自動控制原理 課件 4.1 根軌跡法的基本概念

4.1根軌跡法的基本概念通過前面的分析可知，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性主要由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）決定。因此，研究閉環(huán)特征根在平面的分布可以間接分析控制系統(tǒng)的性能。對于高階系統(tǒng)而言，直接求解特征根非常困難。因此，有必要探索不解高次代數(shù)方程也能求出系統(tǒng)閉環(huán)特征根，進(jìn)而分析控制系統(tǒng)性能的有效方法。WalterRichardEvans（1920-1999）1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根軌跡法，并且在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用。這是一種由開環(huán)傳遞函數(shù)間接判斷閉環(huán)特征根的概略圖解法，從而避免了直接求解系統(tǒng)閉環(huán)特征根的困難。4.1.1根軌跡的定義根軌跡簡稱根跡，它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上變化的軌跡。3例子如圖4-1-1所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（4-1-1）開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)p1=0、p2=-2，沒有零點(diǎn)，開環(huán)增益為K。閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征根

閉環(huán)傳遞函數(shù)（4-1-2）如果令開環(huán)增益K:0→∞，可以用解析的方法求出閉環(huán)極點(diǎn)的全部數(shù)值，將這些數(shù)值標(biāo)注在s平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，如圖4-1-2所示。圖上，粗實(shí)線就稱為系統(tǒng)的根軌跡，根軌跡上的箭頭表示隨著K值的增加，根軌跡的變化趨勢，而標(biāo)注的數(shù)值則代表與閉環(huán)極點(diǎn)位置相應(yīng)的開環(huán)增益K的數(shù)值。利用圖4-1-2所示的系統(tǒng)根軌跡圖能方便地分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)K變化的規(guī)律。穩(wěn)定性：當(dāng)K由0→∞變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)s1，s2均在s平面的左半平面，因此，系統(tǒng)對所有的K值均是穩(wěn)定的。動態(tài)性能：當(dāng)0<K<0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)s1，s2為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)極點(diǎn)，系統(tǒng)過阻尼；當(dāng)K=0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)極點(diǎn)，系統(tǒng)臨界阻尼；當(dāng)K>0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為一對具有相同負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)欠阻尼。穩(wěn)態(tài)性能：系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于Ⅰ型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就是穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。根軌跡與系統(tǒng)的特性有著密切的關(guān)系。有了系統(tǒng)的根軌跡，就可以了解系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的情況。4.1.2根軌跡方程系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)控制系統(tǒng)一般可用圖4-1-3所示的結(jié)構(gòu)圖來描述。圖4-1-3閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（4-1-2）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（4-1-3）式中，K*是根軌跡增益，從零到無窮大變化；zi、pj分別是開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)。并假定n≥m。閉環(huán)特征方程即將式（4-1-3）帶入式（4-1-4），得

（4-1-5）滿足式（4-1-5）的點(diǎn)，必定是根軌跡上的點(diǎn)，稱式（4-1-5）為根軌跡方程。不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。（4-1-4）模值方程相角方程（4-1-6）（4-1-7）方程（4-1-6）和（4-1-7）是根軌跡上的點(diǎn)同時(shí)滿足的兩個(gè)條件。根據(jù)這兩個(gè)條件，可以完全確定s平面上的根軌跡和根軌跡上對應(yīng)的K*值。由式（4-1-7）可知，相角條件與根軌跡增益K*無關(guān)，因此，相角條件是確定s平面上根軌跡的充分必要條件，而模值條件可以作為確定根軌跡上各點(diǎn)的K*值的依據(jù)。例4-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試判斷是否在根軌跡上。解：系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-2，p3=-5，無開環(huán)零點(diǎn)。將開環(huán)零、極點(diǎn)及K*同時(shí)標(biāo)注在復(fù)平面上，如圖4-1-4所示。點(diǎn)s1若在根軌跡上，必須滿足相角條件。將p1、p2、p3帶入式(4-1-7)，得顯然，點(diǎn)s1不滿足相角條件，所以點(diǎn)s1不在根軌跡上。例4-2已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，確定根軌跡上點(diǎn)所對應(yīng)的K*值。解：系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，p3=-5，無開環(huán)零點(diǎn)。將根軌跡上點(diǎn)

代入式(4-1-6)，得得到根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極