2025屆福建省莆田市第八中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆福建省莆田市第八中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．2．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．163．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變5．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．6．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．7．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位9．在中，為上異于，的任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．10．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．12．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某高校組織學(xué)生辯論賽，六位評委為選手成績打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為______.14．甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎.在比賽結(jié)果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中“√”表示猜測某人獲獎，“×”表示猜測某人未獲獎，而“○”則表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見.已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，那么兩名獲獎?wù)呤莀______.甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎甲的猜測√××√乙的猜測×○○√丙的猜測×√×√丁的猜測○○√×15．銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是______.16．展開式中的系數(shù)為_______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）已知是的一個極值點(diǎn)，求曲線在處的切線方程（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個數(shù).18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時，；（2）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.19．（12分）某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過度的部分按元/度收費(fèi)，超過度但不超過度的部分按元/度收費(fèi)，超過度的部分按元/度收費(fèi)．（I）求某戶居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過元的占，求，的值；（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)代替，記為該居民用戶1月份的用電費(fèi)用，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓．（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍．22．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上任意一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.3、C【解析】

設(shè)為中點(diǎn),先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計(jì)算,得出結(jié)論．【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．4、D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個單位長度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題5、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解：因?yàn)椋傻炔顢?shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如.7、A【解析】

由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因?yàn)?所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.8、A【解析】依題意有的周期為.而，故應(yīng)左移.9、A【解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，又，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.11、B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況?！驹斀狻?，故奇函數(shù)，四個圖像均符合。當(dāng)時，，，排除C、D當(dāng)時，，，排除A。故選B?！军c(diǎn)睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。12、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計(jì)算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，，且平面，，的中點(diǎn)為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù)，然后可得結(jié)果.【詳解】剩下的四個數(shù)為83，85，87，95，且這四個數(shù)的平均數(shù)，這四個數(shù)的中位數(shù)為，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的識別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對四種情況依次進(jìn)行分析，觀察四人所猜測的結(jié)果是否沖突，最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯誤，與題意不符，故甲猜測錯誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測無法確定正誤，丁猜測錯誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確的，從而得出乙，丁獲獎.所以本題答案為乙、丁.【點(diǎn)睛】本題是一個簡單的合情推理題，能否根據(jù)“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題.15、【解析】

由余弦定理，正弦定理得出，從而得出，推出的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍，再利用二倍角公式化簡，即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形，則，，.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.16、【解析】

把按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式中的系數(shù)．【詳解】解：，故它的展開式中的系數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是f(x)的一個極值點(diǎn)，得f'(2)=0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）利用參數(shù)法分離法得到，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，則，因?yàn)槭堑囊粋€極值點(diǎn)，所以，即，所以，因?yàn)?，，則直線方程為，即；（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，函數(shù)在是減函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在是增函數(shù)，因?yàn)闀r，，，，所以當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)時，方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時，方程有1個實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個數(shù)問題，屬于難題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進(jìn)行分類討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時，.所以，即，所以.所以當(dāng)時，.解：（2）因?yàn)?，所?討論：①當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時函數(shù)僅有一個零點(diǎn)為0；②當(dāng)時，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時，有.又，此時，故當(dāng)時，函數(shù)還有一個零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時，，故此時函數(shù)還有一個零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點(diǎn)問題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類討論，本題屬于難題19、（1）；（2），；（3）見解析.【解析】試題分析:（1）根據(jù)題意分段表示出函數(shù)解析式;（2）將代入（1）中函數(shù)解析式可得，即，根據(jù)頻率分布直方圖可分別得到關(guān)于的方程,即可得;（3）取每段中點(diǎn)值作為代表的用電量,分別算出對應(yīng)的費(fèi)用值,對應(yīng)得出每組電費(fèi)的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.試題解析:（1）當(dāng)時，；當(dāng)當(dāng)時，；當(dāng)當(dāng)時，，所以與之間的函數(shù)解析式為.（2）由（1）可知，當(dāng)時，，則，結(jié)合頻率分布直方圖可知，∴，（3）由題意可知可取50，150，250，350，450，550，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，故的概率分布列為25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1），①當(dāng)時，，②兩式相減即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.【詳解】（1）解：，①當(dāng)時，．當(dāng)時，，②由①-②，得，因?yàn)榉仙鲜?，所以．?）證明：因?yàn)椋裕军c(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.21、（1）C1：y2＝1