江蘇徐州沛縣2022年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/24江蘇徐州沛縣2022年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題有8小題，每小題3分，共24分。1．下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．2．如圖，兩個(gè)三角形是全等三角形，則∠α的度數(shù)是（）A．50° B．58° C．60° D．72°【分析】根據(jù)圖形得出△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠α＝∠A，再代入求出答案即可．解：因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，所以∠α＝∠A，因?yàn)椤螦＝50°，所以∠α＝50°，故選：A．3．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．∠B＝∠C B．BC＝2BD C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝BC【分析】證Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），得∠B＝∠C，BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，則BC＝2BD，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，AD＝BC，即可得出結(jié)論．解：因?yàn)锳D⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，所以Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），所以∠B＝∠C，BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，所以BC＝2BD，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，AD＝BC，故選：D．4．如圖，木工師傅做門框時(shí)，常用木條EF固定長(zhǎng)方形門框ABCD，使其不易變形，這種做法的依據(jù)是（）A．三角形穩(wěn)定性 B．長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線【分析】用木條EF固定矩形門框ABCD，即是組成△CEF，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．解：加上EF后，原不穩(wěn)定的四邊形ABCD中具有了穩(wěn)定的△ECF，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．故選：A．5．使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）A．一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 B．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 C．一條邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩條邊對(duì)應(yīng)相等【分析】利用全等三角形的判定來(lái)確定．做題時(shí)，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個(gè)驗(yàn)證．解：A、一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，利用已知的直角相等，可得出另一組銳角相等，但不能證明兩三角形全等，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩個(gè)銳角相等，那么也就是三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，但不能證明兩三角形全等，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、一條邊對(duì)應(yīng)相等，再加一組直角相等，不能得出兩三角形全等，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、兩條邊對(duì)應(yīng)相等，若是兩條直角邊相等，可利用SAS證全等；若一直角邊對(duì)應(yīng)相等，一斜邊對(duì)應(yīng)相等，也可證全等，故D選項(xiàng)正確．故選：D．6．如圖，已知AP平分∠BAC，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，若添加一個(gè)條件，即可推出AM＝AN，則該條件不可以是（）A．MN⊥AP B．MP＝NP C．∠APM＝∠APN D．∠AMP＝∠ANP【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合三角形全等的判定方法，驗(yàn)證各選項(xiàng)提供的條件是否能證△APM≌△APN即可．解：因?yàn)锳P平分∠BAC，所以∠BAP＝∠CAP，A、因?yàn)镸N⊥AP，所以∠APM＝∠APN＝90°，又由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，能判定△APM≌△APN（ASA），所以AM＝AN，故選項(xiàng)A不符合題意；B、由∠BAP＝∠CAP，PM＝PN，AP＝AP，不能判定△APM≌△APN，所以不能推出AM＝AN，故選項(xiàng)B符合題意；C、由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，∠APM＝∠APN，能判定△APM≌△APN（ASA），所以AM＝AN，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，∠AMP＝∠ANP，能判定△APM≌△APN（AAS），所以AM＝AN，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：D．7．用三張正方形紙片，按如圖所示方式構(gòu)成圖案，若要使所圍成陰影部分的三角形是直角三角形，則選取的三個(gè)正方形紙片的面積不可以是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5【分析】根據(jù)圖形可知，三個(gè)正方形的面積正好是直角三角形三邊的平方，再根據(jù)兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．解：由圖可知，三個(gè)正方形的面積正好是直角三角形三邊的平方，因?yàn)?+2＝3，2+2＝4，3+4≠5，2+3＝5，所以選項(xiàng)A、B、D不符合題意，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．8．如圖，直線l1、l2相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線外一點(diǎn)，在直線l1、l2上找一點(diǎn)C，使△ABC為一個(gè)等腰三角形．滿足條件的點(diǎn)C有（）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【分析】以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧；以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，再作AB的垂直平分線分別找出交l1、l2點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．解：以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交l1、l2于4個(gè)點(diǎn)；以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交l1、l2于2個(gè)點(diǎn)，再作AB的垂直平分線交l1、l2于2個(gè)點(diǎn)，共有8個(gè)點(diǎn)，故選：D．二、填空題本大題有8小題，每小題4分，共32分。9．如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個(gè)小正方形所形成的圖案，再將方格內(nèi)空白的一個(gè)小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形的涂法有3種．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合及正方形的對(duì)稱軸是兩條對(duì)角線所在的直線和兩組對(duì)邊的垂直平分線，得出結(jié)果．解：在1，2，3處分別涂黑都可得一個(gè)軸對(duì)稱圖形，故涂法有3種，故答案為：3．10．甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲往北偏東45°方向走了120m，乙往南偏東45°方向走了90m，這時(shí)甲、乙相距150m．【分析】直接利用方向角畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．解：如圖所示：由題意可得，∠AOB＝90°，AO＝120m，BO＝90m，則AB＝＝150（m）．故答案為：150．11．在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，且CD＝4，則AB＝8．【分析】根據(jù)“斜邊上的中線等于斜邊的一半”計(jì)算即可．解：在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，且CD＝4，所以AB＝2CD＝8．故答案是：8．12．如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PD＝3，則PE的最小值是3．【分析】過(guò)P作PE⊥OB于E，根據(jù)垂線段最短得出此時(shí)PE的長(zhǎng)最小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PE＝PD，再求出答案即可．解：過(guò)P作PE⊥OB于E，此時(shí)PE的長(zhǎng)最小，因?yàn)镺P平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PE＝PD，因?yàn)镻D＝3，所以PE＝3，即PE的最小值是3，故答案為：3．13．若△ABC≌△DEF，AB＝DE＝4，△DEF面積為10，則在△ABC中AB邊上的高為5．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出△ABC的面積也是10，再根據(jù)三角形的面積公式求出AB上的高即可．解：設(shè)△ABC的邊AB上的高為h，因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，△DEF面積為10，所以△BAC的面積是10，因?yàn)锳B＝4，所以h＝10，解得：h＝5，即△ABC中AB邊上的高為5，故答案為：5．14．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，將點(diǎn)D分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接AE、AF．根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，可知∠EAF＝106°．【分析】連接AD，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解答即可．解：如圖，連接AD，因?yàn)镈點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F，所以∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，因?yàn)椤螧＝55°，∠C＝72°，所以∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣55°﹣72°＝53°，所以∠EAF＝2∠BAC＝106°，故答案為：106．15．如圖，將△ABC折疊，使點(diǎn)B落在AC邊的中點(diǎn)D處，折痕為MN，若BC＝3，AC＝2，則△CDN的周長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)知BN＝DN，將△CDN的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為BC+CD即可．解：因?yàn)閷ⅰ鰽BC折疊，使點(diǎn)B落在AC邊的中點(diǎn)D處，所以BN＝DN，CD＝AC，所以△CDN的周長(zhǎng)為DN+CN+CD＝BC+AC，因?yàn)锽C＝3，AC＝2，所以BC+AC＝3+1＝4，所以△CDN的周長(zhǎng)為4，故答案為：4．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，按如下步驟尺規(guī)作圖：（1）分別以B、C為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；（2）作射線AD，連接BD，CD．則下列結(jié)論中：①△BCD是等邊三角形；②AD垂直平分BC；③DC⊥AC；④∠BAD＝∠CAD；⑤S四邊形ABDC＝AD?BC．其中一定正確的結(jié)論是：①②④（填序號(hào)）．【分析】利用基本作圖得到BD＝CD＝BC，則根據(jù)等邊三角形的定義可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用△BCD為等邊三角形得到∠DCB＝60°，則只有當(dāng)∠ACB＝30°時(shí)，DC⊥AC，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；BC與AD相交于點(diǎn)O，如圖，由于AB＝AC，AO⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可對(duì)④進(jìn)行判斷；利用三角形面積公式可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．解：由作法得BD＝CD＝BC，所以△BCD為等邊三角形，所以①正確；因?yàn)镈B＝DC，AB＝AC，所以AD垂直平分BC，所以②正確；因?yàn)椤鰾CD為等邊三角形，所以∠DCB＝60°，所以只有當(dāng)∠ACB＝30°時(shí)，DC⊥AC，所以③錯(cuò)誤；BC與AD相交于點(diǎn)O，如圖，因?yàn)锳B＝AC，AO⊥BC，所以AO平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，所以④正確；因?yàn)锳D垂直平分BC，所以O(shè)B＝OC，因?yàn)镾△ABD＝?OB?AD，S△ABD＝?OC?AD，所以S四邊形ABDC＝?OB?AD+OC?AD＝（OB+OC）?AD＝BC?AD，所以⑤錯(cuò)誤．故答案為：①②④．三、解答題本大題有9小題，共84分。17．如圖，在△ABC和△ABD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD＝BC，AC＝BD．求證：∠C＝∠D．【分析】根據(jù)SSS證明△ADB與△BCA全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：在△ADB與△BCA中，，所以△ADB≌△BCA（SSS），所以∠C＝∠D．18．已知：如圖，在△ABC中，CD是中線，且CD＝AB．求證：△ABC是直角三角形．【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知△ACD與△BCD均為等腰三角形，所以運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理證得結(jié)論．【解答】證明：因?yàn)镃D是中線，所以AD＝BD＝AB．因?yàn)镃D＝AB，所以AD＝BD＝CD．所以∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB．又因?yàn)椤螦+∠DCA+∠B+∠DCB＝180°，所以∠DCA+∠DCB＝90°．所以∠ACB＝90°．所以△ABC是直角三角形．19．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求∠F的度數(shù)；（2）求證：DC＝CF．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)求出∠EDC，再由三角形的內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可．（2）證△DEC是等邊三角形，得CE＝CD，再證∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠B＝60°，因?yàn)镈E∥AB，所以∠B＝∠EDC＝60°，因?yàn)镈E⊥EF，所以∠DEF＝90°，所以∠F＝∠DEF﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）證明：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠B＝∠ACB＝60°，因?yàn)镈E∥AB，所以∠B＝∠EDC＝60°，所以∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，所以△DEC是等邊三角形，所以CE＝CD，因?yàn)椤螮CD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，所以∠CEF＝∠F＝30°，所以EC＝CF，所以CD＝CF．20．如圖，格點(diǎn)△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱△A'B'C'；（2）若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則△A'B'C'的面積為；（3）在直線MN上找一點(diǎn)P，使PA+PC最小（不寫作法，保留作圖痕跡）．【分析】（1）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）用矩形的面積減去周圍三個(gè)三角形的面積即可；（3）連接A′C，與直線MN的交點(diǎn)即為所求．解：（1）如圖所示，△A'B'C'即為所求．（2）△A'B'C'的面積為3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝，故答案為：；（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）若∠CAD＝50°，求∠B的度數(shù)；（2）如圖，若點(diǎn)E在邊AC上，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AE＝EF．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到∠B＝40°；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠F＝∠BAD，等量代換得到∠CAD＝∠F，于是得到結(jié)論．【解答】（1）解：因?yàn)锳B＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，所以∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又因?yàn)椤螩AD＝50°，所以∠C＝90°﹣∠CAD＝40°，所以∠B＝∠C＝40°；（2）證明：因?yàn)锳B＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，所以∠BAD＝∠CAD，因?yàn)镋F∥AB，所以∠F＝∠BAD，所以∠CAD＝∠F，所以AE＝FE．22．如圖，點(diǎn)A是網(wǎng)紅打卡地詩(shī)博園，市民可在云龍湖邊的游客觀光車站B或C處乘車前往，且AB＝BC，因市政建設(shè)，點(diǎn)C到點(diǎn)A段現(xiàn)暫時(shí)封閉施工，為方便出行，在湖邊的H處修建了一臨時(shí)車站（點(diǎn)H在線段BC上），由H處亦可直達(dá)A處，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判斷△ACH的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求路線AB的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．解：（1）△ACH是直角三角形，理由如下：因?yàn)锳C＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km，所以AC2＝AH2+CH2，所以△ACH是直角三角形；解：（2）因?yàn)椤鰽CH是直角三角形，所以AH⊥BC，設(shè)AB＝BC＝xkm，則BH＝BC﹣HC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，即x2＝12+（x﹣0.6）2，解得：x＝，所以AB＝km．23．等腰直角△ABC按如圖所示放置，AC＝BC，直角頂點(diǎn)C在直線m上，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AE⊥直線m于點(diǎn)E，BD⊥直線m于點(diǎn)D．（1）求證：EC＝BD；（2）設(shè)△AEC三邊長(zhǎng)分別為EC＝a，AE＝b，AC＝c，試通過(guò)兩種方法計(jì)算直角梯形AEDB的面積證明勾股定理．【分析】（1）通過(guò)AAS證得△CAE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（2）利用等面積法證得勾股定理．【解答】證明：（1）因?yàn)椤螦CB＝90°，所以∠ACE+∠BCD＝90°．因?yàn)椤螦CE+∠CAE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD．在△AEC與△BCD中，所以△CAE≌△BCD（AAS）．所以EC＝BD；（2）由①知：BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，所以S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又因?yàn)镾梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．所以a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．24．在“延時(shí)課堂”數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，同學(xué)們了解到，工人師傅常用角尺作一個(gè)已知角的角平分線．作法如下：如圖①，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過(guò)角尺0刻度的頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的角平分線．（1）聯(lián)系三角形全等的條件，通過(guò)證明△OMP≌△ONP，可知∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．則這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是；（2）在活動(dòng)的過(guò)程，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用兩個(gè)全等的三角形紙片也可以作一個(gè)已知角的角平分線．如圖②所示，△CDE≌△STR，將全等三角形的一組對(duì)應(yīng)邊DE、TR分別放在∠AOB的兩邊OA、OB上，同時(shí)使這組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)C、S分別落在OB、OA上，此時(shí)CE和SR的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)Q，則射線OQ即為∠AOB的角平分線．你認(rèn)為他們的作法正確嗎？并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用SSS證明三角形全等即可；（2）證明△ECO≌△RSO（AAS），推出OE＝PR，同法可證，△STO≌△CDO（AAS），推出OS＝OC，SE＝CR，再證明△SQE≌△CQR（AAS），推出SQ＝CQ，證明△OQS≌△OQC（SSS），可得∠QOA＝∠QOB．解：（1）在△POM和△PON中，，所以△POM≌△PON（SSS），所以∠POA＝∠POB，故答案為：SSS；（2）正確．理由：如圖2中，因?yàn)椤鰿DE≌△STR，所以EC＝RS，∠CED＝∠SRT，在△ECO和△RSO中，，所以△ECO≌△RSO（AAS），所以O(shè)E＝PR，同法可證，△STO≌△CDO（AAS），所以O(shè)S＝OC，所以SE＝CR，在△SQE和△CQR中，，所以△SQE≌