《漫談小概率事件》教案

PAGEPAGE13《漫談小概率事件》教案一、人們的生活中也能看見小概率事件的存在，而且經(jīng)常應(yīng)用到小概率事件的實(shí)際不可能原理，因?yàn)樾「怕适录谝淮卧囼?yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，所以人們對待小概率事件有兩種截然相反的態(tài)度：一種是不愿意承認(rèn)小概率事件的發(fā)生，對小概率事件聽之任之、不聞不問；另一種是更愿意承認(rèn)小概率事件的發(fā)生，整日處于杞人憂天或守株待兔的境界。本文通過實(shí)例，用辯證思維方法來闡述小概率事件原理的應(yīng)用。二、概率論與小概率事件概率論最早起源賭博問題。17世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal）、費(fèi)馬（P.deFermat）及荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯（C.Huygens）等基于排列組合方法，解決了“分賭注問題”及“賭徒輸光問題”，于是出現(xiàn)了概率論。18～19世紀(jì)，人們注意到某些生物、物理和社會現(xiàn)象與機(jī)會游戲之間的相似性，從而概率論被廣泛應(yīng)用到這些領(lǐng)域，大大推動了概率論的發(fā)展。瑞士數(shù)學(xué)家貝努利（建立了概率論中的第一個大數(shù)定律。隨后，經(jīng)過數(shù)學(xué)家們不斷深入的研究，概率論的理論逐漸成熟。概率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國民經(jīng)濟(jì)、現(xiàn)代化科技等方面的應(yīng)用價值體現(xiàn)越來越廣泛，現(xiàn)代日常生活更是與概率有著千絲萬縷的聯(lián)系。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門科學(xué)。概率是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。隨機(jī)事件A發(fā)生的概率一般用表示，并規(guī)定。對于概率值很接近于1的事件，其對立事件的概率必然很接近于0。在概率論中，我們把概率很接近于0的事件稱為小概率事件。那么多大的概率值算小概率呢？這要根據(jù)具體情況而確定：對于某些非常重要的試驗(yàn)（場合），當(dāng)事件的發(fā)生會產(chǎn)生嚴(yán)重后果（如飛機(jī)失事、沉船等）時，應(yīng)選得小一些如0.0001，甚至更小一些；否則可以適當(dāng)大一些。一般多采用0.01、0.005這兩個值：即事件發(fā)生的概率在0.01或0.005以下的事件稱為小概率事件。而0.01、0.005這兩個值稱為小概率標(biāo)準(zhǔn)。三、小概率原理及其推斷方法（一）小概率原理定理一(貝努利大數(shù)定律）：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，記事件發(fā)生的次數(shù)為。是事件Ａ發(fā)生的概率。則對于任意正數(shù)＜0，有或根據(jù)貝努利大數(shù)定律，事件發(fā)生的頻率/依概率收斂于事件發(fā)生的概率。就是說，當(dāng)很大時，事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性非常小。假如某事件發(fā)生的概率很小，由實(shí)際推斷原理，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，便可以用事件發(fā)生的頻率來代替概率。倘若某事件發(fā)生的概率很小，則它在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率也應(yīng)該很小。例如，若＝0.001，則大體上在1000次試驗(yàn)中，才能出現(xiàn)1次。因此，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生。在概率論的應(yīng)用中，稱這樣的事件為實(shí)際不可能事件。實(shí)際不可能事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的。這就是小概率原理，也稱為小概率的實(shí)際不可能性原理。它是統(tǒng)計假設(shè)檢驗(yàn)決定推翻還是接受假設(shè)的依據(jù)，也是人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出的一條實(shí)用性很強(qiáng)的原理。小概率事件遲早會發(fā)生。小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際不會發(fā)生，并不代表它永遠(yuǎn)都不會發(fā)生。小概率事件遲早都會發(fā)生是指只要獨(dú)立的試驗(yàn)次數(shù)無限增多，那么小概率事件將會發(fā)生。下面我們將說明這一結(jié)論。在隨機(jī)試驗(yàn)中，設(shè)事件出現(xiàn)的概率為，設(shè)表示“在第次試驗(yàn)中出現(xiàn)”，則，，在前次相互獨(dú)立的試驗(yàn)中一次都不出現(xiàn)的概率為，則在前次相互獨(dú)立的試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次的概率為，無論如何小，當(dāng)時，，這說明小概率事件遲早會發(fā)生。（二）小概率推斷方法小概率原理的推斷方法是概率性質(zhì)的反證法，指的是首先提出假設(shè)，其次根據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果來進(jìn)行計算，最后按照一定的概率標(biāo)準(zhǔn)作出判斷。若導(dǎo)致不合理現(xiàn)象出現(xiàn)，即小概率事件發(fā)生，則拒絕假設(shè)；若未導(dǎo)致不合理現(xiàn)象出現(xiàn)，即小概率事件未發(fā)生，則不拒絕假設(shè)。小概率原理在概率論中并不占有多么重要的地位，但卻是一個簡單、基本而且頗有實(shí)用意義的原理，在我們的日常生活中有著很廣泛的應(yīng)用。小概率原理常常在不經(jīng)意間指導(dǎo)人們的實(shí)際生活。因?yàn)槿藗儓?jiān)持這樣一個信念：小概率事件在1次試驗(yàn)中是不會發(fā)生的。如果居然發(fā)生了，絕不會認(rèn)為是必然現(xiàn)象，而認(rèn)為是一定有著某些偶然因素。這就是人們?yōu)槭裁丛诿髦烙酗w機(jī)失事發(fā)生，仍然敢于乘飛機(jī)旅行、出差的原因。但也有相反的情況：即人們更愿意承認(rèn)小概率事件的發(fā)生。例如在福利彩票、體育等的發(fā)行過程中，盡管人們知道中大獎的機(jī)會幾乎為0，但人們購買的熱情依然很高。這里，當(dāng)然有人們愿意為福利事業(yè)、體育獻(xiàn)愛心的一面，但最主要的因素是人們期望小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生（購買幾張彩票就中大獎）的僥幸心理作祟。四、小概率事件和不可能事件之間的區(qū)別和聯(lián)系概率論中把在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。人們通常用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性。即：不可能事件的概率為0。但概率為0的事件不一定為不可能事件。小概率事件因其概率小而常常會與不可能事件混淆。但兩者從本質(zhì)上來講，是有區(qū)別的。所謂小概率事件是指發(fā)生的可能性小，但有發(fā)生機(jī)會的事件，而不可能事件是指完全不可能發(fā)生，概率為零的事件。比如，某人在某時刻既在甲地又在乙地，這屬于自相矛盾的事件，所以這是一個不可能事件。而隨著社會的不斷進(jìn)步和發(fā)展，人的能力與素質(zhì)的不斷提高，有些不可能事件可能會轉(zhuǎn)變成為小概率事件。例如，一直讓我們引為自豪的110米欄的跨欄項(xiàng)目，在2006年7月12日之前，打破12秒91的世界記錄是一件不可能事件，但是，在7月12日這一天，我國運(yùn)動員劉翔跑出了12秒88的好成績，成功打破12秒91的世界記錄。至此，打破12秒91的世界記錄這一事件，由一不可能事件轉(zhuǎn)換成一小概率事件。五、小概率事件的應(yīng)用（一）小概率事件原理在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)是小概率原理,而不是邏輯推理.在顯著性假設(shè)檢驗(yàn)理論中,一般把小概率稱為顯著性水平.假設(shè)檢驗(yàn)是在給定顯著性水平之下,判斷某一假設(shè)的正確性的.從邏輯上講,是一種含有否定意義的結(jié)論形式,這個推斷結(jié)論是有可能性錯誤的結(jié)論,它不但表現(xiàn)了概率統(tǒng)計的特點(diǎn),而且體現(xiàn)了可能與不可能的辯證關(guān)系.1、正態(tài)分布的“3—原則”若，則所以由此看出,的值幾乎以概率1落在，區(qū)間內(nèi),也就是說,X的值以很小的概率落在之外。這個結(jié)論在實(shí)際中也有重要應(yīng)用.如:某生產(chǎn)線中袋裝鹽的質(zhì)量X服從均值為1000g,標(biāo)準(zhǔn)差為20g的正態(tài)分布,即,現(xiàn)對袋裝鹽的質(zhì)量進(jìn)行抽查,發(fā)現(xiàn)有一袋鹽質(zhì)量為1080g,問:是否有理由懷疑生產(chǎn)線存在故障?由正態(tài)分布的“3—原則”,袋裝鹽質(zhì)量應(yīng)以概率1落在（1000-320,1000+320）即(940,1060)之內(nèi),現(xiàn)在被抽取的這袋鹽為1080g,落在此區(qū)間的外部,即小概率事件竟然在一次試驗(yàn)中發(fā)生了,所以我們有理由懷疑該生產(chǎn)線發(fā)生了故障,需要檢修.2、在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用利用小概率事件來做假設(shè)檢驗(yàn):在假設(shè)下設(shè)計一個小概率(如1%)事件.在一次試驗(yàn)中,這個一般不出現(xiàn);但如果它居然出現(xiàn)了,便使人不得不懷疑假設(shè)的正確性,因此否定.例1某廠有一批產(chǎn)品,共有200件,經(jīng)檢驗(yàn)合格才能出廠.按國家標(biāo)準(zhǔn),次品率不得超過1%,今從中任抽5件,發(fā)現(xiàn)這5件中含有次品.問這批產(chǎn)品是否能出廠?解：設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為,問題化為:如何根據(jù)抽樣的結(jié)果來判斷不等式“”是否成立?要檢驗(yàn)的假設(shè)是“”.首先,我們假定成立,此時,200件中最多有2件次品,從中任取5件,令A(yù)“沒有取到次品”,由古典概型知從而,任抽5件,出現(xiàn)次品的概率=1-1-0.95=0.05以上結(jié)果說明,如果“”,那么平均在100回抽樣中,事件=“任取5件,出現(xiàn)次品”,最多出現(xiàn)5回.也就是說,在一次抽樣中,將很少遇到A發(fā)生.由小概率原理可知,小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的,如果在一次試驗(yàn)中,某個小概率事件竟然發(fā)生了,那么就認(rèn)為這是一種反?，F(xiàn)象.然而現(xiàn)在的事實(shí)是,在一次具體的抽樣實(shí)踐中,A竟然發(fā)生了,這是“不合情理”的.為什么會出現(xiàn)這種不合情理的情況呢?其根源在于我們假定了,因此“”的假設(shè)是不能接受的.這只能說明該產(chǎn)品次品率不止0.01,故判斷不能出廠.由于小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是有可能會發(fā)生的,故采用上述方法將可能會判斷失誤.假設(shè)檢驗(yàn)中可能會產(chǎn)生的兩類錯誤.其中,第一類錯誤是當(dāng)實(shí)際上成立的條件下,被我們判斷為不成立,即犯了“棄真”的錯誤.顯然,犯“棄真”錯誤的概率就是顯著性水平.第二類錯誤是當(dāng)實(shí)際上不成立時,反而被我們判斷為成立,即犯了“采偽”的錯誤.就我們的主觀愿望來說,自然是希望犯這兩類錯誤的概率都盡可能的小,即二者都是小概率事件.然而可以證明,當(dāng)樣本容量確定之后,犯兩類錯誤的概率不可能同時減小,減小其中一個,另一個往往就會增大.若要它們同時減小,只有增加樣本容量.在實(shí)際問題中,因人們常把“棄真”看得比“采偽”更重要些,一般總是控制犯第一類錯誤的概率,這就是數(shù)理統(tǒng)計中的“顯著性檢驗(yàn)”.從上面的敘述看到,假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法就是從抽取的樣本值出發(fā),通過觀察一個“小概率事件”在一次抽樣中是否發(fā)生來判斷原來對總體X的某種“看法”(原假設(shè))是否正確.具體做法是:為了檢驗(yàn)?zāi)硞€假設(shè)是否成立,首先假設(shè)成立,如果由此導(dǎo)出了一個小概率(小于某個數(shù),即為顯著性水平,常取=0.05,0.01等)事件發(fā)生,則認(rèn)為是“反證法”推出了矛盾,從而應(yīng)否定,否則接受.3、在Bayes統(tǒng)計中的應(yīng)用下面是英國統(tǒng)計學(xué)家Savage曾考察的兩個著名的統(tǒng)計實(shí)驗(yàn)：A:一位常飲牛奶的女士稱她能辨別先倒入杯子里的是茶還是牛奶,對此做了十次試驗(yàn)她都答對了.B:一個音樂家聲稱他能從一頁樂譜辨別是Haydn還是Mozart的作品,十次試驗(yàn)中他都能正確辨別.在這兩個統(tǒng)計實(shí)驗(yàn)中,假如認(rèn)為被實(shí)驗(yàn)者是在猜測,每次成功的概率為0.5,那么十次都猜中的概率為2～10=0.0009766.這是一個很小的概率事件,是幾乎不可能發(fā)生的,所以此假設(shè)應(yīng)該被拒絕.被實(shí)驗(yàn)者每次成功的概率要比0.5大得多,這就不是猜測,而是他們的經(jīng)驗(yàn)幫了他們的忙,可見經(jīng)驗(yàn)———先驗(yàn)假設(shè)是一種在推斷中不可忽視的重要假設(shè),我們應(yīng)該加以利用.Bayes統(tǒng)計就是基本信息、總體信息、樣本信息和先驗(yàn)信息的統(tǒng)計推斷,通過小概率原理可知,先驗(yàn)信息在統(tǒng)計推斷中起著非常重要的作用.Bayes統(tǒng)計重視出現(xiàn)的樣本觀察值,即重視對先驗(yàn)信息的收集、挖掘和加工,使之?dāng)?shù)量化,形成先驗(yàn)分布,參加到統(tǒng)計推斷中來,從而提高了統(tǒng)計推斷的質(zhì)量.（二）日常生活中的應(yīng)用小概率事件在一次試驗(yàn)中是不會發(fā)生的，一旦發(fā)生決不會認(rèn)為是必然現(xiàn)象，而認(rèn)為是一定有著某些偶然因素。例2．某接待站在一周曾接待12次來訪，已知所有這12次來訪都是在此周的某兩天，問此接待站接待來訪時間是隨機(jī)的還是規(guī)定的？解：假定此接待站接待來訪時間是隨機(jī)的，則12次來訪都在這兩天的概率為顯然這是一個小概率事件，居然在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，因此有理由認(rèn)為是規(guī)定時間。例3．一停車場有16個車位排成一行，今發(fā)現(xiàn)有12個位置停了車，且有4個連接的車位空著，這種現(xiàn)象使人感到意外嗎？解：設(shè)A＝{12個車位停了車且有4個連接的車位空著}，則由古典概型可知：這顯然達(dá)到小概率事件的標(biāo)準(zhǔn)，由小概率原理有理由認(rèn)為這種現(xiàn)象使人感到意外，發(fā)生這種情況的原因可能是人為所致，而非隨機(jī)停車造成的。在工業(yè)生產(chǎn)、車輛交通等方面中，發(fā)生意外事件（事故）認(rèn)為是不可避免的。從統(tǒng)計學(xué)的角度來分析,一般情況下，事故是屬于小概率事件的。因此我們可以通過及時的處理來控制這些破壞性的小概率事件不發(fā)生。（三）在保險、福利彩票等方面的應(yīng)用保險事業(yè)是最早使用概率的部門之一，它會有巨大的利潤就是成功的運(yùn)用了小概率事件原理。例4.某一保險公司，有2500個統(tǒng)一年齡層的相同社會階層的人參加保險，在一年內(nèi)，每個人死亡的概率為0.002。每個參加保險的人在1月1日付12元保險費(fèi)，而當(dāng)它在這一年死亡時，家屬可從公司領(lǐng)取保險費(fèi)2000元。求：此保險公司虧本的概率。解：按年來算，1月1日，公司收入為250012=30000元，假定死亡人，則保險公司一年付出2000元，虧本指：2000>30000,>15,即。把“參加保險的每人在該年是否死亡”看成一次隨機(jī)試驗(yàn)，2500人參加試驗(yàn)就相當(dāng)于2500重貝努利試驗(yàn)，于是(,2500,0.002)。利用泊松定理可得“此保險公司虧本”顯然是一個小概率事件,因此有理由認(rèn)為此保險公司在該年不會虧本。事實(shí)上可以計算該保險公司在本年的獲利低于10000元的概率為0.014，也就是說該保險公司在本年的獲利不會低于10000元。自1987年我國對彩票開禁以來，每年都有數(shù)十億元人民幣的彩票發(fā)行,人們購買彩票的熱情很高,盡管大多數(shù)人知道中大獎的機(jī)會幾乎為0，但大部分是抱著小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的僥幸心理,當(dāng)然也有人們是為社會獻(xiàn)愛心。就以購買江蘇體彩為例：從0～9這十個數(shù)中任選（可重復(fù)）6個數(shù)組成6位數(shù),6位數(shù)選定后,還要在0,1,2,3,4中選一個“特別號”，以兌特等獎用，不難算的中特等獎的概率為五百萬分之一?？梢娭懈哳~獎金率極低,想在一夜間成為巨富極難。故買彩票要有一顆平常心。例5彩票“21選5”中頭獎的概率為，現(xiàn)有20萬人次買彩票，問至少有一人中彩票的概率？解：設(shè)表示20萬人次中獎的人次數(shù)，則，由泊松定理知，它可近似于參數(shù)的泊松分布，查泊松分布得由此可看出，一個人買一注彩票中獎的可能性微乎其微，但仍有人中了頭獎，其原因就是每天幾乎都有成千上萬的人買彩票。（四）小概率事件在體育中的應(yīng)用近幾年來,我們在體育教學(xué)和科研中對統(tǒng)計學(xué)的應(yīng)用真可謂是突飛猛進(jìn),若對其發(fā)展傾向作總結(jié)可分為兩個方面的表現(xiàn):(1)數(shù)理統(tǒng)計的很多方法已經(jīng)被越來越多地運(yùn)用在體育運(yùn)動的各個研究領(lǐng)域,這是令人欣慰的;(2)在對體育統(tǒng)計的運(yùn)用中一些方法的使用顯得草率,甚至出現(xiàn)盲目性,這樣必然帶來各種各樣的問題。對此,根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),初學(xué)者所暴露的問題比較突出。以往也曾有許多文獻(xiàn)對其中存在的問題行過討論,但還未能從根本上改變目前體育統(tǒng)計應(yīng)用中不利的現(xiàn)狀。可以肯定的是,從目前我國體育科學(xué)發(fā)展的水平上分析,最緊迫的問題并不是缺乏有效的數(shù)理統(tǒng)計的方法,而是在面對體育領(lǐng)域中的具體問題,運(yùn)用何種統(tǒng)計方法,以及如何正確使用統(tǒng)計方法的問題。小概率事件原則作為統(tǒng)計推斷的最基本的思想,在體育科研甚至在體育統(tǒng)計教科書中都沒有得到足夠的重視。從國內(nèi)體育科研文獻(xiàn)中,采用統(tǒng)計方法進(jìn)行處理的論文很多,但明確此思想的很少。從暴露的問題中發(fā)現(xiàn),初學(xué)者在處理統(tǒng)計推斷過程中,對小概率事件原則這個概念也是模糊的。在一些體育統(tǒng)計教科書中,也并沒有將這個思想提高到應(yīng)有的地位加以明確,致使在解決具體問題時,出現(xiàn)一定的實(shí)際困難。分析其原因,有兩個方面:(1)對小概率事件原則在統(tǒng)計推斷應(yīng)用中的地位和作用認(rèn)識不足,產(chǎn)生輕視思想。(2)源于體育運(yùn)動的復(fù)雜性,實(shí)際問題中的小概率事件原則有時難以確定,產(chǎn)生回避心理。對此,從教學(xué)過程中看,初學(xué)者反映尤其嚴(yán)重些?？陀^地講,小概率事件原則是聯(lián)系實(shí)際問題與統(tǒng)計方法的重要橋梁,輕視固然不行,回避也不妥。下面就談?wù)勑「怕适录碓隗w育方面的應(yīng)用。例6根據(jù)以往資料，籃球運(yùn)動員張三投籃的命中率都為70％，他在一場比賽開始后連續(xù)投籃7次命中次數(shù)不超過2次，可否認(rèn)為該運(yùn)動員尚未進(jìn)入狀態(tài)，為教練提供理論依據(jù)。分析解答：假定7次投籃是相互獨(dú)立的7次試驗(yàn)，用表示其投中的次數(shù)，則服從=5,=0.7的二項(xiàng)分布，其概率分布為投籃7次命中0次、1次、2次的概率分別為：命中次數(shù)不超過2次的概率為：這是一個小概率事件，而在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了。從而說明該運(yùn)動員此時不在狀態(tài)，這時他的命中率要低于0.7。同理，也可知道其他球員的比賽狀態(tài)，作為教練指導(dǎo)比賽的參考依據(jù)。例7已知某體院四年級男生36人安靜時心率均數(shù)為68.6次/分,標(biāo)準(zhǔn)差為6.4次/分,由文獻(xiàn)得知,正常男子安靜時心率均數(shù)為72次/分,那么體院四年級男生的心率是否與一般正常成年男子不同?顯然,該課題是研究經(jīng)常參加鍛煉是否會引起安靜時心率的變化。針對36名經(jīng)常參加鍛煉的體院四年級男生同一般成年男子的安靜時心率的差異,分析它是否是抽樣誤差引起的,就要確立一個小概率的顯著性水平(如取=0.01),先假定其差異是僅源于抽樣誤差,則提出假設(shè)檢驗(yàn):。即體院的總體均數(shù)μ等于已知總體“一般”的總體均數(shù)。,可理解為體院樣本是從總體“一般”中隨機(jī)抽樣的。在此前提下,再計算因?yàn)槌闃诱`差而取得這樣的樣本的可能性,若可能性很小,即小于顯著性水平,有顯著差異,就自然對原來的假設(shè)產(chǎn)生懷疑,從而拒絕原假設(shè)。顯然可用檢驗(yàn)統(tǒng)計量：來解決。于是，故。由,可判定與的差異具有高度顯著性,可以基本認(rèn)為安靜時的心率“體院學(xué)生”不同于“一般”,根本原因可能是長期鍛煉導(dǎo)致心肌增強(qiáng),每搏輸出量增加等原因,而不是小小的抽樣誤差所能影響的。該例是體育統(tǒng)計教科書中統(tǒng)計假設(shè)檢驗(yàn)部分的一個典型例題。從中不難說明,小概率事件原則的正確使用,統(tǒng)計推斷就顯得清楚、明朗,反之,若理解不透或認(rèn)識錯誤,則后面的工作將陷入盲目,甚至得出錯誤的結(jié)論。（五）小概率事件在商場管理中的應(yīng)用例8商場某電器部門有12臺電器,由于種種原因,每臺電器有時需要開,有時需要關(guān)，每臺電器的開或關(guān)是相互獨(dú)立的。由以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù),每臺電器在一個工作日內(nèi)關(guān)閉的概率為，為了了解該部門的用電情況,需要計算其在一天之內(nèi)恰有k臺電器處于關(guān)閉狀態(tài)的概率是多大?這是一個簡單的Bernoulli概型問題．每個工作日內(nèi)處于關(guān)閉狀態(tài)的電器數(shù)X服從參數(shù)為n=12,p=1/3的二項(xiàng)分布，容易算出X的分布列，見表一。表一X的二項(xiàng)分布圖00.00770750.190757100.00049710.04624460.11