浙江專用2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷專題05圓錐曲線的方程重點(diǎn)新人教A版

專題05圓錐曲線的方程（重點(diǎn)）一、單選題1．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線方程可推斷雙曲線的焦點(diǎn)位置并同時(shí)求出，，由此可求其漸近線方程.【解析】由雙曲線得，所以漸近線方程為，故選：B2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，且，則M點(diǎn)到軸的距離為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由焦半徑公式列出方程，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出縱坐標(biāo)，得到答案.【解析】由題意得，所以準(zhǔn)線為，又因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，解得：將代入解析式得：，所以M點(diǎn)到x軸的距離為．故選：D．3．若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則 D．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則【答案】C【分析】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項(xiàng)分析、計(jì)算即可推斷作答.【解析】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯(cuò)誤；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，D錯(cuò)誤，C正確；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，B錯(cuò)誤.故選：C4．已知雙曲線的右支上恰好有兩點(diǎn)到O（坐標(biāo)原點(diǎn)）?F（右焦點(diǎn)）的距離相等，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C．（1，2） D．【答案】D【分析】由題意只需線段的垂直平分線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)即可，可得，從而得出離心率的取值范圍.【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)，若雙曲線的右支上恰好有兩點(diǎn)到O（坐標(biāo)原點(diǎn)）?F（右焦點(diǎn)）的距離相等，則線段的垂直平分線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，所以雙曲線的離心率e的取值范圍是.故選：D5．已知橢圓C：上的動(dòng)點(diǎn)P到右焦點(diǎn)距離的最小值為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為，即可求出，再依據(jù)，即可得解；【解析】解：依據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為，即，又，所以，由，所以；故選：A6．已知實(shí)數(shù)x，y滿意，其中常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．射線 B．直線 C．拋物線 D．橢圓【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)的距離公式、肯定值的幾何意義以及拋物線的定義進(jìn)行推斷.【解析】因?yàn)楸硎緞?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線l：的距離相等，且點(diǎn)F不在直線l上，所以由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.7．已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，直線過與拋物線的焦點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線平行，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】依據(jù)直線的斜率列方程，求得，從而求得.【解析】已知雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，拋物線的焦點(diǎn).因?yàn)橹本€過與拋物線的焦點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線平行，所以，又，解得：，所以.故選：C8．已知拋物線的焦點(diǎn)F、M是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的外接圓D與拋物線的準(zhǔn)線相切，則圓D與直線相交得到的弦長為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】先求出圓的圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，即可求出圓與直線相交得到的弦長，得到答案.【解析】因?yàn)榈耐饨訄A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，又因?yàn)閳A心在的垂直平分線上，，所以圓的半徑為，圓心的橫坐標(biāo)為，所以圓心的縱坐標(biāo)為，所以圓心到直線的距離，所以圓與直線相交得到的弦長為.故選：D.9．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則（

）A．有最大值，為16 B．有最小值，為16C．有最大值，為4 D．有最小值，為4【答案】A【分析】依據(jù)橢圓定義，再利用均值定理即可求得有最大值，為16．【解析】由題意知，，則．由基本不等式，知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以有最大值，為16．故選：A．10．雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支在第一象限的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，若的周長為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由的周長為，結(jié)合雙曲線的定義和對(duì)稱性得到，，再由為的中點(diǎn)，得到為等邊三角形求解.【解析】如圖所示：由對(duì)稱性可知，因?yàn)榈闹荛L為，所以，又，所以，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則為等邊三角形，所以，，．又因?yàn)?，所以在中，．所以，，即雙曲線的漸近線方程為．故選：B11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的內(nèi)切圓半徑為A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】依據(jù)拋物線的性質(zhì)可知從而當(dāng)最小，即AP與拋物線相切時(shí)，的值最?。蟪鰭佄锞€過A點(diǎn)的切線方程得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入面積公式得出面積即可．【解析】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為，則．．當(dāng)PA與拋物線相切時(shí)，最小，即取得最小值．設(shè)過A點(diǎn)的直線與拋物線相切，代入拋物線方程得，，解得．即，解得，把代入得．或．．所以，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r所以，所以．故選：A．12．已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出協(xié)助線，得到，求出的取值范圍，從而求出的取值范圍.【解析】如圖，直線與直線相交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，點(diǎn)M為中點(diǎn)，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以O(shè)M是三角形的中位線，所以，其中，因?yàn)镻與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，設(shè)，則，則，所以，又，所以，∴的取值范圍是.故選：D.二、多選題13．已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則【答案】BC【分析】依據(jù)表示橢圓可求得或，推斷A;表示雙曲線可求得或，推斷B;依據(jù)表示橢圓時(shí)焦點(diǎn)的位置可列出相應(yīng)的不等式組，求得參數(shù)范圍，推斷C,D.【解析】當(dāng)曲線C是橢圓時(shí)，解得或，故A錯(cuò)誤；當(dāng)曲線C是雙曲線時(shí)，，解得或，故B正確；若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則解得，故C正確；若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，解得，故D錯(cuò)誤．故選:BC．14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，，若，則（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，的縱坐標(biāo)肯定大于D．不存在使得【答案】ABD【分析】依題意求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)焦半徑公式求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，即可推斷A，由點(diǎn)坐標(biāo)得到直線的方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再一一推斷即可.【解析】解：對(duì)于，易得，由可得，由焦半徑公式得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，故A正確；對(duì)于，由可得直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線解得，則，故在的中垂線上，，故B正確；對(duì)于，由拋物線的性質(zhì)知，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切的切點(diǎn)縱坐標(biāo)為，故當(dāng)時(shí)，為該圓與軸的交點(diǎn)，縱坐標(biāo)大于或小于均可，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，，則，當(dāng)軸時(shí)，，則，不存在使得，故D正確；故選：ABD.15．已知直線，點(diǎn)，圓心為的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切，則（

）A．點(diǎn)的軌跡為拋物線B．圓面積最小值為C．當(dāng)圓被軸截得的弦長為時(shí)，圓的半徑為D．存在點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】ACD【分析】由拋物線定義可知A正確；由拋物線性質(zhì)可知當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓面積最小，可知B錯(cuò)誤；設(shè)，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得，由此可得圓的半徑，知C正確；設(shè)存在點(diǎn)，由可求得點(diǎn)坐標(biāo)，知D正確.【解析】對(duì)于A，由題意知：點(diǎn)到點(diǎn)與到定直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，符合拋物線定義，點(diǎn)的軌跡為拋物線，A正確；對(duì)于B，由A知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，則當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線距離最小，即此時(shí)圓的半徑最小，即，圓面積的最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A得：點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)，則圓的半徑，點(diǎn)到軸的距離，，解得：，圓的半徑，C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則，整理可得：，解得：，，或，D正確.故選：ACD.16．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，長軸長為4，點(diǎn)在橢圓外，點(diǎn)在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．當(dāng)橢圓的離心率為時(shí)，的取值范圍是C．存在點(diǎn)使得D．的最小值為1【答案】BCD【分析】依據(jù)點(diǎn)在橢圓外，即可求出的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，從而推斷A，依據(jù)離心率求出，則，即可推斷B，設(shè)上頂點(diǎn)，得到，即可推斷C，利用基本不等式推斷D.【解析】解：由題意得，又點(diǎn)在橢圓外，則，解得，所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A不正確；當(dāng)時(shí)，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，，，由于，所以存在點(diǎn)使得，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，故D正確．故選：BCD三、填空題17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，且，則直線的斜率為___________.【答案】【分析】由題意可設(shè)、、的坐標(biāo)，運(yùn)用可解出，利用拋物線解析式可得，由斜率公式解出即可.【解析】由題意可設(shè)，，，，，為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)直線的斜率為；直線的斜率為：故答案為：.18．若圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率為___________.【答案】##【分析】求得雙曲線的漸近線方程為，由于漸近與圓相切，所以圓心到漸近線的距離為1，列方程可求出，從而可求出雙曲線的離心率.【解析】雙曲線的漸近線方程為圓的圓心為，半徑為1，由直線和圓相切，可得，解得，則離心率.，故答案為：19．已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是_____．【答案】【分析】作出圖形，分析可知，，利用基本不等式可求得的最小值.【解析】如下圖所示：在雙曲線中，，，，圓的圓心為，半徑長為，所以，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，由雙曲線的定義可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)，且時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是.故答案為：.20．已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．【答案】(，]【分析】設(shè)，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關(guān)系，代入、換元，求出e的范圍.【解析】設(shè)，由，知，因?yàn)?，在橢圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，

①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為：.四、解答題21．已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若直線被圓截得的弦長為，設(shè)直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由，點(diǎn)代入橢圓，建立方程組求解即可；（2）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，先由垂徑定理求出圓心到直線l的距離，設(shè)：，，，由點(diǎn)線距離公式可得，可得，將方程代入橢圓方程中結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式可得，則，結(jié)合均值不等式探討最大值即可；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則：，可知直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.（1），，由橢圓過點(diǎn)得，解得，，∴橢圓的方程為.（2）直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線l的距離d滿意，解得，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)：，，，圓心為原點(diǎn)則有，∴.將方程代入橢圓方程中整理得：，∴，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則：，過橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.∴面積的最大值為2.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線相交弦相關(guān)的面積問題，一般可聯(lián)立直線與圓錐曲線，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式將弦長表示出來，再由點(diǎn)線距離作為高，即可表示三角形面積.另外直線與圓錐曲線相交弦的問題，留意探討直線斜率存在與否.22．已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過Q作兩條相互垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由及拋物線的性質(zhì)可得的橫坐標(biāo)，再由．可得的縱坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積的表達(dá)式，由數(shù)量積為0可得參數(shù)的關(guān)系，代入直線的方程可得直線恒過定點(diǎn)．（1）解：由，可得，代入．解得或（舍），所以拋物線的方程為：．（2）解:由題意可得，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，從而，則．所以，，∵，∴，故，整理得．即，從而或，即或．若，則，過定點(diǎn)，與Q點(diǎn)重合，不符合；若，則，過定點(diǎn)．綜上，直線過異于Q點(diǎn)的定點(diǎn)．23．已知一個(gè)半徑為的圓的圓心在拋物線上，該圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與C的準(zhǔn)線l相切.過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線AB交C于A，B兩點(diǎn)，過弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線，與直線OA，OB，l分別相交于P，Q，N三點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，由題意可得，，從而可求出，進(jìn)而可得拋物線方程，（2）設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，的長度，直線OA和OB的方程，表示出，由列方程求出，從而可求出直線AB的方程.（1）設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，可得.易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由題意得，解得（負(fù)值舍去），則拋物線C的方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，，，則，，，則AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，易知，故，直線OA的方程為，即，直線OB的方程為，即，令，可得，，則，即，解得，所以直線AB的方程為，即或.24．已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)存在，常數(shù)為．【分析】（1）由離心率得出，再代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得得雙曲線方程；（2）設(shè)，直線的方程為，代入雙曲線方程，消去得的一元二次方程，由相交可得的范圍，由韋達(dá)定理得，設(shè)存在符合條件的定點(diǎn)，計(jì)算出并代入化為關(guān)于的分式，由它是常數(shù)可求得，得定點(diǎn)坐標(biāo)．（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，化簡得.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得（1-，由題可知且，即且，所以.設(shè)存在符合條件的定點(diǎn)，則，所以.所以，化簡得.因?yàn)闉槌?shù)，所以，解得.此時(shí)該常數(shù)的值為，所以，在軸上存在點(diǎn)，使得為常數(shù)，該常數(shù)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線中的定點(diǎn)問題，定點(diǎn)問題的解題方法是：設(shè)直線方程（或點(diǎn)斜式方程），設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程代入雙曲線方程消元化為一元二次方程（可由相交得參數(shù)范圍或不等關(guān)系），應(yīng)用韋達(dá)定理得，對(duì)定點(diǎn)問題可假設(shè)定點(diǎn)存在，設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算定點(diǎn)滿意的關(guān)系，并代入韋達(dá)定理的結(jié)論化簡后，利用常數(shù)、定值得參數(shù)值，從而說明定點(diǎn)存在，否則不存在．25．已知雙曲線的離心率是，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題知，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）由題設(shè)，直線，進(jìn)而與雙曲線聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，直線的斜率為，同理可得，進(jìn)而依據(jù)可得，進(jìn)而可證明結(jié)論.（1）解：依據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，其漸近線方程為，因?yàn)榻裹c(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.所以，因?yàn)殡p曲線的離心率是，所以，，解得所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)，直線.聯(lián)立整理得，所以，.故.設(shè)直線的斜率為，同理可得.因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，所以，則，即，所以.26．如圖，橢圓：的離心率是，短軸長為，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過橢圓與拋物線的公共焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)記的面積為，的面積為，若，求直線在軸上截距的范圍．【答案】(1)橢圓，拋物線(2)【分析】（1）由題知，進(jìn)而解方程即可求得答案；（2）設(shè)，進(jìn)而分別與橢圓和拋物線聯(lián)立計(jì)算弦長，，進(jìn)而計(jì)算面