣品牌為了使成衣尺寸更精準，現(xiàn)選擇15名志愿者，對其身高和臂展進行測量（單位：），圖①為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，圖②為身高與臂展所對應(yīng)的散點圖，并求得其回歸直線方程為，則下列結(jié)論中不正確的為（

）A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系C．可估計身高為的人臂展大約為D．身高相差的兩人臂展都相差【答案】D【解析】對于A，身高極差大約為20，臂展極差大約為25，故A正確；對于B，很明顯根據(jù)散點圖以及回歸直線得到，身高矮一些，臂展就可能短一些，身高高一些，臂展就可能長一些，故B正確；對于C，身高為，代入回歸直線方程可得到臂展的預(yù)測值為，但不是準確值，故C正確；對于D，身高相差的兩人臂展的預(yù)測值相差，但并不是準確值，回歸直線上的點并不都是準確的樣本點，故D不正確．故選：D.3．（2024·高三·上?！卧獪y試）下圖是某地區(qū)2010年至2019年污染天數(shù)（單位：天）與年份的折線圖．根據(jù)2010年至2014年數(shù)據(jù)，2015年至2019年的數(shù)據(jù)，2010年至2019年的數(shù)據(jù)分別建立線性回歸模型，，，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】根據(jù)2010年至2014年數(shù)據(jù)，2015年至2019年的數(shù)據(jù)，2010年至2019年的數(shù)據(jù)分別建立線性回歸模型，，，∴由圖知：2010年至2014年數(shù)據(jù)為；2015年至2019年數(shù)據(jù)為；2010年至2019年數(shù)據(jù)為；均成遞減趨勢.又，，，且極差分別為6、51、65，三條回歸方程的直線大致圖象，如下圖示：∴回歸方程的斜率大小關(guān)系為，且截距.故選：C.4．在研究變量與之間的相關(guān)關(guān)系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)誤差較大，剔除這對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗回歸方程為，且，則（

）A．13.5 B．14 C．14.5 D．15【答案】A【解析】因為，剔除異常數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)后，，因為點在直線上，所以，解得，設(shè)利用原始數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸直線過點，則，因為，所以.故選：A.5．（2024·湖南邵陽·三模）某學(xué)習(xí)小組對一組數(shù)據(jù)進行回歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程，樣本點的中心為.乙同學(xué)對甲的計算過程進行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，即修正前的樣本中心點為，假設(shè)甲輸入的x1,y則，則，且，則，則改為正確數(shù)據(jù)后，則，，所以修正后的樣本中心點為，將點代入回歸直線方程可得，解得.故選：A.6．為考察兩個變量，的相關(guān)性，搜集數(shù)據(jù)如表，則兩個變量的線性相關(guān)程度（

）510152025103105110111114（參考數(shù)據(jù)：，，）A．很強 B．很弱 C．無相關(guān) D．不確定【答案】A【解析】由題可得，，則，因為相關(guān)系數(shù)很接近于1，故兩個變量的線性相關(guān)程度很強.故選：A.7．（2024·高三·上?！ふn堂例題）為了調(diào)查各參賽人員對主辦方的滿意程度，研究人員隨機抽取了500名參賽運動員進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示，現(xiàn)有如下說法：①在參與調(diào)查的500名運動員中任取1人，抽到對主辦方表示滿意的男性運動員的概率為；②在犯錯誤的概率不超過的前提下可以認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關(guān)”；③沒有的把握認為“是否對主辦方表示滿意與運動員的性別有關(guān)”；則正確命題的個數(shù)為（

）男性運動員（人）女性運動員（人）對主辦方表示滿意200220對主辦方表示不滿意5030注：0.6000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因為對主辦方表示滿意的男性運動員的人數(shù)為，所以在參與調(diào)查的500名運動員中任取1人，抽到對主辦方表示滿意的男性運動員的概率為，所以命題①錯誤，又因為，所以命題②錯誤，命題③正確，故選：B.8．（2024·福建寧德·三模）2024海峓兩岸各民族歡度“三月三”暨福籽同心愛中華福建省第十一屆“三月三”畬族文化節(jié)活動在寧德隆重開幕.海峽兩岸各民族同胞齊聚于此，與當?shù)厝罕姽餐瑲g慶“三月三”，暢敘兩岸情.在活動現(xiàn)場，為了解不同時段的入口游客人流量，從上午10點開始第一次向指揮中心反饋入口人流量，以后每過一個小時反饋一次.指揮中心統(tǒng)計了前5次的數(shù)據(jù)，其中為第次入口人流量數(shù)據(jù)（單位:百人），由此得到關(guān)于的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程（參考數(shù)據(jù):），可頂測下午4點時入口游客的人流量為（

）A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0【答案】C【解析】設(shè)，，則所以，，且則，得，所以，下午4點對應(yīng)的，此時預(yù)測游客的人流量.故選：C9．（多選題）現(xiàn)統(tǒng)計具有線性相關(guān)關(guān)系的變量X，Y，Z的n組數(shù)據(jù)，如下表所示：變量123…n平均數(shù)方差X…Y…Z…并對它們進行相關(guān)性分析，得到，Z與的相關(guān)系數(shù)是，，Z與Y的相關(guān)系數(shù)是，則下列判斷正確的是（

）附：經(jīng)驗回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，相關(guān)系數(shù).A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由已知得到選項AC正確,相關(guān)系數(shù)相等所以，D正確，由方差性質(zhì)可得，B錯誤.故選：ACD.10．（多選題）（2024·高三·河北保定·開學(xué)考試）某機構(gòu)抽樣調(diào)查一批零件的尺寸和質(zhì)量，得到樣本數(shù)據(jù)，并計算得該批零件尺寸和質(zhì)量的平均值分別為3和60，方差分別為4和400，且.則（

）（參考公式：相關(guān)系數(shù).回歸直戰(zhàn)的方程是：，其中）A．樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為B．樣本數(shù)據(jù)關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為C．樣本數(shù)據(jù)所得回歸直線的殘差平方和為0D．若數(shù)據(jù)均滿足正態(tài)分布，則估計【答案】ABD【解析】A.，，故A正確；B.由A可知，，，所以，故B正確；C.殘差平方和表示隨機誤差的效應(yīng)，一組數(shù)據(jù)的殘差平方和越小，其擬合程度越好，不一定等于0，故C錯誤；D.由題意可知，，，，，利用對稱性可知，，故D正確.故選：ABD11．（多選題）（2024·福建泉州·一模）為了研究青少年長時間玩手機與近視率的關(guān)系，現(xiàn)從某校隨機抽查600名學(xué)生，經(jīng)調(diào)查，其中有的學(xué)生近視，有的學(xué)生每天玩手機超過1小時，玩手機超過1小時的學(xué)生的近視率為．用頻率估計概率，則（

）（附：，其中．）0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．如果抽查的一名學(xué)生近視，則他每天玩手機超過1小時的概率為B．如果抽查的一名學(xué)生玩手機不超過1小時，則他近視的概率為C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可認為每天玩手機超過1小時會影響視力D．從該校抽查10位學(xué)生，每天玩手機超過1小時且近視的人數(shù)的期望為5【答案】AC【解析】設(shè)“任選1名學(xué)生近視”，“任選1名學(xué)生每天使用手機超過1小時”則，,，所以，則，故A正確；因為，，即，解得，故B錯誤；由題意，可得列聯(lián)表：視力每天使用手機時長合計超過1h不超過1h近視60180240不近視60300360合計120480600由上表可知，可以認為每天玩手機超過1小時會影響視力，故C正確；由題意知，任取1人，取得每天玩手機超過1小時且近視的概率為，10人中每天玩手機超過1小時且近視的人數(shù)為，則，所以，故D錯誤.故選：AC12．隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴重，空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下，對人體的呼吸系統(tǒng)造成了的嚴重的影響．現(xiàn)調(diào)查了某市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康狀況，得到列聯(lián)表如下，則．（結(jié)果精確到0.001）室外工作室內(nèi)工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病150無呼吸系統(tǒng)疾病100總計200【答案】3.968【解析】補全列聯(lián)表室外工作室內(nèi)工作總計有呼吸系統(tǒng)疾病150200350無呼吸系統(tǒng)疾病50100150總計200300500.故答案為：3.968.13．（2024·重慶·三模）對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸方程，則在樣本點處的殘差為.【答案】0.5/【解析】將代入，得，解得，所以，故當時，，所以殘差.故答案為：0.5.14．我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù).通過對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).令，，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：262156526805.36112501302.612請從相關(guān)系數(shù)的角度分析，模型擬合程度更好是；利用模型擬合程度更好的模型以及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程為；（系數(shù)精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中：，【答案】模型的擬合程度更好【解析】設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，由題意，，，則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好.先建立關(guān)于的線性回歸方程，由，得，即，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以，則.故答案為：①模型的擬合程度更好；②15．（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）為了緩解高三學(xué)生學(xué)業(yè)壓力，學(xué)校開展健美操活動，高三某班文藝委員調(diào)查班級學(xué)生是否愿意參加健美操，得到如下的列聯(lián)表.性別愿意不愿意男生610女生186(1)根據(jù)該列聯(lián)表，并依據(jù)顯著水平的獨立性檢驗，判斷能否認為“學(xué)生性別與是否愿意參加健美操有關(guān)”；(2)在愿意參加的所有學(xué)生中，根據(jù)性別，分層抽樣選取8位學(xué)生組織班級健美操隊，并從中隨機選取2人作為領(lǐng)隊，記這2人中女生人數(shù)為隨機變量，求的分布及期望.附：.【解析】（1）列聯(lián)表如下：性別愿意不愿意合計男生61016女生18624合計241640零假設(shè)為：是否愿意參加健美操與學(xué)生性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得,根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立,既認為是否愿意參加健美操與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)，此判斷犯錯誤的概率不大于0.005.（2）根據(jù)列聯(lián)表可得愿意參加健美操的學(xué)生中女生占全部的，∴選取的8人中，女生有人，男生有人，∴隨機變量的可取值：0,1,2.∴，，.∴隨機變量的分布列：012數(shù)學(xué)期望.16．（2024·高三·廣西貴港·開學(xué)考試）為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：男學(xué)生女學(xué)生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100(1)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩有關(guān)聯(lián)？(2)已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步.假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個數(shù)都增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，則，.【解析】（1）：學(xué)生的性別和是否喜歡運動無關(guān).，所以根據(jù)的獨立性檢驗，不能認為學(xué)生的性別與是否喜歡跳繩有關(guān).（2）訓(xùn)練前該校學(xué)生每人每分鐘的跳繩個數(shù)，則，，，即訓(xùn)練前學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)在，，，，由（人）估計訓(xùn)練前該校每分鐘的跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.即預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.17．為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間（x分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成績（y分）的關(guān)系，某實驗小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）.編號12345學(xué)習(xí)時間x3040506070數(shù)學(xué)成績y65788599108(1)求數(shù)學(xué)成績與學(xué)習(xí)時間的相關(guān)系數(shù)（精確到0.001）；(2)請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合，并求出關(guān)于的回歸直線方程，并由此預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間為100分鐘時的數(shù)學(xué)成績（參考數(shù)據(jù)：，的方差為200）；(3)基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí).經(jīng)過一學(xué)期的實施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生.按照是否參與周末在校自主學(xué)習(xí)以及成績是否有進步統(tǒng)計，得到列聯(lián)表（表二）.依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗，分析“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進步”是否有關(guān).沒有進步有進步合計參與周末在校自主學(xué)習(xí)35130165未參與周末不在校自主學(xué)習(xí)253055合計60160220附：方差：相關(guān)系數(shù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1），，又的方差為，，，.（2）由（1）知接近1，故與之間具有極強的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸直線方程模型進行擬合：，，，故當時，，故預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間達到100分鐘時的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40.5分.（3）零假設(shè)：周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進步無關(guān)，根據(jù)數(shù)據(jù)，計算得到：，因為，所以依據(jù)的獨立性檢驗，可以認為“周末自主學(xué)習(xí)與成績進步”有關(guān).18．（2024·河北秦皇島·三模）將保護區(qū)分為面積大小相近的多個區(qū)域，用簡單隨機抽樣的方法抽取其中15個區(qū)域進行編號，統(tǒng)計抽取到的每個區(qū)域的某種水源指標和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量，得到數(shù)組.已知，，.(1)求樣本的樣本相關(guān)系數(shù)；(2)假設(shè)該植物的壽命為隨機變量（可取任意正整數(shù)），研究人員統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均為0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.（i）求的表達式；（ii）推導(dǎo)該植物壽命期望的值（用表示，取遍），并求當足夠大時，的值.附：樣本相關(guān)系數(shù)；當足夠大時，.【解析】（1）由，，.得樣本相關(guān)系數(shù)，.（2）（i）依題意，，又，則，當時，把換成，則，兩式相減得，即，又，所以對任意都成立，從而是首項為0.1，公比為0.9的等比數(shù)列，所以.（ii）由定義知，，而，，顯然，于是，兩式相減得，因此，當足夠大時，，則，可認為，所以該植物壽命期望的值是10.19．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）2024年初，冰城哈爾濱充分利用得天獨厚的冰雪資源，成為2024年第一個“火出圈”的網(wǎng)紅城市，冰城通過創(chuàng)新營銷展示了豐富的文化活動，成功提升了吸引力和知名度，為其他旅游城市提供了寶貴經(jīng)驗，從2024年1月1日至5日，哈爾濱太平國際機場接待外地游客數(shù)量如下：（日）12345（萬人）4550606580(1)計算的相關(guān)系數(shù)（計算結(jié)果精確到0.01），并判斷是否可以認為日期與游客人數(shù)的相關(guān)性很強；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；(3)為了吸引游客，在冰雪大世界售票處針對各個旅游團進行了現(xiàn)場抽獎的活動，具體抽獎規(guī)則為：從該旅游團中隨機同時抽取兩名游客，兩名游客性別不同則為中獎．已知某個旅游團中有5個男游客和個女游客，設(shè)重復(fù)進行三次抽獎中恰有一次中獎的概率為，當取多少時，最大？參考公式：，，，參考數(shù)據(jù)：．【解析】（1）因為，所以，，，所以，由此可以認為兩者的相關(guān)性很強．（2）由（1）知，．所以=．因為，所以回歸方程為．（3）記，，，即．，令，則，得，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值．由，解得或（舍去），當時，恰有一次中獎的概率最大．1．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？(2)估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）(3)是否有的把握認為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？（附：其中，．）【解析】（1）由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比，則估計該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為．（2）估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為．則估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.（3）由題列聯(lián)表如下：其他合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計222358580提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均