《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第6章

6.1信號與系統(tǒng)概述6.2信號的描述與分類6.3典型信號

6.4連續(xù)信號的運算6.5連續(xù)信號的分解6.6系統(tǒng)及其響應6.7系統(tǒng)的分類6.8

LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型與傳輸算子6.9

LTI因果系統(tǒng)的時域分析習題六

6.1信號與系統(tǒng)概述

人們每天都會與各種各樣載有信息的信號密切接觸。例如聽廣播、看電視是接收帶有信息的消息；發(fā)短信、打電話，是為了把帶有信息的消息借助一定形式的信號傳送出去。信號是各類消息的運載工具，是某種變化的物理量，如電話鈴聲、交通紅綠燈。不同的聲、光、電信號都包含有一定的意義，這些意義統(tǒng)稱為信息。消息中有意義或實質性的內容可用信息量度量。前幾章所涉及的信號比較簡單，只有直流信號與正弦信號兩類。實際可以利用的信號要豐富得多，本章將介紹常用連續(xù)信號。在自然、物理、社會等諸多領域中，系統(tǒng)的概念與方法被廣泛應用。系統(tǒng)泛指由若干相互作用，相互關聯(lián)的事物組合而成的，具有特定功能的整體。通信、控制系統(tǒng)是信息科學與技術領域的重要組成部分，它們還可以組合成更復雜更高級的系統(tǒng)。本書下面幾章以電路為系統(tǒng)，討論分析電路系統(tǒng)的基本方法。電路與系統(tǒng)關系密切，都是對信號進行處理的元器件的組合體。電路與系統(tǒng)的主要區(qū)別是分析處理問題的角度。系統(tǒng)注重全局，電路更關注局部。討論具體問題時習慣稱之為電路，研究一般規(guī)律性問題時多用系統(tǒng)。例如同是RLC電路，電路研究的是具體元件或支路、回路上的電壓或電流；系統(tǒng)會關注與輸入輸出關系相關的問題，如穩(wěn)定、失真、頻響等。當然許多問題相互交叉，不必嚴格區(qū)分，所以本書電路與系統(tǒng)兩個名詞通用。信號通過系統(tǒng)進行傳輸、處理、控制的基本理論和基本分析方法，通常可由圖6.1－1所示的方框圖表示。其中f(·)是系統(tǒng)的輸入(激勵)信號，y(·)是系統(tǒng)的輸出(響應)信號，h(·)是系統(tǒng)特性的一種描述?！啊ぁ笔切盘柕淖宰兞浚梢允沁B續(xù)變量t，也可以是離散變量n。圖6.1-1信號與系統(tǒng)分析框圖圖6.1-1所示信號與系統(tǒng)分析框圖中，有激勵、系統(tǒng)特性、響應三個變量，描述它們的有時域、頻域、復頻域三種方法。需要研究的主要問題有：（1）各變量的各種不同描述方法之間的轉換關系；（2）三個變量之間的關系(已知其中兩個求解出第三個)。因為存在連續(xù)變量與離散變量兩類不同信號的描述，為此有連續(xù)與離散兩類不同的傳輸、處理系統(tǒng)。本書采用先連續(xù)信號與系統(tǒng)分析，后離散信號與系統(tǒng)分析的編排順序。6.2信號的描述與分類

本書討論的信號是隨時間變化的電壓或電流。因為信號隨時間變化，可以用數(shù)學上的時間函數(shù)表示，有時亦稱信號為函數(shù)f(t)，離散信號為序列x(n)，因此本書信號與函數(shù)、序列幾個名詞通用。信號的函數(shù)關系可以用數(shù)學表達式、波形圖、數(shù)據(jù)表等表示，其中數(shù)學表達式、波形圖是最常用的表示形式。各種信號可以從不同角度進行分類，常用的有以下幾種。

1.確定性信號與隨機信號

可以表示為確定時間函數(shù)的信號是確定性信號，也稱規(guī)則信號。如正弦信號、單脈沖信號、直流信號等。不能用確定時間函數(shù)表示的信號，稱其為隨機信號，如只知在某時刻取某值概率的便是隨機信號。從常識上講，確定性信號不包括有用的或新的信息。但確定性信號作為理想化模型，其基本理論與分析方法是研究隨機信號的基礎，在此基礎上根據(jù)統(tǒng)計特性可進一步研究隨機信號。本書只涉及確定性信號。

2．周期信號與非周期信號

周期信號是依一定的時間間隔周而復始，無始無終的信號，一般表示為

f(t)=f(t+nT)

n=0,±1,…

(6.2-1)其中，T為最小重復時間間隔，也稱周期。不滿足式(6.2-1)這一關系的信號為非周期信號。

3．連續(xù)時間信號與離散時間信號按函數(shù)的獨立變量(自變量)取值的連續(xù)與否，可將信號分為連續(xù)信號與離散信號。本書默認獨立變量(自變量)為時間，實際工程中可為非時間變量。連續(xù)時間信號在所討論的時間內，對任意時間值(除有限不連續(xù)點外)都可以給出確定的函數(shù)值。連續(xù)時間信號的幅值可以是連續(xù)的(也稱模擬信號)，也可以是離散的(只取某些規(guī)定值)，如圖6.2-1所示。圖6.2-1連續(xù)時間信號離散信號亦稱序列，其自變量n是離散的，通常為整數(shù)。若是時間信號(可為非時間信號)，它只在某些不連續(xù)的、規(guī)定的瞬時給出確定的函數(shù)值，其他時間沒有定義，其幅值可以是連續(xù)的也可以是離散的。如圖6.2-2所示。離散信號的幅值被量化，即只能取某些規(guī)定值(并被編碼)時，稱為數(shù)字信號，例如圖6.2-2中的x1(n)。本書不特別說明，一般離散信號與數(shù)字信號通用。圖6.2-2離散時間信號

4．能量信號與功率信號

為了了解信號能量或功率特性，常常研究信號f(t)（電壓或電流）在單位電阻上消耗的能量或功率。在(-T/2~T/2)區(qū)間信號的平均功率P為(6.2-2)在(-∞,∞)區(qū)間信號的能量E為(6.2-3)如果信號f(t)的能量有界，即0<E<∞，而平均功率P=0，它就是能量信號，例如單脈沖信號。如果信號f(t)的平均功率有界，即0<P<∞，而能量E趨于無窮大，那么它就是功率信號，例如周期正弦信號。如果某信號的能量E趨于無窮大，且功率P也趨于無窮大，那么它就是非能量非功率信號，例如e-at信號。也就是說，按能量信號與功率信號分類并沒有包括所有信號。

5.因果信號與非因果信號按信號所存在的時間范圍，可以把信號分為因果信號與非因果信號。當t<0時，連續(xù)信號f(t)=0，則信號f(t)是因果信號，反之為非因果信號；當n<0時，離散信號x(n)=0，則信號x(n)是因果信號，反之為非因果信號。6.3典型信號6.3.1常用連續(xù)信號

1.實指數(shù)信號實指數(shù)信號如圖6.3-1所示，其函數(shù)表達式為

f(t)=Aeat

(6.3-1)式中，a>0時，f(t)隨時間增長；a<0時，f(t)隨時間衰減；a=0時，f(t)不隨時間變化。常數(shù)A表示t=0時的初始值，|a|的大小反映信號隨時間增、減的速率。

圖6.3-1實指數(shù)信號

2.正弦信號

正弦信號也包括余弦信號，二者只在相位上相差π/2。圖6.3-2正弦信號一般正弦信號如圖6.3-2所示，表示為

f(t)=Asin(ωt+θ)

(6.3-2)其中，A是振幅、ω是角頻率、θ是初相。周期，T是頻率f的倒數(shù)。

3.復指數(shù)信號

f(t)=Aest

(6.3-3)其中，s=σ+jω為復數(shù)，σ為實部系數(shù)，ω為虛部系數(shù)。借用歐拉公式：

Aest=Ae(σ+jω)t=Aeσtejωt=Aeσtcosωt+jAeσtsinωt（6.3-4）4.Sa(t)信號(抽樣信號)

Sa(t)信號定義為

(6.3-5)

不難證明，Sa(t)信號是偶函數(shù)，當t→±∞時，振幅衰減，且f(±nπ)=0，其中n為整數(shù)。Sa(t)信號如圖6.3-3所示。實際遇到的多為Sa(at)信號，表達式為

(6.3-6)

Sa

(at)波形如圖6.3-4所示。圖6.3-3

Sa(t)信號圖6.3-4

Sa(at)信號一些信號或其導數(shù)、積分有間斷（跳變）點，這樣的信號也稱為奇異函數(shù)（信號）。下面介紹的階躍信號與沖激信號是典型的奇異信號。6.3.2奇異信號

1.單位階躍信號ε(t)

定義單位階躍信號ε(t)如圖6.3-5(a)所示。大多數(shù)信號與系統(tǒng)教材選用u(t)作為單位階躍信號的符號，考慮到容易與電壓源u(t)混淆，本書用ε(t)表示單位階躍信號。

(6.3-7)圖6.3-5單位階躍信號

(a)單位階躍信號ε(t);(b)階躍信號ε(t-t0)描述任一時刻t=t0時的階躍信號記為ε(t-t0)，表示式為階躍信號ε(t-t0)如圖6.3-5(b)所示。利用單位階躍信號ε(t)可以很方便地以數(shù)學函數(shù)描述信號的接入(開關)特性或因果(單邊)特性。(6.3-8)(6.3-9)

例6.3-1用階躍信號表示如圖6.3-6所示的有限時寬正弦信號。圖6.3-6有限時寬正弦信號

2.單位沖激函數(shù)δ(t)有幾種不同定義沖激信號δ(t)的方法，最常見的是利用偶對稱矩形脈沖信號取極限，思路可用圖6.3-7說明。圖6.3-7矩形脈沖的極限為沖激函數(shù)這是一個寬度為τ，幅度為的對稱矩形脈沖信號。當保持矩形脈沖面積不變，而令寬度τ→0時，其幅度1/τ趨于無窮大，這個極限即為單位沖激函數(shù)，亦稱為狄拉克函數(shù)，記為δ(t)。用矩形脈沖取極限表示的單位沖激函數(shù)為(6.3-10)單位沖激函數(shù)更一般的定義是(6.3-11)單位沖激函數(shù)的波形用箭頭表示，如圖6.3-8所示。描述任一時刻t=t0時的沖激函數(shù)記為δ(t-t0)，表示式為(6.3-12)由于沖激函數(shù)的幅值為無窮大，所以定義式(6.3-11)δ(t)的積分值(面積)為沖激強度，如4δ(t)、Aδ(t)。作圖時強度一般標在箭頭旁，如圖6.3-9所示Aδ(t-t0)。圖6.3-8沖激函數(shù)沖激函數(shù)還具有如下運算性質:

1)取樣性或“篩選”若f(t)是在t=0及t=t0處連續(xù)的有界函數(shù)，則(6.3-13)以及(6.3-14)式(6.3-14)表明沖激函數(shù)具有取樣（篩選）特性。如果要從連續(xù)函數(shù)f(t)抽取任一時刻的函數(shù)值f(t0)，只要乘以δ(t-t0)，并在(-∞,∞)區(qū)間積分即可。同理(6.3-15)

2)偶函數(shù)

δ(t)=δ(-t)

(6.3-16)證

3)與單位階躍函數(shù)ε(t)互為積分、微分關系(6.3-17)(6.3-18)例6.3-2計算

(1)costδ(t)

(2)

解：(1)因為cos0=1,所以

costδ(t)=δ(t)

(2)因為(t2+2t+1)|t=0=1，所以

3.單位斜坡函數(shù)R(t)單位斜坡函數(shù)波形如圖6.3-10所示，定義為(6.3-19)任意時刻的斜坡函數(shù)如圖6.3-11所示，表示為=(t

t0)

(t

t0)(6.3-20)圖6.3-10

R(t)單位斜坡函數(shù)與階躍函數(shù)ε(t)互為微分、積分關系，即(6.3-21a)(6.3-21b)例6.3-3

f(t)如圖6.3-12所示，由奇異信號描述f(t)。

解：f(t)=(t+2)[ε(t+2)-ε(t)]+(-t+2)[ε(t)-ε(t-2)]

=R(t+2)-2R(t)+R(t-2)圖6.3-12例6.3-3f(t)

4.單位門函數(shù)gτ(t)單位門函數(shù)gτ(t)是以原點為中心，時寬為τ，幅度為1的矩形單脈沖信號，波形如圖6.3-13所示。(6.3-22)

5.單位符號函數(shù)sgn(t)單位符號函數(shù)是t>0時為1，t<0時為-1的函數(shù)，波形如圖6.3-14所示。=2

(t)1=

(

t)+

(t)(6.3-23)圖6.3-13單位門函數(shù)gτ(t)圖6.3-14單位符號函數(shù)sgn(t)6.4連續(xù)信號的運算

在信號的傳輸與處理過程中，往往需要對信號進行變換，一些電子器件被用來實現(xiàn)這些變換功能，并且可以用相應的信號運算表示。這樣的信號運算主要有三類，一是時移、折疊、尺度；二是微分與積分，最后是信號的相加與相乘。下面分別討論這三類信號運算。6.4.1時移、折疊、尺度

信號的時移也稱信號的位移、時延。將信號f(t)的自變量t用t-t0替換，得到的信號f(t-t0)就是f(t)的時移，它是f(t)的波形在時間t軸上整體移位t0。若t0>0，f(t)的波形在時間t軸上整體右移t0；若t0<0，f(t)的波形在時間t軸上整體左移t0，如圖6.4-1(b)、(c)所示。圖6.4-1信號的時移將f(t)的自變量t用-t替換，得到的信號f(-t)是f(t)的折疊信號。f(-t)的波形是f(t)的波形以t=0為軸反折，所以也稱時間軸反轉，如圖6.4-2所示。圖6.4-2信號的折疊將f(t)的自變量t用at(a≠0)替換，得到f(at)稱為f(t)的尺度變換，其波形是f(t)波形在時間t軸上的壓縮或擴展。若|a|>1，波形在時間t軸上壓縮；|a|<1，波形在時間t軸上擴展，故信號的尺度變換又稱為信號的壓縮與擴展。例如假設f(t)=sinω0t是正常語速的信號，則f(2t)=sin(2ω0t)=f1(t)是兩倍語速的信號，而f(t/2)=sin(ω0t/2)=f2(t)是降低一半語速的信號。雖然f1(t)與f2(t)在時間軸上被壓縮或擴展，但幅度均沒有變化，如圖6.4-3所示。圖6.4-3信號的尺度變換6.4.2微分與積分微分是對f(t)求導數(shù)的運算，表示為(6.4-1)信號經(jīng)過微分后突出了變化部分，如圖6.4-4所示。圖6.4-4信號的微分運算積分是在(-∞,t)區(qū)間對f(t)作變上限積分，表示式為(6.4-2)式中，積分上限t是參變量。信號經(jīng)過積分后平滑了變化部分，如圖6.4-5所示。圖6.4-5信號的積分運算6.4.3信號的加(減)、乘(除)信號的相加(減)或相乘(除)是信號瞬時值相加(減)或相乘(除)。f1(t)±f2(t)是兩個信號瞬時值相加(減)形成的新信號；f1(t)·f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)·[1/f2(t)]是兩個信號瞬時值相乘形成的新信號。例6.4-1如圖6.4-6(a)所示的f1(t)和f2(t)，求f1(t)+f2(t)、f

1(t)·f2(t)。解：(1)利用直線加直線等于直線，先分別將f1(t)、f2(t)不同直線段的端點相加。其中f1(-2)+f2(-2)=1;f1(-1)+f2(-1)=2;f1(0-)+f2(0-)=1;f1(0+)+f2(0+)=0;f1(3)+f2(3)=-1。

(2)利用信號乘以1不變，乘以-1對橫軸反折，可得f1(t)·f2(t)如圖6.4-6(c)所示。圖6.4-6例6.4-3信號的相加與相乘6.5連續(xù)信號的分解

信號分析最重要的方法之一是將一個復雜信號分解為多個簡單(基本)信號分量（信號元）之和，正如在力學問題中將任意方向的力分解為幾個分力一樣。從不同的角度可以將信號分解為不同的分量。本節(jié)只討論四種基本的信號時域分解。6.5.1規(guī)則信號的分解

一般規(guī)則信號可以分解為若干簡單信號的組合。下面舉例說明規(guī)則信號的分解。

例6.5-1

用簡單信號表示如圖6.5-1所示信號f(t)。圖6.5-1

(a)例6.5-1信號；(b)例6.5-1信號的分解解:f(t)可以分解為四個不同時刻出現(xiàn)的階躍函數(shù)，表示為f(t)=ε(t+2)+ε(t+1)-ε(t-1)-ε(t-2)或如圖6.5-1(b)所示，將f(t)分解為兩個寬度不同的門函數(shù)，表示為f(t)=f1(t)+f2(t)=[ε(t+2)-ε(t-2)]+[ε(t+1)-ε(t-1)]=g4(t)+g2(t)6.5.2信號的直流與交流分解信號可以分解為直流分量fD(t)與交流分量fA(t)之和，即f(t)=fD(t)+fA(t)(6.5-1)信號直流分量fD(t)是信號的平均值。信號f(t)除去直流分量fD(t)，剩下的即為交流分量fA(t)。6.5.3信號的奇偶分解

這種分解方法是將實信號分解為偶分量與奇分量。這樣分解的優(yōu)點是可以充分利用偶函數(shù)與奇函數(shù)的對稱性簡化信號運算。偶分量定義

fe(t)=fe(-t)(6.5-2)

奇分量定義fo(t)=-fo(-t)

(6.5-3)

任意信號f(t)可分解為偶分量與奇分量之和，因為(6.5-4)其中，(6.5-5)(6.5-6)6.5.4任意信號的脈沖分解

任意信號的脈沖分解方法之一，是將沖激信號作為基本信號元，將任意信號分解為無窮多個沖激信號。這樣分解的優(yōu)點是基本信號元的波形簡單，響應的求解相對容易，并且可以充分利用LTI系統(tǒng)的疊加、比例與時不變性，方便地求解復雜信號的響應。如圖6.5-2所示，任意信號f(t)分解為沖激信號之和的思路是：先把信號f(t)分解成寬度為Δt的矩形窄脈沖之和，任意時刻kΔt的矩形脈沖幅度為f(kΔt)，再令窄脈沖寬度Δt→0。

圖6.5-2信號分解為脈沖之和為使分析簡單，假設f(t)為因果信號。這樣f0(t)=f(0)[

(t)

(t

t)]f1(t)=f(

t)[

(t

t)

(t

2

t)]fk(t)=f(k

t)[

(t

k

t)

(t

(k+1)

t)]

信號f(t)可近似表示為f(t)

f0(t)+f1(t)+f2(t)

+

fk(t)+

令窄脈沖寬度Δt→0，并對其取極限，求和運算變?yōu)榉e分運算。于是，用沖激函數(shù)表示任意信號的積分形式為將積分下限改為-∞，式(6.5-7)可以表示非因果信號。(6.5-7)6.6系統(tǒng)及其響應

6.6.1系統(tǒng)

系統(tǒng)所涉及的范圍十分廣泛，包括大大小小有聯(lián)系的事物組合體。如物理系統(tǒng)、非物理系統(tǒng)、人工系統(tǒng)、自然系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等。系統(tǒng)具有層次性，可以由系統(tǒng)嵌套系統(tǒng)；對某一系統(tǒng)，其外部更大的系統(tǒng)稱為環(huán)境，所包含的更小系統(tǒng)為子系統(tǒng)。因為本書涉及的是電信號，所以本書的系統(tǒng)是產(chǎn)生信號或對信號進行傳輸、處理、變換的電路(往往也稱為網(wǎng)絡)系統(tǒng)。本書將用具體電路作為系統(tǒng)的例子，討論信號的傳輸、處理、變換等內容，而本章主要討論連續(xù)系統(tǒng)的相關問題。我們所涉及的系統(tǒng)，其功能是將輸入信號轉變?yōu)樗璧妮敵鲂盘枺鐖D6.6-1所示。其中f(t)是系統(tǒng)的輸入(激勵)，y(t)是系統(tǒng)的輸出(響應)。為敘述簡便，激勵與響應的關系也常表示為f(t)→y(t)，其中“→”表示系統(tǒng)的作用。圖6.6-1信號與系統(tǒng)分析框圖6.6.2系統(tǒng)的初始狀態(tài)

在討論連續(xù)系統(tǒng)響應前，先討論連續(xù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(條件)，其基本概念也可用于離散系統(tǒng)。“初始”實際是一個相對時間，通常是一個非零的電源接入電路系統(tǒng)或電路發(fā)生“換路”的瞬間，可將這一時刻記為t=t0。為討論問題方便，本書一般將t0=0記為“初始”時刻；并用0-表示系統(tǒng)“換路”前系統(tǒng)儲能的初始狀態(tài)，用0+表示“換路”后系統(tǒng)響應的初始條件。下面以電容、電感的電壓、電流關系理解系統(tǒng)初始狀態(tài)與初始條件的概念。例6.6-1如圖6.6-2所示簡單電路系統(tǒng)，已知激勵電流i(t)，求響應uC(t)。圖6.6-2例6.6-1簡單電路由電容的電壓、電流關系(6.6-1)式(6.6-1)是一階線性微分方程，解此方程可得響應為(6.6-2)式(6.6-2)說明電容電壓與過去所有時刻流過電容的電流有關，所以也稱電容為動態(tài)(記憶、儲能)元件。要知道電容器全部時刻的電流iC(t)是不實際的，所以要計算uC(t),一般是由已知0+時刻開始到所要計算時刻t的iC(t)，以及此時刻前的電容電壓uC(0+)來確定，即(6.6-3)式(6.6-3)中只有已知t>0時的iC(t)以及系統(tǒng)的初始條件uC(0+)，才能求解t>0時系統(tǒng)的響應uC(t)。而uC(0+)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)uC(0-)密切相關。uC(0-)包含了iC(t)在時刻t=0-以前的全部作用，反映了系統(tǒng)在該時刻的儲能。由電容與電感的對偶關系，不難得到(6.6-4)以及(6.6-5)與電容情況相同，式(6.6-5)表明電感也為動態(tài)(記憶、儲能)元件。只有已知t>0時的電感電壓uL(t)以及系統(tǒng)的初始條件iL(0+)，才能求解t>0時系統(tǒng)的響應iL(t)。同樣地，iL(0+)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)iL(0-)密切相關，iL(0-)反映了電壓uL(t)在時刻t=0-以前的全部作用，是系統(tǒng)在該時刻的儲能。6.6.3系統(tǒng)的響應

可由引起響應的不同原因來定義系統(tǒng)響應。當系統(tǒng)的激勵為零，僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)(儲能)產(chǎn)生的響應是零輸入響應，記為yzi(t)；當系統(tǒng)的初始狀態(tài)(儲能)為零，僅由系統(tǒng)激勵產(chǎn)生的響應是零狀態(tài)響應，記為yzs(t)。本書系統(tǒng)以最高二階為例討論相關問題，n階系統(tǒng)的響應可以類推。若系統(tǒng)是由二階線性微分方程描述的，則求解響應除了激勵外，還必須知道系統(tǒng)的兩個初始條件。二階線性微分方程的一般形式為(6.6-6)當給定y(0+),y′(0+)及f(t)，可以得到二階線性微分方程的完全解。y(0+),y′(0+)是解二階系統(tǒng)微分方程所需要的標準初始條件。本書將儲能元件的初始值簡稱為初始狀態(tài)，這樣的初始狀態(tài)反映了系統(tǒng)儲能的情況。二階電路系統(tǒng)中，初始狀態(tài)是電感電流iL(0-)或電容電壓uC(0-)，簡寫為{xk(0-)}(k=1,2)或{xk(0-)}。{xk(0-)}是足以求解零輸入響應的已知條件。它為求t>0的系統(tǒng)響應提供了以往儲能的全部信息。通過一定的轉換，可由{xk(0-)}得到標準初始條件{y(0+),y′(0+)}，由此確定的響應是系統(tǒng)的零輸入響應。因為零輸入響應是由初始狀態(tài){xk(0-)}產(chǎn)生的，零狀態(tài)響應是由激勵f(t)引起的，所以也有教材將零輸入響應記為yx(t),零狀態(tài)響應記為yf(t)。6.7系統(tǒng)的分類與信號相似，從不同角度出發(fā)可將系統(tǒng)分為若干類型。如處理連續(xù)信號的連續(xù)時間系統(tǒng)；處理離散信號的離散時間系統(tǒng)；系統(tǒng)輸出與系統(tǒng)儲能狀態(tài)無關的即時系統(tǒng)；系統(tǒng)輸出與系統(tǒng)儲能狀態(tài)相關的動態(tài)系統(tǒng)；集中參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)；可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)等。本書只討論最常見的系統(tǒng)劃分及其組合。6.7.1動態(tài)系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)含有動態(tài)元件的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)，如RC、RL電路。沒有動態(tài)元件的系統(tǒng)是靜態(tài)系統(tǒng)，也稱即時系統(tǒng)，如純電阻電路。動態(tài)系統(tǒng)在任意時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，還與該時刻系統(tǒng)的儲能有關；靜態(tài)系統(tǒng)在任意時刻的響應僅與該時刻的激勵有關。描述動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型為微分方程，描述靜態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型為代數(shù)方程。6.7.2因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)滿足在任意時刻的響應y(t)僅與該時刻以及該時刻以前的激勵有關，而與該時刻以后的激勵無關。也可以說，因果系統(tǒng)的響應是由激勵引起的，激勵是響應的原因，響應是激勵的結果；響應不會發(fā)生在激勵加入之前，系統(tǒng)不具有預知未來響應的能力。例如系統(tǒng)的激勵f(t)與響應y(t)的關系為，是一階微分方程，而響應與激勵的關系是積分關系，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。響應與激勵具有因果關系的連續(xù)系統(tǒng)也稱為物理可實現(xiàn)系統(tǒng)。如果響應出現(xiàn)在激勵之前，系統(tǒng)為非因果系統(tǒng),也稱為物理不可實現(xiàn)系統(tǒng)，書中一般不特別指明均為因果系統(tǒng)。例如圖6.7-1(a)所示系統(tǒng)的響應與激勵的關系為y1(t)=f1(t-1)，響應出現(xiàn)在激勵之后，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；如圖6.7-1(b)所示系統(tǒng)的響應與激勵的關系為y2(t)=f2(t+1)，響應出現(xiàn)在激勵之前，是非因果系統(tǒng)。圖6.7-1

（a）因果系統(tǒng)；（b）非因果系統(tǒng)一般由模擬元器件如電阻、電容、電感等組成的實際物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。在數(shù)字信號處理時，利用計算機的存儲功能，可以逼近非因果系統(tǒng)，實現(xiàn)許多模擬系統(tǒng)無法完成的功能。這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的一個重要方面。對于因果系統(tǒng)，在因果信號激勵下，響應也是因果信號。6.7.3連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)激勵與響應均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)是連續(xù)時間系統(tǒng)，也稱模擬系統(tǒng)；激勵與響應均為離散時間信號的系統(tǒng)是離散時間系統(tǒng)，也稱數(shù)字系統(tǒng)。隨著大規(guī)模集成電路技術的發(fā)展與普及，越來越多的系統(tǒng)是由連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)組合而成的混合系統(tǒng)，如圖6.7-2所示的就是混合系統(tǒng)。圖6.7-2混合系統(tǒng)6.7.4線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)“線性”在數(shù)學上是滿足疊加性與比例(齊次或均勻)性的系統(tǒng)。與第4章討論線性電路條件不同的是：從本章開始要考慮影響系統(tǒng)響應的所有因素，即除了系統(tǒng)的激勵之外，還有系統(tǒng)的儲能，所以線性系統(tǒng)必須同時滿足下面三個條件。

1.分解性

系統(tǒng)的響應有不同的分解形式，其中線性系統(tǒng)的響應一定可以分解為零輸入響應與零狀態(tài)響應，即系統(tǒng)響應可表示為y(t)=yzi(t)+yzs(t)

(6.7-1)

式中，yzi(t)是零輸入響應，yzs(t)是零狀態(tài)響應。

2.零輸入線性輸入為零時，由各初始狀態(tài){x1(0-),x2(0-)}引起的響應滿足疊加性與比例性，若x1(0-)→yzi1(t)，x2(0-)→yzi2(t)

t≥0則ax1(0-)+bx2(0-)→ayzi1(t)+byzi2(t)t≥0(6.7-2)式(6.7-2)可用圖6.7-3所示的方框圖表示。圖6.7-3零輸入線性

3.零狀態(tài)線性

初始狀態(tài)為零時，由激勵f1(t),f2(t)引起的響應具有疊加性與比例性(均勻性)，若f1(t)→yzs1(t)，f2(t)→yzs2(t)則

af1(t)+bf2(t)→ayzs1(t)+byzs2(t)(6.7-3)式(6.7-3)可由圖6.7-4所示的方框圖表示。圖6.7-4零狀態(tài)線性例6.7-1已知系統(tǒng)輸入f(t)與輸出y(t)關系如下，判斷系統(tǒng)是否線性。

(1)y(t)=3x(0-)f(t)ε(t)

(2)y(t)=4x(0-)+2f2(t)ε(t)

(3)

解:(1)不滿足可分解性，是非線性系統(tǒng)。

(2)不滿足零狀態(tài)線性，是非線性系統(tǒng)。

(3)滿足可分解性、零輸入線性、零狀態(tài)線性，所以是線性系統(tǒng)。6.7.5時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)

從系統(tǒng)的參數(shù)來看，系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的是時不變系統(tǒng)，也稱非時變系統(tǒng)、常參系統(tǒng)、定常系統(tǒng)等；系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化的是時變系統(tǒng)，也稱變參系統(tǒng)。從系統(tǒng)響應來看，時不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)相同的情況下，系統(tǒng)響應與激勵加入的時刻無關。即在{x1(0),x2(0)}時，f(t)→y(t)，則在{x1(t0)=x1(0),x2(t0)=x2(0)}時，

f(t-t0)→y(t-t0)(6.7-4)時不變系統(tǒng)的輸入、輸出關系可由圖6.7-5表示。從圖6.7-5可見，當激勵延遲一段時間t0加入時不變系統(tǒng)時，輸出響應亦延時t0才出現(xiàn)，并且波形變化的規(guī)律不變。圖6.7-5時不變系統(tǒng)例6.7-2已知系統(tǒng)激勵與響應之間的關系如下，判斷是否是時不變系統(tǒng)。y(t)=cos(3t)·x(0)+2t·f(t)ε(t)

解：初始狀態(tài)x(0)與激勵f(t)ε(t)的系數(shù)均不是常數(shù)，所以是時變系統(tǒng)。6.7.6線性非時變系統(tǒng)

如圖6.7-6所示系統(tǒng)框圖。圖中T［］是將輸入信號轉變?yōu)檩敵鲂盘柕倪\算關系，可表示為y(t)=T[f(t)]圖6.7-6系統(tǒng)框圖表示系統(tǒng)運算關系T[]既滿足線性又滿足時不變性的是線性時不變系統(tǒng)，簡寫為LTI系統(tǒng)。對LTI系統(tǒng)的分析具有重要意義，因為LTI系統(tǒng)在實際應用中相當普遍，或在一定條件范圍內一些非LTI系統(tǒng)可近似為LTI系統(tǒng)；尤其是LTI系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)形成了完整、嚴密的理論體系。而非線性系統(tǒng)的分析迄今沒有統(tǒng)一通用的分析方法，只能對具體問題具體地討論。此后，如不特別說明，本書涉及的均是LTI系統(tǒng)。利用LTI系統(tǒng)具有的疊加、比例與時不變特性，可推得LTI系統(tǒng)具有微分特性：若f(t)→y(t)，則證若f(t)→y(t),由時不變性，輸入時移t0，輸出也時移t0，得到f(t-t0)→y(t-t0)（6.7-5）由疊加性，輸入為兩項疊加，輸出也為兩項疊加，得到f(t)

f(t

t)y(t)y(t

t)再由比例性，輸入乘1/Δt，輸出也乘1/Δt，得到對上式兩邊同時取極限得到這個性質說明，當系統(tǒng)的輸入是原信號的導數(shù)時，LTI系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應的導數(shù)。這一結論可以推廣到高階導數(shù)與積分，即若f(t)→y(t)，則(n為正整數(shù))(6.7-6)(6.7-7)式(6.7-6)與式(6.7-7)表示當系統(tǒng)的輸入是原信號的n階導數(shù)時，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應的n階導數(shù)；當系統(tǒng)的輸入是原信號的積分時，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應的積分。LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性如圖6.7-7所示。圖6.7-7

LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性6.8

LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型與傳輸算子

要分析LTI系統(tǒng)，首要任務是建立LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后再討論分析方法。6.8.1建立LTI系統(tǒng)模型

由具體電路模型可以討論系統(tǒng)數(shù)學模型的建立。

例6.8-1如圖6.8-1所示RL串聯(lián)電路，f(t)為激勵信號，響應為i(t)，試寫出其微分方程。圖6.8-1

RL串聯(lián)電路解：這是有一個獨立動態(tài)元件的一階系統(tǒng)，利用KVL列回路方程，可得

上式是一階線性微分方程。一般由n個獨立動態(tài)元件組成的系統(tǒng)是n階系統(tǒng)，可以用n階微分方程描述(或n個一階微分方程組描述)。為突出重點，本書所涉及的系統(tǒng)最高一般為二階，掌握了二階系統(tǒng)的分析方法，推廣到高階系統(tǒng)也就不難了。6.8.2用算子符號表示微分方程

二階LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型是二階線性常系數(shù)微分方程，一般表示為(6.8-1)式(6.8-1)的一般形式書寫不方便，為了形式上簡潔可以將微、積分方程中的微、積分運算用算子符號p與1/p表示，由此得到的方程稱為算子方程。微分算子,(6.8-2),(6.8-3)積分算子,(6.8-4)這樣，例6.8-1電路的微分方程(代入?yún)?shù))可以表示為5i(t)+pi(t)=e(t)式(6.8-1)的二階線性微分方程可以用算子表示為

p2y(t)+a1py(t)+a0y(t)=b2p2f(t)+b1pf(t)+b0f(t)

(6.8-5)上式是算子方程。算子方程中的每一項表示的是運算關系，而不是代數(shù)運算。不過模仿代數(shù)運算，可以將上式寫為

(p2+a1p+a0)y(t)=(b2p2+b1p+b0)f(t)(6.8-6)式(6.8-6)是二階線性微分方程的算子方程。在這里，利用了提取公因子的代數(shù)運算規(guī)則。若再令D(p)=p2+a1p+a0(6.8-7a)N(p)=b2p2+b1p+b0(6.8-7b)稱D(p)、N(p)分別為分母、分子算子多項式，則式(6.8-6)可簡化為

D(p)y(t)=N(p)f(t)(6.8-8)式(6.8-8)還可以進一步改寫為(6.8-9)注意上式中分母多項式D(p)表示對輸出y(t)的運算關系，分子多項式N(p)表示對輸入f(t)的運算關系，而不是兩個多項式相除的簡單代數(shù)關系。6.8.3用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學模型

利用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學模型比較方便，這種方法簡稱算子法。它是將電路中所有動態(tài)元件用算子符號表示，得到算子電路；然后利用廣義的電路定律，建立系統(tǒng)的算子方程；再將算子方程轉換為微分方程。電感的算子表示可由其電壓電流關系得到，因為(6.8-10)式中Lp是電感算子符號，可以理解為廣義的電感感抗，式(6.8-10)可以理解為廣義的歐姆定律。同理，由電容上的電壓電流關系得到(6.8-11)式中,1/Cp是電容算子符號，可以理解為廣義的電容容抗，式(6.8-11)也可以理解為廣義歐姆定律。將動態(tài)元件用算子符號表示，可以得到算子電路。下面舉例說明由算子電路列寫系統(tǒng)的算子方程的方法。

例6.8-2如圖6.8-1所示RL串聯(lián)電路，輸入為f(t)，輸出為電流i(t)，用算子法列出系統(tǒng)的算子方程。解：將圖6.8-1中的電感用算子符號表示，得到算子電路如圖6.8-2所示，利用廣義KVL列出算子方程式為

(p+5)i(t)=f(t)結果與例6.8-1相同。6.9

LTI因果系統(tǒng)的時域分析

LTI系統(tǒng)的響應可以分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應。下面分別討論兩種響應的時域求解方法。6.9.1零輸入響應

零輸入響應與激勵無關，其數(shù)學模型是齊次微分方程。將f(t)=0，代入式(6.8-8)的算子方程，得到D(p)y(t)=0(6.9-1)式(6.9-1)中D(p)是系統(tǒng)的特征多項式，D(p)=0是系統(tǒng)的特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，稱為特征根。我們先討論一階齊次微分方程的一般情況，再討論二階齊次微分方程的一般情況。一階齊次微分方程為由系統(tǒng)的特征方程p-λ=0，得特征根p=λ，其解（零輸入響應）的一般形式為y(t)=y(0)eλt

t>0

(6.9-3)(6.9-2)由式(6.9-3)推知，此時解的一般模式取決于特征根λ，而解的系數(shù)由初始條件確定。二階齊次微分方程的一般算子形式為(6.9-4)由p2+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)=0，得到二階系統(tǒng)的兩個特征根λ1、λ2與一階齊次微分方程相同，二階齊次微分方程解的模式取決于特征根λ1、λ2，表達式為t>0(6.9-5)式中系數(shù)C1、C2由兩個初始條件y(0)、y′(0)確定。(6.9-6)解此方程組，求出C1、C2，從而確定了二階系統(tǒng)的零輸入響應。以上是二階系統(tǒng)特征根不同的情況，如果p2+a1p+a0=(p-λ)2=0，特征根相同，是二階重根，此時二階齊次微分方程解的形式為

y(t)=C1eλt+C2teλt

t>0(6.9-7)系數(shù)C1、C2仍由兩個初始條件y(0)、y′(0)確定例6.9-1已知系統(tǒng)的傳輸算子，初始條件y(0)=1、y′(0)=2，試求系統(tǒng)的零輸入響應。解：，特征根λ1=-3,λ2=-4

由式(6.9-5)，零輸入響應形式為

將特征根及初始條件y(0)=1,y′(0)=2代入式(6.9-6)

yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t

t>0解出yzi(t)=6e

3t

5e

4t

t>06.9.2單位沖激響應h(t)輸入為單位沖激信號δ(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應定義為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)，如圖6.9-1所示。h(t)由傳輸算子表示為h(t)=H(p)δ(t)(6.9-8a)或記為δ(t)→h(t)(6.9-8b)

圖6.9-1單位沖激響應h(t)二階線性系統(tǒng)的傳輸算子為(6.9-9)為分析簡便，突出求解單位沖激響應的基本方法，假設H(p)的分母多項式D(p)為單根。將分母多項式D(p)分解，并代入式(6.9-8a)，得到將其展開為部分分式之和(6.9-10)式(6.9-10)中的系數(shù)k1、k2由待定系數(shù)法確定，此式表明一個二階系統(tǒng)可以分解為兩個一階子系統(tǒng)之和。由式(6.9-10)可分別得到一階系統(tǒng)的算子方程及微分方程為

(p-λi)hi(t)=kiδ(t)(i=1,2)得到一階子系統(tǒng)沖激響應的一般項為

(6.9-11)代入式(6.9-10)，二階系統(tǒng)的單位沖激響應為(6.9-12)表6.9-1列出了部分Hi(p)與其對應的hi(t)，可以直接應用。表6.9-1

Hi(p)對應的hi(t)6.9.3系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

當系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲能）為零時，其響應是零狀態(tài)響應yzs(t)。利用系統(tǒng)的單位沖激響應以及LTI系統(tǒng)的時不變性、比例性和積分特性，我們可以得到因果激勵下因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)。由式(6.9-8b)δ(t)→h(t)利用LTI系統(tǒng)的時不變性：當輸入移位τ時，輸出也移位τ，可以得到δ(t-τ)→h(t-τ)再由LTI系統(tǒng)的比例性，當輸入乘以強度因子f(τ)時，輸出也乘以強度因子f(τ)，得到f(τ)δ(t-τ)→f(τ)h(t-τ)最后由LTI系統(tǒng)的積分特性，若輸入信號是原信號的積分，輸出信號亦是原信號的積分，我們有(6.9-13)式(6.9-13)右邊得到的是因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。注意到，這種求解響應的方法與以往求解微分方程不同，故稱之為時域法；又由于式(6.9-13)是數(shù)學卷積運算的一種形式，因此也稱卷積法。當已知f(t)、h(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可用式(6.9-13)的卷積計算。卷積計算時，積分變量為τ，t僅是參變量，作為常數(shù)處理。卷積計算的具體步驟：第一步是變量轉換，將f(t)變?yōu)閒(τ)、h(τ)變?yōu)閔(t-τ)；第二步是將f(τ)與h(t-τ)兩個函數(shù)相乘；第三步確定積分上、下限，也就是找到f(τ)h(t-τ)相乘后的非零值區(qū)；最后，對f(τ)h(t-τ)積分得出零狀態(tài)響應yzs(t)。6.9.4任意信號與δ(t)卷積

(1)任意函數(shù)與δ(t)卷積仍為原函數(shù)：f(t)*δ(t)=f(t)(6.9-14)證：

(2)任意函數(shù)與δ(t-t0)卷積，函數(shù)時移t0：f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0)(6.9-15)證：例6.9-2已知某系統(tǒng)的沖激響應h(t)=2e-tε(t)，輸入f(t)=δ(t-3)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)。

解：yzs(t)=h(t)*f(t)=2e-tε(t)*δ(t-3)=2e-(t-3)

ε(t-3)6.9.5卷積的性質

1.時移

f1(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=f1(t)*f2(t-t0)(6.9-16)

證：令τ-t0=x，代入上式，得當f1(t)、f2(t)、f3(t)分別滿足可積條件，一些代數(shù)性質也適合卷積運算。

2.交換律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(6.9-17)

f2(t)*f1(