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Page12江西省五市九校協(xié)作體2024屆第一次聯(lián)考數(shù)學(理科)試卷答案一.序號123456789101112答案DBDCDAAAABDD二.填空題13.18214.15.1016.6解答題:17.解(1)數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,,,,是方程的兩個根,解方程,得,,,,.(2)由(1)得:,,數(shù)列的前項和:,且對一切成立,,解得,最小正整數(shù)為2024.18.(1)證明:取的中點,連接交于,連接,,因為是菱形,所以,且是的中點,所以且,又,,所以且,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以,又因為,平面,所以平面,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)解:取的中點,由四邊形是菱形,,則,是正三角形,,,又平面,所以以為原點,,,為坐標軸建立空間直角坐標系,設在棱上存在點使得平面與平面的夾角為,則,,,,,,則設,,所以,,,,設平面的一個法向量為,,,則,即,令,,得平面的法向量可以為,,解得,所以,則設平面的一個法向量為,則,即,取,得,所以點到平面的距離.19.(1)由頻率分步直方圖得,得分為17,18的人數(shù)分別為6人,12人,所以兩人得分之和不大于35分為兩人得分均為17分,或兩人中1人17分1人18分,所以.(2)又,所以正式測試時,,所以,①所以,所以人;②由正態(tài)分布模型,任取1人,每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為,即,所以,所以,所以的分布列為0123所以.20(1)設橢圓的右焦點為,連接,依據(jù)橢圓的對稱性可知,四邊形為平行四邊形.又,所以而,所以,在四邊形中,,所以,在中,依據(jù)余弦定理得即化簡得.所以橢圓的離心率;。。。。。。5分(2)因為橢圓的上頂點為,所以,所以,又由(1)知,解得,所以橢圓的標準方程為.在中,,,所以,從而,又為線段的中點,即,所以,因此,從而,依據(jù)題意可知直線的斜率肯定存在,設它的方程為,,,聯(lián)立消去得①,,依據(jù)韋達定理可得,,所以所以,整理得,解得或.又直線不經(jīng)過點,所以舍去,于是直線的方程為,恒過定點,該點在橢圓內(nèi),滿意關于的方程①有兩個不相等的解,所以直線恒過定點,定點坐標為.。。。。。。12分21.(1);(2)【分析】(1)在內(nèi)有兩個不同的極值點、,等價于在內(nèi)有兩個不同的零點、.探討的單調(diào)性和零點狀況即可求出a的范圍;(2)設,由(1)知且,則,將a=代入要證的不等式,可將不等式化為,令,則不等式化為,問題轉(zhuǎn)化為在(0,1)恒成馬上可.(1)函數(shù)定義域為,在內(nèi)有兩個不同的極值點、,等價于在內(nèi)有兩個不同的零點、.設,由,當時,,在上單調(diào)遞增,至多只有一個零點,不符題意;當時,在上,單調(diào)遞增;在上,單調(diào)遞減,∴當時,,函數(shù)有兩個零點,則必有,即,解得.易證,證明如下:令,,當時,,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增,故,故,得證.∴,又,∴在和上各有一個零點、,此時:00↓微小值↑極大值↓故在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點時,a的范圍為;(2)方法1:由(1)可知是的兩個零點,不防設,由且,得.∵.令,則,記,,則,令,.又,則,即,∴在上單調(diào)遞增,故,即成立.∴不等式成立.方法2:欲證,由,,則只需證:.不妨設,則且,則,∴,令,則,記,,由,即在上單調(diào)遞增,故,即成立.故.【點睛】本題第一問關鍵是找到x=1和x=,推斷,,從而依據(jù)零點存在性定理推斷在和上各有一個零點;其次問的關鍵是利用是的兩個零點用替換a,再利用換元將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量進行證明.22.(1);(2).【分析】(1)求得的直角坐標方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可;(2)求得曲線的一般方程,結(jié)合的直角坐標方程,求得交點的直角坐標,再轉(zhuǎn)化為極坐標即可.【詳解】(1)對點,設其直角坐標為,則,即其直角坐標為,故在直角坐標系下的方程為:,由可得:,故的極坐標方程為:.(2)由題可得曲線的一般方程為:,聯(lián)立,可得,解得或,又,故,則,即曲線C與交點的直角坐標為,設其極坐標為,則,,即曲線C與交點的極坐標為.23、(1)當a=3時,即

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