武漢市洪山區(qū)2022年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

9/30武漢市洪山區(qū)2022年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分。下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑。1．下列平面圖形中，不是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的定義逐個判斷即可．解：A．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；故選：C．2．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【分析】根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．解：A、3+4＜8，不能組成三角形；B、8+7＝15，不能組成三角形；C、13+12＞20，能夠組成三角形；D、5+5＜11，不能組成三角形．故選：C．3．如圖，∠DAC＝∠BAC，下列條件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（）A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL進行分析即可．解：A、DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，再加上公共邊AC＝AC，不能判定△ABC≌△ADC，故此選項符合題意；B、AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，再加上公共邊AC＝AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此選項不合題意；C、∠B＝∠D，∠DAC＝∠BAC，再加上公共邊AC＝AC，能利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此選項不合題意；D、∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，再加上公共邊AC＝AC，能利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此選項不合題意；故選：A．4．在△ABC中，到三邊距離相等的點是△ABC的（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三條高的交點 D．三邊中線的交點【分析】題目要求到三邊的距離相等，觀察四個選項看哪一個能夠滿足此要求，利用角的平分線的性質判斷即可選項D是可選的．解：利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知：三角形中到三邊的距離相等的點是三條角平分線的交點．故選：B．5．已知正多邊形的一個內角為144°，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】根據正多邊形的一個內角是144°，則知該正多邊形的一個外角為36°，再根據多邊形的外角之和為360°，即可求出正多邊形的邊數(shù)．解：因為正多邊形的一個內角是144°，所以該正多邊形的一個外角為36°，因為多邊形的外角之和為360°，所以邊數(shù)＝＝10，所以這個正多邊形的邊數(shù)是10．故選：B．6．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．360° B．480° C．540° D．720°【分析】根據四邊形的內角和及三角形的外角定理即可求解．解：如圖，AC、DF與BE分別相交于點M、N，在四邊形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，因為∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故選：A．7．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中點，EC⊥BD于E，交BA的延長線于F，若BF＝12，則△FBC的面積為（）A．40 B．46 C．48 D．50【分析】求出∠ABD＝∠ACF，根據ASA證△ABD≌△ACF，推出AD＝AF，得出AB＝AC＝2AD＝2AF，求出AF長，求出AB、AC長，根據三角形的面積公式得出△FBC的面積等于BF×AC，代入求出即可．解：因為CE⊥BD，所以∠BEF＝90°，因為∠BAC＝90°，所以∠CAF＝90°，所以∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，所以∠ABD＝∠ACF，因為在△ABD和△ACF中，所以△ABD≌△ACF，所以AD＝AF，因為AB＝AC，D為AC中點，所以AB＝AC＝2AD＝2AF，因為BF＝AB+AF＝12，所以3AF＝12，所以AF＝4，所以AB＝AC＝2AF＝8，所以△FBC的面積是×BF×AC＝×12×8＝48，故選：C．8．如圖，設△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝58°，則∠AEB的度數(shù)是（）A．124° B．122° C．120° D．118°【分析】證明△ACE≌△BCD，得出∠DBC＝∠CAE，進而再通過角之間的轉化，可最終求解出結論．解：因為△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝58°，所以AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，又因為∠ACB＝∠ACE+∠BCE，∠ECD＝∠BCE+∠BCD，所以∠BCD＝∠ACE，在△ACE和△BCD中，，所以△ACE≌△BCD（SAS），所以∠DBC＝∠CAE，所以58°﹣∠EBC＝60°﹣∠BAE，所以58°﹣（60°﹣∠ABE）＝60°﹣∠BAE，所以∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣52°＝118°．故選：D．9．如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下面結論：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP，其中正確的有（）A．②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④【分析】①連接OB，根據垂直平分線性質即可求得OB＝OC＝OP，即可解題；②根據周角等于360°和三角形內角和為180°即可求得∠POC＝2∠ABD＝60°，即可解題；③AB上找到Q點使得AQ＝OA，易證△BQO≌△PAO，可得PA＝BQ，即可解題；④作CH⊥BP，可證△CDO≌△CHP和RT△ABD≌RT△ACH，根據全等三角形面積相等即可解題．解：如圖，①連接OB，因為AB＝AC，BD＝CD，所以AD是BC垂直平分線，所以OB＝OC＝OP，所以∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，因為∠ABO+∠DBO＝30°，所以∠APO+∠DCO＝30°．故①正確；②因為△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，所以∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，因為∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，所以∠POC＝2∠ABD＝60°，因為PO＝OC，所以△OPC是等邊三角形，故②正確；③在AB上找到Q點使得AQ＝OA，則△AOQ為等邊三角形，則∠BQO＝∠PAO＝120°，在△BQO和△PAO中，，所以△BQO≌△PAO（AAS），所以PA＝BQ，因為AB＝BQ+AQ，所以AC＝AO+AP，故③正確；④作CH⊥BP，因為∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，所以∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，，所以△CDO≌△CHP（AAS），所以S△OCD＝S△CHP所以CH＝CD，因為CD＝BD，所以BD＝CH，在RT△ABD和RT△ACH中，，所以RT△ABD≌RT△ACH（HL），所以S△ABD＝S△AHC，因為四邊形OAPC面積＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD所以四邊形OAPC面積＝S△ABC．故④正確．故選：D．10．如圖，銳角∠AOB＝x，M，N分別是邊OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，記∠OPM＝α，∠QNO＝β，當MP+PQ+QN最小時，則關于α，β，x的數(shù)量關系正確的是（）A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x【分析】如圖，作M關于OB的對稱點M′，N關于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝α，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據三角形外角的性質即可得到∠OQP＝∠AON＝β+x，進而得到α＝β+x+x＝β+2x，由此即可解決問題．解：如圖，作M關于OB的對稱點M′，N關于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，所以∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝α，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，因為∠AON＝∠QNO+∠AOB＝β+x，所以∠OQP＝∠AON＝β+x，因為∠NPQ＝∠OQP+∠AOB，所以α＝β+x+x＝β+2x所以α﹣β＝2x．故選：A．二、填空題共6小題，每小題3分，共18分。將答案直接寫在答題卡指定的位置上。11．點P（﹣1，3）關于x軸對稱的點的坐標是（﹣1，﹣3）．【分析】根據關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得答案．解：點P（﹣1，3）關于x軸對稱的點的坐標是（﹣1，﹣3），故答案為：（﹣1，﹣3）．12．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，則∠C＝80度．【分析】根據三角形的內角和定理和已知條件求得．解：因為∠A＝60°，所以∠B+∠C＝120°，因為∠C＝2∠B，所以∠C＝80°．13．如圖，△ABC中，D在BC邊上，E在AC邊上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周長為21cm，△ABD的周長為13cm，則AE的長為4cm．【分析】根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DC，AE＝EC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．解：因為DE是AC的垂直平分線，所以DA＝DC，AE＝EC，因為△ABC的周長為21cm，所以AB+BC+AC＝21cm，因為△ABD的周長為13cm，所以AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13（cm），所以AC＝8cm，所以AE＝4cm，故答案為：4cm．14．在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是9＜AB＜19．【分析】如圖，延長AD到E使DE＝AD，連接BE，通過證明△ACD≌△EBD就可以得出BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三邊關系就可以得出結論．解：延長AD到E使DE＝AD，連接BE，因為D是BC的中點，所以CD＝BD．在△ACD和△EBD中，所以△ACD≌△EBD（SAS），所以AC＝EB＝5．因為AD＝7，所以AE＝14．由三角形的三邊關系為：14﹣5＜AB＜14+5，即9＜AB＜19．故答案為：9＜AB＜19．15．在平面直角坐標系中，點A（1，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點C的坐標為（3，4）、（4，1）、（2，2）．【分析】分三種情形討論求解即可．當AB＝AC，∠BAC＝90°時，作CE⊥x軸于E．由△AOB≌△CEA，推出AE＝OB＝3，CE＝OA＝1，可得C點坐標，同法可得，當AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，4），當AB是等腰直角三角形的斜邊時，C″是BC的中點，C″（2，2）．解：如圖，當AB＝AC，∠BAC＝90°時，作CE⊥x軸于E．因為∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，所以∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，所以∠ABO＝∠CAE，因為AB＝AC，所以△AOB≌△CEA，所以AE＝OB＝3，CE＝OA＝1，所以C（4，1），同法可得，當AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，4），當AB是等腰直角三角形的斜邊時，C″是BC的中點，C″（2，2），綜上所述，滿足條件的點C的坐標為（4，1）或（2，2）或（3，4）．16．如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為18．【分析】作作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，AI⊥BC于I，根據同一三角形的面積相等求出AB＝14，在根據翻折變換，把△PMB的最小值，轉化為求PB+PM的最小值即可．解：作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，AI⊥BC于I，由折疊的性質可知：∠CAD＝∠BAD，AC＝CM＝6，CP＝PM，因為DG⊥AC，DH⊥AB，所以DG＝DH，因為＝＝，所以＝，所以＝，所以AB＝14，BM＝14﹣6＝8，要求△PMB的最小值，就轉化為求PB+PM的最小值，因為PC+PB＞BC，當P與D重合時，PC+PB取最小值，即BD+CD＝10，所以△PMB的最小值為PM+PB+BM＝10+8＝18．三、解答題共8小題，共72分。在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程。17．如圖，已知AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE＝BF，求證：CD∥AB．【分析】先證出∠DFC＝∠AEB＝90°，CF＝BE，再證Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），由全等三角形的性質得∠C＝∠B，即可得出結論．【解答】證明：因為AE⊥BC，DF⊥BC，所以∠DFC＝∠AEB＝90°，又因為CE＝BF，所以CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，在Rt△DFC和Rt△AEB中，，所以Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），所以∠C＝∠B，所以CD∥AB．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一點，E是BC延長線上一點，連接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度數(shù)．【分析】由等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，那么∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．因為△BDE是等腰三角形，所以∠E＝∠DBC＝30°，然后根據三角形外角的性質即可求出∠CDE的度數(shù)．解：因為在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，所以∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，因為∠ABD＝20°，所以∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．因為BD＝DE，所以∠E＝∠DBC＝30°，所以∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝20°．19．如圖，在正五邊形ABCDE中，DF⊥AB．（1）求∠CDF的度數(shù)；（2）求證：AF＝BF．【分析】（1）根據正五邊形內角和得每個內角度數(shù)，進而可得結果；（2）連接DA和DB，證明△AED≌△BCD可得AD＝BD，再證明Rt△DAF≌Rt△DFB即可得結論．【解答】（1）解：在正五邊形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，因為DF⊥AB，所以∠DFB＝90°，在四邊形BCDF中，因為∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，所以∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；（2）證明：如圖，連接DB、AD，因為ABCDE是正五邊形，所以∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，在△AED和△BCD中，，所以△AED≌△BCD（SAS），所以AD＝BD，因為DF⊥AB，所以∠DFA＝∠DFB＝90°，Rt△DAF和Rt△DFB，，所以Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），所以AF＝BF．20．如圖，在14×7的長方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的每一個頂點叫做格點，線段ED和三角形ABC的頂點都在格點上．（1）直接寫出S△ABC＝9；（2）請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，保留畫圖痕跡（作圖結果用實線表示，作圖過程用虛線表示）；①畫出△ABC的高BH；②在線段ED右側找一點F，使得△ABC≌△EFD；③在②的條件下，在線段ED上找一點G，使∠DFG＝45°．【分析】（1）利用分割法求解即可；（2）①取格點T，連接BT交AC于點H，線段BH即為所求；②利用數(shù)形結合的思想，作出EF＝BC，DF＝AB即可；③取格點K，連接DK，KF交DE于點G即可（△KDF是等腰直角三角形）．解：（1）S△ABC＝3×7﹣×1×7﹣×2×4﹣×3×3＝21﹣3.5﹣4﹣4.5＝9；故答案為9；（2）①如圖，線段BH即為所求．②如圖，△EFD即為所求．③如圖，點G即為所求．21．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC內取一點O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M為垂足．（1）求AM的長；（2）求證：AO＝CO．【分析】（1）求出∠ABO＝30°，由直角三角形的性質可得出答案；（2）過點O作OP⊥AC交AC于點P，證明△AMO≌△APO（AAS），由全等三角形的性質得出AM＝AP＝3，由等腰三角形的性質可得出結論．解：（1）因為AB＝BO，所以∠BAO＝∠BOA，因為∠ABC＝∠ACB＝45°，所以∠BAC＝90°，因為∠CAO＝15°，所以∠BAO＝∠BOA＝75°，所以∠ABO＝30°，因為AM⊥BO，所以AB＝2AM，因為AB＝6，所以AM＝3；（2）證明：過點O作OP⊥AC交AC于點P，因為∠BAO＝45°，∠BAM＝60°，所以∠MAO＝15°，因為∠OAC＝15°，所以∠MAO＝∠OAC，因為AM⊥BO，所以∠AMO＝∠APO，在△AMO和△APO中，所以△AMO≌△APO（AAS），所以AM＝AP＝3，因為AC＝6，所以PC＝3，所以AP＝CP＝3，因為OP⊥AC，所以AO＝OC．22．現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，點N在其斜邊AB上，點M在其最短直角邊OA所在直線上．以MN為邊作如圖所示的等邊△MNP．（1）如圖1，當M在線段OA上時，證明：AM﹣AN＝AP；（2）如圖2，當M在射線OA上時，試探究AM、AN、AP三者之間的數(shù)量關系并給出證明．【分析】（1）在AM上截取AG＝AN，證明△MNG≌△PNA（SAS），由全等三角形的性質得出MG＝AP，則可得出結論；（2）延長NA至H，使AH＝AM，證明△HMN≌△AMP（SAS），由全等三角形的性質得出NH＝AP＝AN+AH＝AN+AM．則可得出結論．【解答】（1）證明：在AM上截取AG＝AN，因為∠AOB＝60°，所以△ANG為等邊三角形，所以AN＝AG，∠AGN＝60°，所以∠AGN＝∠GMN+∠MNG＝60°，又因為△MNP是等邊三角形，所以∠NMP＝60°，所以∠NMG+∠AMP＝60°，所以∠MNG＝∠AMP，在△MNG和△PNA中，所以△MNG≌△PNA（SAS），所以MG＝AP，所以AM＝MG+GA＝AP+AN．（2）解：AP＝AN+AM，證明如下：延長NA至H，使AH＝AM，因為∠OAB＝∠HAM＝60°，所以△AMH為等邊三角形，所以MH＝AM，∠HMA＝60°，在△HMN和△AMP中，，所以△HMN≌△AMP（SAS），所以NH＝AP＝AN+AH＝AN+AM．23．已知：等邊△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE＝DC，CE，BD交于點F．（1）如圖1，求證：△ABD≌△BCE；（2）如圖2，過點E作EG⊥BD于G，請寫出CF，F(xiàn)G和BD的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG并延長交BC于點H，若FG＝FC，求證：點H是BC的中點．【分析】（1）利用SAS證明三角形全等即可；（2）如圖2中，結論：BD＝2GF+CF．利用全等三角形的性質以及直角三角形30°的性質解決問題即可；（3）如圖3中，連接CG，過點G作GM⊥AB于點M，GN⊥AC于點N．證明GM＝GN，推出AG平分∠BAC，可得結論．【解答】（1）證明：如圖1中，因為△ABC是等邊三角形，所以∠A＝∠CBE＝60°，AB＝AC，因為AE＝CD，所以AB﹣AE＝AC﹣CD，即BE＝AD，在△ABD和△BCE中，，所以△ABD≌△BCE（SAS）；（2）解：如圖2中，結論：BD＝2GF+CF．因為△ABD≌△BCE，所以BD＝EC，∠ABD＝∠BCE，所以∠BFE＝∠CBF+∠BCF+∠ABD＝∠ABC＝60°，因為EG⊥BD，所以∠EGF＝90°，所以∠GEF＝90°﹣60°＝30°，所以EF＝2FG，所以BD＝EC＝EF+CF＝2FG+CF；（3）證明：如圖3中，連接CG，過點G作GM⊥AB于點M，GN⊥AC于點N．因為FG＝FC，所以∠FCG＝∠FGC，因為∠EFG＝∠FGC+∠FCG＝60°，所以∠FGC＝∠FCG＝30°，因為∠EGF＝90°，所以∠CGE＝∠CGF+∠EGF＝120°，所以∠GEC＝∠GCE＝30°，所以GE＝GC，因為∠AMG＝∠ANG＝90°，∠MAN＝60°，所以∠MGN＝∠EGC＝120°，所以∠EGM＝∠CGN，在△GME和△GNC中，所以△GME≌△GNC（AAS），所以GM＝GN，因為GM⊥AB，GN⊥AC，所以AG平分∠BAC，因為AB＝AC，所以AH平分線段BC，所以BH＝HC．24．在平面直角坐標系中，點A（0，4），點B（4，0），連接AB，點P（0，t）是y軸上的一動點，以BP為一直角邊構造等腰直角△BPC（B，P，C的順序為順時針），且∠BPC＝90°，過點A作AD∥x軸并與直線BC交于點D，連接PD．（1）如圖1，當t＝2時，求點C的坐標；（2）如圖2，當t＞0時，求證：∠ADC＝∠PDB；（3）如圖3，當t＜0時，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．【分析】（1）如圖1中，過點C作CH⊥y軸于點H．證明△C