江蘇省南京市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期檢測(cè)卷一

Page16江蘇省南京市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期檢測(cè)卷一

一、單選題（每題5分，共計(jì)40分）1、設(shè)集合,則()A. B. C. D.2、復(fù)數(shù)的虛部是().A.i B. C. D.13、給出三個(gè)數(shù)，，，則它們的大小依次為()A. B. C. D.4、設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且是偶函數(shù)，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.5、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（O為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.6、下列說(shuō)法中正確的是()A.單位向量都相等B.平行向量不肯定是共線向量C.對(duì)于隨意向量，必有D.若滿意且與同向，則7、已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A. B. C.或 D.8、設(shè)，，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，()A.12 B.8 C.16 D.二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，共計(jì)20分，漏選得2分，錯(cuò)選不得分）8、如圖，四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為正方形，底面ABCD，，E、F分別為PD、AB的中點(diǎn)，過(guò)C、E、F的平面與PA交于點(diǎn)G，則()

A．B．C．以P為球心，2為半徑的球面與底面的交線長(zhǎng)為D．四棱錐外接球體積為10、在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若,則角B的值為()

A. B. C. D.11、已知函數(shù),下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)為偶函數(shù)B.若,其中,則C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.若,則12、已知直線和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線與直線相交于點(diǎn)B，且，則直線的方程為()A. B. C. D.三、填空題（每題5分，共計(jì)20分）13、過(guò)氧化氫（）是一種重要的化學(xué)品，工業(yè)用途廣泛，通過(guò)催化和干脆合成目前被認(rèn)為是一種最有潛力替代現(xiàn)有生產(chǎn)方法的綠色環(huán)保生產(chǎn)途徑.在自然界中，已知氧的同位素有17種，氫的同位素有3種，現(xiàn)有由，及，，五種原子中的幾種構(gòu)成的過(guò)氧化氫分子，則分子種數(shù)最多為______________.14、圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則弦AB的長(zhǎng)為_____.15、設(shè)點(diǎn)，，若直線AB關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________.16、雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線C的焦距為__________.四、解答題（共計(jì)6大題，共計(jì)70分）17、（10分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下列問(wèn)題.已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為2d.設(shè)，分別是數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，，_________.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18、（12分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為滿意.(1)求角B的大小;(2)若,設(shè)的面積為S,滿意,求b的值.19、（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱底面ABC，，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，，，.

（1）當(dāng)E是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)E，使得二面角的余弦值是？若存在，求出CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20、（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為，.當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.21、（12分）垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分困難多樣，且具有污染性，所以須要無(wú)害化、減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個(gè)縣城的人口(單位：萬(wàn)人)和該縣年垃圾產(chǎn)生總量(單位：噸)，并計(jì)算得，.（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回來(lái)模型進(jìn)行擬合；（2）求y關(guān)于x的線性回來(lái)方程；（3）某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機(jī)器，其中甲款機(jī)器每臺(tái)售價(jià)100萬(wàn)元，乙款機(jī)器每臺(tái)售價(jià)80萬(wàn)元，下表是以往兩款垃圾處理機(jī)器的運(yùn)用年限統(tǒng)計(jì)表：1年2年3年4年總計(jì)甲款520151050乙款152010550依據(jù)以往閱歷可知，某縣城每年可獲得政府支持的垃圾處理費(fèi)用為50萬(wàn)元，若僅考慮購(gòu)買機(jī)器的成本和每臺(tái)機(jī)器的運(yùn)用年限(運(yùn)用年限均為整年)，以頻率估計(jì)概率，該縣城選擇購(gòu)買一臺(tái)哪款垃圾處理機(jī)器更劃算?參考公式：相關(guān)系數(shù)，對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回來(lái)直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.22、（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：.

參考答案1、答案：B解析：解不等式得.又,則集合.又,即,所以,集合,得,故選B.2、答案：D解析：，即復(fù)數(shù)的虛部是1，故選D.3、答案：D解析：，，，所以.4、答案：A解析：因?yàn)?，所以，又是偶函?shù)，所以，即，所以，則，所以曲線在原點(diǎn)處的切線方程為.5、答案：D解析：如圖，由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，，，又點(diǎn)A在直線上，，，雙曲線的離心率.故選D.6、答案：C解析：對(duì)于A，單位向量模都相等，方向不肯定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，依據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對(duì)于隨意向量，必有，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.故選C.7、答案：C解析：因?yàn)?所以.

因?yàn)?，既有最小值也有最大值?/p>

則或，即或.8、答案：A解析：，，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，，，.故選：A9、答案：AC解析：對(duì)于選項(xiàng)A，延長(zhǎng)CF交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

連接EH交PA于點(diǎn)G，取AD中點(diǎn)M，

連接EM，所以，，

，，所以選項(xiàng)A對(duì)；

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)镕是HC中點(diǎn)，G是EH靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)C，P為球心，2為半徑，，平面ABCD，A為截面圓心，交線是半徑為1的圓的，交線長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，是正方體的一部分，體對(duì)角線長(zhǎng)為3，體積為，所以選項(xiàng)D錯(cuò).

綜上選AC.10、答案：BD解析：依據(jù)余弦定理可知,代入，可得，即.因?yàn)椋曰?故選BD.11、答案：ABD解析：對(duì)于A,,所以函數(shù)為偶函數(shù),故A正確;對(duì)于B,若,其中,則,即,得,故B正確;對(duì)于C,函數(shù),由,解得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?因此在上不具有單調(diào)性,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)?所以,所以,故,故D正確.故選ABD.12、答案：AC解析：設(shè)點(diǎn)，則，解得或，則或，則直線的方程為或.故選AC.13、答案：18解析：過(guò)氧化氫分子中有2個(gè)氧原子和2個(gè)氫原子，共4個(gè)原子.構(gòu)成過(guò)氧化氫分子的氧原子可以從2種不同的氧原子中選出1種或2種，取法共有（種）；構(gòu)成過(guò)氧化氫分子的氫原子可以從3種不同的氫原子中選出1種或2種，取法共有（種）.因此構(gòu)成的過(guò)氧化氫分子的種數(shù)最多為.14、答案：解析：圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿意，故弦AB的長(zhǎng)為圓的直徑，故弦AB的長(zhǎng)為.故答案為：.15、答案：解析：解法一由題意知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.由題意知直線與圓有公共點(diǎn)，易知圓心為，半徑為1，所以，整理得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范是.解法二易知關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為，由題意知該對(duì)稱圓與直線AB有公共點(diǎn).直線AB的方程為，即，又對(duì)稱圓的圓心為，半徑為1，所以，整理得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解法三易知關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為，由題意知該對(duì)稱圓與直線AB有公共點(diǎn).設(shè)直線AB的方程為，即，因?yàn)閷?duì)稱圓的圓心為，半徑為1，所以，解得，又，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16、答案：解析：依據(jù)題意，雙曲線C:x24-y2b2=1(b>0)的焦點(diǎn)在x軸上，則其漸近線方程為，又由該雙曲線的一條漸近線方程為，即y=-317、答案：答案一選擇條件①.（1）數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，，，解得，，.綜上，，.（2）由（1）得，.答案二選擇條件②.（1）數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，，，，，.綜上，，.（2）同答案一中的（2）.答案三選擇條件③.（1）數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，.，解得，，.綜上，，.（2）同答案一中的（2）.18、答案：(1)(2)解析：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式、三角形面積公式、正弦定理.(1)由,得,依據(jù)正弦定理,得.因?yàn)?所以,所以.因?yàn)?所以,所以,則.(2)由,得.又由正弦定理得,所以,解得.19、答案：（1）證明：取的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.

F,C分別是AB,的中點(diǎn)，

，，

又,，

,，，

四邊形FGEC是平行四邊形，.

平面，平面，

平面.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA,CB,分別為x軸，y軸，z軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，

則，，，，

設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，則.

由，，

得

令，得.

易得平面，

是平面的一個(gè)法向量，令.

二面角的余弦值為，

，

解得（舍去）.

在棱上存在點(diǎn)E，使得二面角的余弦值是,此時(shí).

20、答案：（1）C的方程為；（2）解析：（1）當(dāng)軸時(shí)，有，得，

所以拋物線C的方程為.（2）如圖，依據(jù)（1）知，.

當(dāng)軸時(shí)，易得，此時(shí).

當(dāng)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，

則直線MN的方程為，

即，

即，

所以直線MN的方程為.

同理可得，直線AM的方程為，直線BN的方程為，直線AB的方程為.

因?yàn)樵贛N上，所以.因?yàn)樵贏M，BN上，所以，，

所以，.

所以，，

所以直線AB的方程可化為，

所以，，

所以.

當(dāng)時(shí)，，所以不符合題意.

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)取得最大值，直線AB的方程為.21、答案：（1）(2)(3)甲款解析：（1）由題意知相關(guān)系數(shù)，因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)接近1，所以y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回來(lái)模型進(jìn)行擬合.（2），，所以.（3）以頻率估計(jì)概率，購(gòu)買一臺(tái)甲款垃圾處理機(jī)器節(jié)約政府支持的垃圾處理費(fèi)用X（單位：萬(wàn)元）的分布列為：X-50050100P0.10.40.30.2（萬(wàn)元）.購(gòu)買一臺(tái)乙款垃圾處理機(jī)器節(jié)約政府支持的垃圾處理費(fèi)用Y（單位：萬(wàn)元）的分布列為：Y-302070120P0.30.40.20.1（萬(wàn)元）.因?yàn)?，所以該縣城選擇購(gòu)買一臺(tái)甲款垃圾處理機(jī)器更劃算.22、答案：（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）（3）證明見解析解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2），

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，與題意沖突.②當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減，，滿意題意.

③當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，則，

在上單調(diào)遞減，

，，在上單調(diào)遞減，

，滿意題意.

④當(dāng)時(shí)，，

令，則，

，易知為減函數(shù)，又，時(shí)，，

，使，且當(dāng)時(shí)，

，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

，與題意沖突.綜上，實(shí)數(shù)a的