江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章空間向量與立體幾何午練9空間距離的計(jì)算蘇教版選擇性必修第二冊(cè)

午練9空間距離的計(jì)算1.已知平面α的一個(gè)法向量為n=(3,4,0),點(diǎn)A(-1,1,1)在平面α內(nèi),則點(diǎn)P(1,2,3)到平面α的距離為()A. B.2 C.4 D.2.(2024蘇州質(zhì)檢)已知平面α的一個(gè)法向量為n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(x,3,0)在平面α內(nèi),且點(diǎn)P(-2,1,4)到平面α的距離為,則x的值為()A.1 B.11 C.-1或-11 D.-213.已知直線l過點(diǎn)A(1,-1,-1),且方向向量為m=(1,0,-1),則點(diǎn)P(1,1,1)到直線l的距離為()A.2 B. C. D.4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則平面AB1D1與平面BDC1的距離為()A.a B.a C.a D.a5.(多選題)下列說法錯(cuò)誤的有()A.將空間中全部單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓B.直線l的一個(gè)方向向量是m=(2,1,-1),平面α的一個(gè)法向量是n=(1,1,3),則l∥αC.平面α經(jīng)過A(1,0,-1),B(0,1,0),C(2,3,-1)三點(diǎn),向量n=(u,2,t)是平面α的法向量,則u+t=-14D.平面α的一個(gè)法向量為n=(2,0,1),點(diǎn)A(-1,2,1)在α內(nèi),則點(diǎn)M(1,2,3)到平面α的距離為6.(多選題)(2024徐州月考)如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,SA=AB,O,P分別是AC,SC的中點(diǎn),M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn),則下列選項(xiàng)正確的有()A.OM⊥PAB.存在點(diǎn)M,使OM∥平面SBCC.存在點(diǎn)M,使直線OM與AB所成的角為30°D.點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值7.在四棱錐P-ABCD中,=(4,-2,4),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)=.

8.(2024無錫月考)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為平面A1ABB1的中心,E為BC的中點(diǎn),則點(diǎn)O到直線A1E的距離為.

9.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求平面A1DB與平面D1CB1的距離.10.(2024揚(yáng)州測試)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,EA⊥平面ABCD,EA∥BF,AB=AE=2BF=2.(1)證明:平面EAC⊥平面EFC.(2)在棱EC上有一點(diǎn)M,使得平面MBD與平面BCF的夾角的余弦值為,求點(diǎn)M到平面BCF的距離.午練9空間距離的計(jì)算1.B由題意,得=(2,1,2),又平面α的一個(gè)法向量n=(3,4,0),所以點(diǎn)P到平面α的距離d===2.故選B.2.C=(x+2,2,-4),而d==,即=,解得x=-1或x=-11.故選C.3.B∵點(diǎn)P(1,1,1),直線l過點(diǎn)A(1,-1,-1),且直線l的一個(gè)方向向量為m=(1,0,-1),∴=(0,-2,-2),∴直線的一個(gè)單位方向向量m0==(1,0,-1),∴點(diǎn)P到直線l的距離d===.故選B.4.D由正方體的性質(zhì)知,AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,易得平面AB1D1∥平面BDC1,則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離.如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a),所以=(a,-a,a),=(0,-a,0),=(0,a,a),=(-a,-a,0).連接A1C,由·=(a,-a,a)·(0,a,a)=0,·=(a,-a,a)·(-a,-a,0)=0,且AB1∩B1D1=B1,可知A1C⊥平面AB1D1,則平面AB1D1的一個(gè)法向量為n=(1,-1,1),所以兩平面間的距離d===a.故選D.5.ABD對(duì)于A,將空間中全部單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn),它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)閙·n=2+1-3=0,所以l∥α或l?α,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?(-1,1,1),=(1,3,0),所以n·=-u+2+t=0,n·=u+6=0,解得u=-6,t=-8,所以u(píng)+t=-14,C選項(xiàng)正確;對(duì)于D,因?yàn)?(-2,0,-2),所以cos<n,>===-,所以點(diǎn)M到平面α的距離d=|||cos<n,>|=2×=,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABD.6.ABD以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),設(shè)SA=AB=2,則A(0,0,0),C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),O(1,1,0),P(1,1,1),由M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn),可設(shè)M(0,λ,2-λ)(0≤λ≤2).∵=(1,1,1),=(-1,λ-1,2-λ),∴·=-1+λ-1+2-λ=0,∴AP⊥OM,故A正確.當(dāng)M為SD的中點(diǎn)時(shí),OM是△SBD的中位線,∴OM∥SB,又OM?平面SBC,SB?平面SBC,∴OM∥平面SBC,故B正確.=(2,0,0),=(-1,λ-1,2-λ),若存在點(diǎn)M,使直線OM與AB所成的角為30°,則cos30°===,化簡得3λ2-9λ+7=0,方程無解,故C錯(cuò)誤.點(diǎn)M到平面ABCD的距離d1=2-λ,易知=(0,λ,2-λ),=(0,2,0)是平面SAB的一個(gè)法向量,故點(diǎn)M與平面SAB的距離d2===λ,∴點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為d1+d2=2-λ+λ=2,是定值,故D正確.故選ABD.7.在四棱錐P-ABCD中,=(4,-2,4),=(-4,1,0),=(-6,2,-8).設(shè)平面ABCD的法向量為n=(x,y,z).則可得不妨令x=1,則y=4,z=1,可得n=(1,4,1).則h=||·|cos<,n>|===.故答案為.8.如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,2),O(2,1,1),E(1,2,0),則=(0,1,-1),=(-1,2,-2),則cos<,>===.又<,>∈[0,π],所以sin<,>=,所以點(diǎn)O到直線A1E的距離為||·sin<,>=×=.故答案為.9.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,0),則=(1,0,1),=(1,1,0),=(0,1,0).設(shè)平面A1DB的法向量為n=(x,y,z),則不妨令x=1,則y=-1,z=-1,所以n=(1,-1,-1),所以平面A1DB與平面D1CB1間的距離d===.10.(1)證明如圖,取EC的中點(diǎn)G,連接BD,交AC于點(diǎn)N,連接GN,GF,因?yàn)锳BCD是菱形,所以AC⊥BD,且N是AC的中點(diǎn),所以GN∥AE且GN=AE.又AE∥BF,AE=2BF=2,所以GN∥BF且GN=BF,所以四邊形BNGF是平行四邊形,所以GF∥BN.又EA⊥平面ABCD,BN?平面ABCD,所以EA⊥BN.又因?yàn)锳C⊥BN,AC∩EA=A,AC,EA?平面EAC,所以NB⊥平面EAC,所以GF⊥平面EAC.又GF?平面EFC,所以平面EFC⊥平面EAC.(2)解∵GN∥AE,EA⊥平面ABCD,∴GN⊥平面ABCD,且CN⊥BN,∴以N為原點(diǎn),NC,NB,NG所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(-1,0,2),B(0,,0),C(1,0,0),F(0,,1),A(-1,0,0),D(0,-,0).∵M(jìn)在棱EC上,∴可設(shè)=λ=λ(-2,0,2),∴M(1-2λ,0,2λ),∴=(1-2λ,,2λ),=(0,2