《電路分析》課件1第7章

第7章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析7.1換路定律及初始值的計(jì)算7.2一階電路的零輸入響應(yīng)7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.4一階電路的全響應(yīng)7.5一階電路的三要素法*7.6二階電路分析習(xí)題77.1換路定律及初始值的計(jì)算7.1.1過渡過程的概念如圖7.1所示電路。當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí),電阻支路的燈泡立即發(fā)亮,而且亮度始終不變,說明電阻支路在開關(guān)閉合立即進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。電感支路的燈泡在開關(guān)閉合瞬間不亮,然后逐漸變亮,最后亮度穩(wěn)定不再變化。電容支路的燈泡在開關(guān)閉合瞬間很亮,然后逐漸變暗直至熄滅。這兩個(gè)支路的現(xiàn)象說明電感支路的燈泡和電容支路的燈泡達(dá)到最后穩(wěn)定，都要經(jīng)歷一段過渡過程。一般說來,電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的中間過程叫做電路的過渡過程。實(shí)際電路中的過渡過程往往是短暫的,故稱為暫態(tài)過程,簡稱暫態(tài)。圖7.1實(shí)驗(yàn)電路7.1.2換路定律及初始值的計(jì)算所謂換路,就是電路工作狀況的改變,例如突然接入或切斷電源、改變電路的結(jié)構(gòu)和電路中元件的參數(shù)等等,通常把換路瞬間定在t=0,且把t=0－記為換路前的最終時(shí)刻,這時(shí)的電流為i(0－),電壓為u(0－);把t=0+記為換路后的最初時(shí)刻,這時(shí)的電流、電壓分別記為i(0+)和u(0+)。在動(dòng)態(tài)電路分析中要確定電流、電壓的初始值,就是計(jì)算i(0+)和u(0+)。確定電路的初始值是進(jìn)行暫態(tài)分析的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

前已述及,若電容電流和電感電壓為有限值,則電容電壓和電感電流均不能躍變,即(7-1)式（7-1）表述的換路前后瞬間電容電壓和電感電流不能躍變的結(jié)果,通常稱為換路定律。根據(jù)換路定律,電容電壓和電感電流能突變。其它各量均不受換路定律約束。為敘述方便,把uC(0+)和iL(0+)稱為獨(dú)立初始值,而把其它的初始值稱為相關(guān)初始值。

獨(dú)立初始值,可通過作換路前t=0－等效電路求得。具體步驟為：

(1)作t=0－等效電路,求出uC(0－)和iL(0－);(2)根據(jù)換路定律確定出uC(0+)及iL(0+)。相關(guān)初始值,可通過作換路后t=0+等效電路來計(jì)算。具體步驟為：

(1)用電壓為uC(0+)的電壓源和電流為iL(0+)的電流源取代原電路中C和L的位置,可得t=0+等效電路;(2)以t=0+等效電路求出相關(guān)初始值。

例7.1

圖7.2（a）所示電路中,已知US=18V,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,L=0.5H,C=4.7μF,開關(guān)S在t=0時(shí)合上,設(shè)S合上前電路已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。試求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。圖7.2例7.1圖

解第一步,作t=0－等效電路如圖7.2（b）所示,電感相當(dāng)于短路,電容相當(dāng)于開路。第二步,根據(jù)t=0－等效電路,計(jì)算換路前的電感電流和電容電壓:根據(jù)換路定律,可得

第三步,作t=0+等效電路如圖7.2（c）所示,電感L相當(dāng)于一個(gè)6A的電流源,電容C相當(dāng)于一個(gè)12V的電壓源。第四步,根據(jù)t=0+等效電路,計(jì)算其它的相關(guān)初始值:

例7.2

圖7.3（a）所示電路在t=0時(shí)換路,即開關(guān)S由位置1合到位置2。設(shè)換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定,求換路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。圖7.3例7.2圖解

(1)作t=0－等效電路如圖7.3（b）所示。則有(2)作t=0+等效電路如圖7.3（c）所示。由此可得

例7.3

如圖7.4（a）所示電路,t=0時(shí)刻開關(guān)S閉合,換路前電路無儲(chǔ)能。試求開關(guān)閉合后各電壓、電流的初始值。圖7.4例7.3圖解（1）根據(jù)題中所給定條件,換路前電路無儲(chǔ)能,故得出

（2）作t=0+等效電路如圖7.4（b）所示,電容相當(dāng)于短路,電感相當(dāng)于開路。則有練習(xí)與思考

7.1-1

試分別說明電容和電感元件在什么時(shí)候可看成開路?什么時(shí)候又可看成短路?

7.1-2

如圖7.5所示各電路在換路前均已穩(wěn)定,在t=0時(shí)換路,試求圖中標(biāo)出的各電壓、電流的初始值。圖7.5題7.1-2圖7.2一階電路的零輸入響應(yīng)7.2.1

RC電路的零輸入響應(yīng)如圖7.6所示電路,開關(guān)S閉合前電容已充電至電壓UC(0－)

=Uo。t=0時(shí)刻S閉合,根據(jù)換路定律有：UC(0+)=UC(0－)=Uo,則電流i(0+)=Uo/R。這樣,從t=0+起，電容通過電阻R放電。隨著時(shí)間的增加,電容的初始儲(chǔ)能(1/2CU2o)逐漸被電阻消耗直至殆盡，UC=0,i=0，放電結(jié)束?，F(xiàn)在研究電容放電過程中其電壓、電流隨時(shí)間的變化規(guī)律。圖7.6RC電路的零輸入響應(yīng)根據(jù)圖7.6所示電路電壓、電流的參考方向,依KVL,有將uR=Ri, （式中負(fù)號(hào)是因?yàn)殡娙蓦妷汉碗娏鲄⒖挤较虿灰恢拢?將其代入上式可得(7-2)

式（7-2）為常系數(shù)一階線性齊次微分方程。由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知其通解形式為uC=Aept。其中,常數(shù)p是特征方程的根,A為待定的積分常數(shù)。式（7-2）的特征方程可將uC=Aept

代入而得RCp+1=0特征根為所以將初始條件uC(0+)=Uo

代入上式,可得A=Uo,則式（7-3）就是零輸入響應(yīng),即電容放電過程中電容電壓uC隨時(shí)間變化規(guī)律的表達(dá)式。(7-3)電路中的放電電流i(t)和電阻電壓uR(t)分別為(7-4)(7-5)

從式（7-3）、（7-4）和式（7-5）中可以看出,電壓uC(t)、uR(t)和電流i(t)都是按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的,它們隨時(shí)間變化的曲線如圖7.7（a）、（b）所示。圖7.7RC電路零輸入響應(yīng)曲線式（7-3）、（7-4）及式（7-5）中的RC具有時(shí)間的量綱,因?yàn)樗苑Q其為時(shí)間常數(shù),并令τ=RC(7-6)引入時(shí)間常數(shù)τ后,式（7-3）、（7-4）和式（7-5）可表示為(t≥0)(t≥0)(t≥0)

時(shí)間常數(shù)τ是表征電路過渡過程快慢的物理量。τ值越大,過渡過程的進(jìn)展越慢。RC電路的時(shí)間常數(shù)τ僅由電路的參數(shù)R和C來決定。當(dāng)R越大時(shí),電路中放電電流越小,放電時(shí)間就越長;當(dāng)C越大儲(chǔ)存的電場能量就越大,放電時(shí)間也就越長。τ對(duì)暫態(tài)過程的影響如圖7.8所示?，F(xiàn)以電容電壓uC(t)為例來說明時(shí)間常數(shù)τ的意義。將t=τ、2τ、3τ、…

等不同時(shí)間的響應(yīng)uC值列于表7-1之中。圖7.8時(shí)間常數(shù)τ對(duì)暫態(tài)過程的影響表7-1時(shí)間常數(shù)不同時(shí)的uC值

從表中可以看出:(1)當(dāng)t=τ時(shí),uC=0.368Ｕo,所以,時(shí)間常數(shù)τ是電路零輸入響應(yīng)衰減到初始值0.368倍所需要的時(shí)間。

(2)從理論上講,t=∞時(shí),uC=0,過渡過程才結(jié)束,但當(dāng)t=(3～5)τ時(shí),uC已衰減到初始值的5%以下,因此,工程上一般認(rèn)為經(jīng)過（3～5)τ的時(shí)間,放電過程便結(jié)束了。

例7.4

如圖7.9（a）所示電路,在t=0時(shí)刻開關(guān)S閉合,S閉合前電路已穩(wěn)定。試求t≥0時(shí)的i1(t)、i2(t)和iC(t)。圖7.9例7.4圖解（1）作t=0－等效電路如圖7.9（b）所示。則有uC(0+)=uC(0－)=2×3=6V

（2）作t≥0電路如圖7.9（c）所示,其等效電路如圖7.9（d）所示。則等效電阻故電路的時(shí)間常數(shù)τ=RC=2×0.5=1s根據(jù)式（7-3）可得在圖7.9（c）所示電路中,可求得7.2.2RL電路的零輸入響應(yīng)如圖7.10（a）所示電路。開關(guān)S動(dòng)作前電路已穩(wěn)定,則電感L相當(dāng)于短路,此時(shí)電感電流為iL(0-)=US/RS=Ｉo。開關(guān)動(dòng)作后的初始時(shí)刻t=0+時(shí),根據(jù)換路定律,有iL(0+)=Io。這時(shí)電感中的初始儲(chǔ)能 ,將逐漸被電阻消耗,直至殆盡,電流為零,電感的消磁過程便結(jié)束。下面通過數(shù)學(xué)分析,找出電感電流和電壓的變化規(guī)律。圖7.10RL電路的零輸入響應(yīng)在圖7.10（b）中,依KVL,可得將電感的伏安關(guān)系 代入上式,可得(7-7)

式(7-7)也是一個(gè)常系數(shù)一階線性齊次微分方程,與式(7-2)相似,其通解的形式為 。其中,τ是電路的時(shí)間常數(shù)。特征方程為則(t≥0)代入初始條件iL(0+)=Io,可得A=Io,故電路的零輸入響應(yīng)為(7-8)電阻和電感上的電壓分別為(7-9)(7-10)

式(7-10)中電感電壓為負(fù)值,是因?yàn)殡娏鞑粩鄿p小,根據(jù)楞次定律可知,電感上的感應(yīng)電壓力圖維持原來電流不變,故實(shí)際的感應(yīng)電壓的極性與參考極性相反,因而為負(fù)值。

從式（7-8）、（7-9）和式（7-10）中可以看出,iL(t)、uR(t)和uL(t)都是按同一時(shí)間常數(shù)的指數(shù)規(guī)律衰減,它們隨時(shí)間變化的曲線如圖7.11所示。圖7.11RL電路的零輸入響應(yīng)曲線

RL電路的時(shí)間常數(shù) ,同樣具有時(shí)間量綱,其大小同樣反映了電路中過渡過程進(jìn)行的快慢。從以上的分析可見,RC電路和RL電路中所有的零輸入響應(yīng)都是由初始值開始以指數(shù)規(guī)律衰減的,而且都可寫成相同的形式,即(7-11)

式（7-11）中,f(0+)為響應(yīng)的初始值,τ是電路的時(shí)間常數(shù),RC電路的τ=RC,RL電路的τ=L/R。其中R為換路后,從動(dòng)態(tài)元件兩端看進(jìn)去的代文寧等效電阻。

例7.5

如圖7.12（a）所示為一測量電路,已知L=0.4H,R=1Ω,US=12V,電壓表的內(nèi)阻RV=10kΩ,量程為50V。開關(guān)S原來閉合,電路已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時(shí),將開關(guān)打開,試求:（1）電流i(t)和電壓表兩端的電壓uV(t);（2）t=0時(shí)（S剛打開）電壓表兩端的電壓。圖7.12例7.5圖

解（1）t≥0電路如圖7.12（b）所示,為一RL電路。電路的時(shí)間常數(shù)為電感中電流的初始值為根據(jù)式（7-11）,可得電感電流的表達(dá)式為電壓表兩端的電壓為（2）當(dāng)t=0時(shí)該數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過電壓表的量程,將損壞電壓表。在斷開電感電路時(shí),必須先拆除電壓表。從上例分析中可見,電感線圈的直流電源斷開時(shí),線圈兩端會(huì)產(chǎn)生很高的電壓,從而出現(xiàn)火花甚至電弧,輕則損壞開關(guān)設(shè)備,重則引起火災(zāi)。因此工程上都采取一些保護(hù)措施。常用的辦法是在線圈兩端并聯(lián)續(xù)流二極管或接入阻容吸收電路,如圖7.13（a）、（b）所示。圖7.13RL電路切斷電源時(shí)的保護(hù)措施練習(xí)與思考

7.2-1

什么叫零輸入響應(yīng)？零輸入響應(yīng)具有怎樣的形式？

7.2-2

一階電路的時(shí)間常數(shù)如何確定？時(shí)間常數(shù)的大小說明什么問題？

7.2-3

在圖7.14所示電路中,換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),求換路后的uC(t)。

7.2-4

在圖7.15所示電路中,換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),求換路后的iL(t)。圖7.14題7.2-3圖圖7.15題7.2-4圖7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.3.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)如圖7.16所示RC串聯(lián)電路,開關(guān)S閉合前uC(0－)=0，t=0時(shí)，S閉合,US接入電路，US向電容充電。在t=0+瞬間，依換路定律，有uC(0+)=uC(0－)=0，則US全部加在R兩端（電容相當(dāng)于短路），此時(shí)i(0+)=US/R為最大。隨著時(shí)間的推移，電容被充電，uC隨之升高，此時(shí)i=(US－uC)/R將逐漸減小，直至uC=US,i=0，充電結(jié)束，電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。圖7.16RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)圖7.16中S閉合后的電路,依KVL,有(t≥0)將R、C的伏安關(guān)系: ,代入上式后可得(t≥0)(7-12)式(7-12)常系數(shù)一階線性非齊次微分方程。由高等數(shù)學(xué)知識(shí)知,其解由其特解ucp和相應(yīng)齊次方程的通解uch兩部分組成,即uC=ucp+uch對(duì)應(yīng)于式（7-12）的齊次微分方程即式（7-2）,其通解為非齊次方程式(7-12)的特解為電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的解因此uC的全解為(t≥0)將初始條件uC(0+)=0代入上式,可得A=－US

則電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為(t≥0)(7-13)式（7-13）也就是充電過程中電容電壓的表達(dá)式。它表明了這一過程中電壓uC隨時(shí)間變化的規(guī)律。令τ=RC,則(t≥0)(7-14)充電電流i(t)和電阻電壓uR(t)為(t≥0)(7-15)(t≥0)(7-16)uC(t)、uR(t)和i(t)隨時(shí)間變化的曲線如圖7.17(a)、(b)所示。圖7.17RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線

由以上分析可知,在電容充電過程中,電容電壓uC(t)是從零開始按指數(shù)規(guī)律上升趨于穩(wěn)態(tài)值US,而充電電流i(t)和電阻電壓uR(t)則由零值躍變到最大值后,以相同的時(shí)間常數(shù)按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減至零。電壓、電流變化進(jìn)程的快慢,仍取決于電路的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)t=τ時(shí),uC=0.632US,即電容電壓增至穩(wěn)態(tài)值的0.632倍。當(dāng)t=(3～5)τ時(shí),uC增至穩(wěn)態(tài)值的0.95～0.99倍,通常認(rèn)為此時(shí)電路已進(jìn)入穩(wěn)態(tài),即充電過程結(jié)束。7.3.2

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)如圖7.18所示RL串聯(lián)電路,開關(guān)S閉合前iL(0－)=0,t=0時(shí),S閉合,US接入電路。在t=0+瞬間，依換路定律，有iL(0+)=iL(0-)=0,則US全部加在L兩端（電感相當(dāng)于開路），即uL(0+)=US為最大。隨著時(shí)間的推移，電流逐漸增大，uR隨之增大，則uL隨之減小，直至uL=0，電感相當(dāng)于短路，US全部加在電阻兩端，電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)值iL(∞)=US/R。圖7.18RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)圖7.18中S閉合后的電路,依KVL,有(7-17)式（7-17）也是一常系數(shù)一階線性非齊次微分方程,它的解同樣由其特解icp和相應(yīng)的齊次方程的通解ich組成,即其中,特解仍是電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的解齊次微分方程的通解與RL串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)形式相同,即令 ,故得將iL(0+)=0代入上式可得則電路的零狀態(tài)響應(yīng)iL(t)為(t≥0)

(7-18)電感電壓uL(t)和電阻電壓uR(t)分別為(7-19)iL(t)、uL(t)和uR(t)隨時(shí)間變化的波形曲線如圖7.19（a）、（b）所示。圖7.19RL電路零狀態(tài)響應(yīng)曲線

由上述分析可知:RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)電壓uC(t)和RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)電流iL(t)都是由零狀態(tài)逐漸上升到新的穩(wěn)態(tài)值,而且都可以寫成相同的形式,即(7-20)式（7-20）中,f(∞)是響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。套用此式即可求得RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)電壓uC(t)和RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)電流iL(t)。從式（7-13）和式（7-18）可知，兩種動(dòng)態(tài)電路的零狀態(tài)響應(yīng)均含兩項(xiàng)，一項(xiàng)為方程的特解，是電路換路后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的解，稱為穩(wěn)態(tài)分量，受激勵(lì)的制約，又稱為強(qiáng)制分量。另一項(xiàng)為相應(yīng)的齊次方程的通解，它按指數(shù)規(guī)律衰減，快慢由時(shí)間常數(shù)決定；當(dāng)t→∞時(shí)，它趨于零，稱為暫態(tài)分量，其變化規(guī)律不受激勵(lì)制約，稱為自由分量。當(dāng)暫態(tài)分量衰減為零時(shí)，

過渡過程結(jié)束，電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。

例7.6

圖7.20所示電路,t=0時(shí)開關(guān)S閉合。已知uC(0-)=0,求t≥0時(shí)的uC(t)、iC(t)和i(t)。

解因?yàn)閡C(0－)=0,故換路后電路屬于零狀態(tài)響應(yīng)。因此電容電壓可套用式（7-20）求出。又因?yàn)殡娐贩€(wěn)定后,電容相當(dāng)于開路,所以時(shí)間常數(shù)圖7.20例7.6圖根據(jù)式（7-20）得(t≥0)則(t≥0)(t≥0)

例7.7

圖7.21所示電路,換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),在t=0時(shí)開關(guān)S打開,求t≥0時(shí)的iL(t)和uL(t)。圖7.21例7.7圖

解因?yàn)閕L(0－)=0,故換路后電路的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。因此電感電流表達(dá)式可套用式（7-20）。又因?yàn)殡娐贩€(wěn)定后,電感相當(dāng)于短路,所以時(shí)間常數(shù)根據(jù)式（7-20）得則練習(xí)與思考

7.3-1

什么叫零狀態(tài)響應(yīng)？零狀態(tài)響應(yīng)具有什么樣的形式？

7.3-2

圖7.22所示各電路中儲(chǔ)能元件上均無儲(chǔ)能,在t=0時(shí)換路。試求t≥0時(shí)圖中電壓、電流的變化規(guī)律。圖7.22題7.3-2圖7.4一階電路的全響應(yīng)以圖7.23所示RC電路為例。UC(0+)=Uo,t=0時(shí),S閉合,計(jì)算電路的全響應(yīng)uC(t)。根據(jù)圖7.23中S閉合后的電路,依KVL,有(7-21)對(duì)應(yīng)于式(7-21)的齊次微分方程的通解為圖7.23RC電路的全響應(yīng)非齊次微分方程的特解為因此,微分方程式（7-21）的全解為代入初始條件uC(0+)=Uo,可得(7-22)則全響應(yīng)(t≥0)(7-23)可以看出,上式右邊第一項(xiàng)是受輸入激勵(lì)制約的穩(wěn)態(tài)分量;第二項(xiàng)是隨時(shí)間增長而衰減的暫態(tài)分量,也就是說電路的全響應(yīng)可分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量之和。即

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量

圖7.24給出了Uo<US、Uo=US

、Uo>US三種不同初始狀態(tài)下,RC電路的全響應(yīng)uC(t)的曲線。圖7.24三種情況下uC隨時(shí)間變化的曲線(a)Uo<US;(b)Uo=US;(c)Uo>US

還可將式（7-23）寫成下列形式(7-24)

可以看出,上式右邊第一項(xiàng)是uC的零輸入響應(yīng),第二項(xiàng)是uC的零狀態(tài)響應(yīng),也就是說,電路的全響應(yīng)還可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。即全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)線性電路的疊加定理,電路的全響應(yīng)uC(t)可以看作是分別由外加激勵(lì)US和初始狀態(tài)uC(0+)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生響應(yīng)的疊加。

當(dāng)US=0時(shí),響應(yīng)uC(t)′由初始狀態(tài)uC(0+)作用所產(chǎn)生,它就是零輸入響應(yīng),則

當(dāng)uC(0+)=0時(shí),響應(yīng)uC(t)″由外加激勵(lì)US所產(chǎn)生,它就是零狀態(tài)響應(yīng),則因此,電路的全響應(yīng)為上式與式（7-24）完全相同。圖7.25三種情況下uC隨時(shí)間變化的曲線(a)Uo<US;(b)Uo=US;(c)Uo>US

圖7.25給出了Ｕo<US、Uo=US、Uo>US

三種情況下,用零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)疊加而得到的uC(t)的全響應(yīng)曲線,其結(jié)果與穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量疊加是一樣的。

例7.8

圖7.26所示電路,在t=0時(shí)開關(guān)S打開,已知uC(0+)=5V。求t≥0電路的全響應(yīng)uC(t)。圖7.26例7.8圖

解作t≥0電路如圖7.26（b）所示。用響應(yīng)的兩種分解方法求全響應(yīng)uC(t)。

方法1

全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。按圖7.26（b）所示電路,當(dāng)IS=0時(shí),uC(0+)=5V,則電路的零輸入響應(yīng)為故得出(t≥0)

按圖7.26(b)所示電路,當(dāng)uC(0+)=0時(shí),IS=1A,則電路的零狀態(tài)響應(yīng)為(t≥0)電路的全響應(yīng)電容電壓則為(t≥0)方法2

全響應(yīng)分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量的疊加。穩(wěn)態(tài)分量uC(∞)=20V所以全響應(yīng)為(t≥0)暫態(tài)分量為練習(xí)與思考

7.4-1

電路的全響應(yīng)可分解為哪兩種形式？

7.4-2

分別判斷圖7.27所示各電路中,當(dāng)S動(dòng)作后有無過渡過程？為什么？圖7.27題7.4-2圖7.5一階電路的三要素法由前幾節(jié)分析中可知，在直流電源激勵(lì)或非零狀態(tài)下，電路中的電流、電壓均從初始值起按指數(shù)規(guī)律增長（或衰減）至穩(wěn)態(tài)值，且同一電路中電流和電壓變化的時(shí)間常數(shù)τ相同。因此，在動(dòng)態(tài)電路中任一電流（或電壓）均由初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)值f(∞)和時(shí)間常數(shù)τ三個(gè)要素確定。由于一階電路的全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和，因此全響應(yīng)是動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)的一般形式。用f(t)表示全響應(yīng)，則全響應(yīng)可由下式求出(7-25)

可見,對(duì)一階電路的分析,只要計(jì)算出響應(yīng)變量的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)三個(gè)要素,依式（7-25）便可直接得出結(jié)果,這一分析方法,稱為一階電路分析的三要素法。三個(gè)要素的計(jì)算說明如下:(1)初始值f(0+)。第一步作t=0－等效電路,確定獨(dú)立初始值;第二步作t=0+等效電路,計(jì)算相關(guān)初始值。

(2)穩(wěn)態(tài)值f(∞)?？赏ㄟ^作換路后t=∞穩(wěn)態(tài)等效電路來求取。作t=∞電路時(shí),電容相當(dāng)于開路;電感相當(dāng)于短路。

(3)時(shí)間常數(shù)τ。RC電路τ=RC,RL電路τ=L/R。其中R是換路后從動(dòng)態(tài)元件兩端看進(jìn)去的代文寧等效電阻。

例7.9

圖7.28（a）所示電路,在t=0時(shí)開關(guān)S打開,設(shè)S打開前電路已處于穩(wěn)態(tài),已知US=24V、R1=8Ω、R2=4Ω、L=0.6H。求t≥0時(shí)的iL(t)和uL(t)并畫出其波形。圖7.28例7.9圖

解

(1)求初始值iL(0+)、uL(0+)。作t=0-等效電路如圖7.28(b)所示。則有作t=0+等效電路如圖7.28（c）所示。依KVL,可得(2)求穩(wěn)態(tài)值iL(∞)、uL(∞)。作t=∞穩(wěn)態(tài)等效電路如圖7.28(d)所示,則有(3)求時(shí)間常數(shù)τ。先計(jì)算電感元件斷開后端口電路的輸入電阻,電路如圖7.28（e）所示,于是有則時(shí)間常數(shù)為根據(jù)式（7-25）計(jì)算出各響應(yīng)量為iL(t)、uL(t)的波形如圖7.28（f）所示。

例7.10

圖7.29（a）所示電路,在t=0時(shí)開關(guān)S閉合,S閉合前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。求t≥0時(shí)uC(t)、iC(t)和i(t)。圖7.29例7.10圖

解

(1)求初始值uC(0+)、iC(0+)、i(0+)。作t=0-等效電路如圖7.29（b）所示。則有作t=0+等效電路如圖7.29（c）所示。列出網(wǎng)孔電流方程聯(lián)立求解（Δ=32,Δi=40,Δic=－80），得(2)求穩(wěn)態(tài)值uC(∞)、iC(∞)、i(∞)。作t=∞時(shí)穩(wěn)態(tài)等效電路如圖7.29（d）所示,則有(3)求時(shí)間常數(shù)τ。將電容元件斷開,電壓源短路,如圖7.29(e)所示,求得等效電阻時(shí)間常數(shù)τ=RC=4×103×2×10-6=8×10－3s(4)根據(jù)式（7-25）得出電路的響應(yīng)電壓、電流分別為(t≥0)(t≥0)(t≥0)

例7.11

如圖7.30(a)所示含受控源電路,開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài),在t=0時(shí)開關(guān)S閉合。求t≥0時(shí)的iL(t)、uL(t)和i(t)。圖7.30例7.11圖

解

(1)求iL(0－),因此時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài),2H電感相當(dāng)于短路線,故iL(0－)=1A。

(2)求初始值iL(0+)、uL(0+)、i(0+),因iL(0－)=1A,故由換路定律得

作t=0+等效電路如圖7.30（b）所示,這時(shí)電感相當(dāng)于1A的電流源。列節(jié)點(diǎn)方程解之,得則(3)求穩(wěn)態(tài)值iL(∞)、uL(∞)、i(∞)。作t=∞時(shí)穩(wěn)態(tài)等效電路如圖7.30（c）所示,則有(4)求時(shí)間常數(shù)τ。用外加電壓法求電感元件兩端電路的戴維南等效電阻R，其等效電路如圖7.30(d)所示，依圖有故則時(shí)間常數(shù)為(5)根據(jù)式（7-25）計(jì)算出各響應(yīng)量為(t≥0)(t≥0)(t≥0)

例7.12

如圖7.31(a)所示電路中,已知US=12V,R1=3kΩ,R2=6kΩ,C=5μF,開關(guān)S原先斷開已久,電容中無儲(chǔ)能。t=0時(shí)將開關(guān)S閉合,經(jīng)0.02s后又重新打開,試求t≥0時(shí)的uC(t)及其波形。圖7.31例7.12圖

解由于開關(guān)S閉合后又打開,故電路的過渡過程分為兩個(gè)階段。

(1)t=0時(shí)S閉合后，電容充電，用三要素法求電容電壓uC。則(2)以t=0.02s作為新的換路時(shí)刻,S打開后,電容放電,用三要素法求出電容電壓uC。則(t≥0.02s)uC(t)的變化曲線如圖7.31（b）所示。練習(xí)與思考

7.5-1

一階電路的三要素是什么？如何求取？三要素法的通式是怎樣表示的？

7.5-2

試求圖7.32所示各電路的時(shí)間常數(shù)。圖7.32題7.5-2圖*7.6二階電路分析

凡能用二階微分方程描述的電路稱為二階電路。二階電路在電路結(jié)構(gòu)上必須包含有兩種獨(dú)立的儲(chǔ)能元件,而且在這種電路中,既儲(chǔ)存電場能量又儲(chǔ)存磁場能量。本節(jié)將通過對(duì)RLC串聯(lián)電路的討論來闡明二階電路的分析求解方法。如圖7.33所示的RLC串聯(lián)電路,若電容電壓及電感電流的初始值分別為uC(0+)和iL(0+),開關(guān)S在t=0時(shí)閉合,則儲(chǔ)能元件將通過電路進(jìn)行放電。這是一個(gè)零輸入響應(yīng)電路。下面對(duì)電路的響應(yīng)情況進(jìn)行分析。依KVL,得uR+uL-uC=0圖7.33RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)按圖中標(biāo)定的電壓、電流參考方向有將以上各式代入KVL方程,便可以得出以u(píng)C為響應(yīng)變量的微分方程,為(t≥0)(7-26)式(7-26)為一常系數(shù)二階線性齊次微分方程,其特征方程為LCp2+RCp+1=0其特征根為(7-27)式中,α=R/2L稱為衰減系數(shù),稱為固有振蕩角頻率。由式(7-27)可見,特征根由電路本身的參數(shù)R、L、C的數(shù)值來確定,反映了電路本身的固有特性。根據(jù)電路參數(shù)R、L、C數(shù)值的不同,特征根p1、p2可能出現(xiàn)如下四種情況。(1)當(dāng)(R/2L)2>1/LC時(shí),p1、p2為不相等的負(fù)實(shí)根,稱為過阻尼情況。特征根為微分方程的通解為(7-28)式中待定常數(shù)A1、A2由初始條件來確定,其方法是當(dāng)t=0+時(shí)刻,則由式(7-28)可得(7-29)對(duì)式(7-28)求導(dǎo),可得

t=0+時(shí)刻uC(t)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)的初始值為(7-30)聯(lián)立求解式(7-29)和式(7-30),便可以解出A1、A2。

根據(jù)式(7-28)可見,零輸入響應(yīng)uC(t)是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的,為非振蕩性質(zhì)。uC(t)的波形如圖7.34所示。圖7.34過阻尼時(shí)的uC(t)波形(2)當(dāng)(R/2L)2=1/LC時(shí),p１、p2為相等的負(fù)實(shí)根,稱為臨界阻尼情況。特征根為微分方程的通解為(7-31)式中常數(shù)A1、A2由初始條件uC(0+)和uC′(0+)來確定。

根據(jù)式(7-31)可知,這種情況的響應(yīng)也是非振蕩的。uC(t)隨時(shí)間變化的波形圖如圖7.35所示。圖7.35臨界阻尼情況零輸入響應(yīng)uC(t)的波形圖(3)當(dāng)(R/2L)2<1/LC時(shí),p1、p2為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根,稱為欠阻尼情況。特征根為式中稱為阻尼振蕩角頻率。微分方程的通解為(7-33)式中常數(shù)A和θ由初始條件確定。

根據(jù)式(7-33)可知,響應(yīng)隨時(shí)間變化的規(guī)律具有衰減的振蕩特性,它的振幅Ae-αt隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減,衰減的快慢取決于衰減系數(shù)α的大小,α越大則衰減就越快。衰減振蕩的角頻率為ωd,ωd越大,則振蕩周期T=2π/ωd

就越小。uC(t)的波形圖如圖7.36所示。圖7.36欠阻尼情況電路零輸入響應(yīng)uC(t)波形曲線(4)當(dāng)R=0時(shí),p1、p2為一對(duì)共軛虛根,稱為無阻尼情況。特征根為響應(yīng)的表達(dá)式為(7-34)A和θ可以直接由初始條件確定。uC(t)的波形如圖7.37所示。圖7.37無阻尼等幅振蕩情況電容電壓響應(yīng)波形圖

從式(7-34)和uC(t)的波形圖中可見,電路的零輸入響應(yīng)是不衰減的正弦振蕩,其角頻率為ω0。由于電路電阻為零,故稱為無阻尼等幅振蕩情況。以上幾種情況可以從物理意義上解釋如下：電容和電感都是儲(chǔ)能元件,只有電阻是耗能元件。電容放電時(shí)它所儲(chǔ)存的電場能量,一部分消耗在電阻中,一部分轉(zhuǎn)移到電感儲(chǔ)存于磁場中。在過阻尼情況下,由于R較大,能量消耗極為迅速,因此電感獲得的磁場能量不可能再返回給電容,而是隨電路電流的下降而逐漸釋放出來,一起消耗在電阻上。所以,電容電壓uC是單調(diào)下降的,形成非振蕩的放電過程。欠阻尼情況下,由于R較小,電容放電時(shí),被電阻消耗的能量較少,大部分電場能轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿軆?chǔ)存于電感中。當(dāng)電容儲(chǔ)能為零時(shí),電感開始放電,電容被反向充電。當(dāng)電感儲(chǔ)能為零時(shí),電容又開始放電。這樣周而復(fù)始。由于電阻不停地消耗著能量,因此電容電壓呈指數(shù)衰減的振蕩過程。如果R=0,即電路中無能量損耗,則在振蕩過程中,電容釋放給電感的能量和電感吸收后又釋放給電容的能量將始終相同。因此電容電壓uC的振幅將不會(huì)衰減,振蕩將無限制地持續(xù)下去,形成等幅振蕩。這就是無阻尼情況。

例7.13

圖7.33電路中,已知L=10H,C=0.1F。試求（1）

R=40Ω,uC(0+)=16V,i(0+)=0.4A時(shí)的零輸入響應(yīng)uC(t)。（2）R=10Ω,uC(0+)=10V,i(0+)=1A時(shí)的零輸入響應(yīng)uC(t)。并畫出其波形。

解（1）R=40Ω時(shí),按式(7-27)求方程特征根為顯然,電路屬于過阻尼情況。根據(jù)式(7-28),電路方程的解為

根據(jù)初始條件確定常數(shù)A1、A2。當(dāng)t=0+時(shí)刻上兩式聯(lián)立解出:A1=16.083,A2=－0.083，故得出零輸入響應(yīng)電容電壓為(t≥0)uC(t)的波形圖示于圖7.38中。圖7.38例7.13在過阻尼時(shí)的uC波形（2）

R=10Ω時(shí),方程的特征根為顯然,電路屬于欠阻尼情況。根據(jù)式（7-33）可得零輸入響應(yīng)電容電壓為根據(jù)初始條件確定常數(shù)A和角度θ值。當(dāng)t=0+時(shí)刻(A)再有(B)將(A)式代入(B)式得故解得電路的零輸入響應(yīng)電容電壓為(t≥0)圖7.39例7.13在欠阻尼時(shí)的uC波形

例7.14

如圖7.40所示RLC串聯(lián)電路,開關(guān)S在t=0時(shí)閉合,已知R=10Ω,L=1H,,US=16V,求零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。

解根據(jù)電路及元件的兩種約束關(guān)系,t≥0電路的微分方程為(7-35)這是一常系數(shù)線性二階非齊次微分方程,根據(jù)數(shù)學(xué)理論,該方程的解應(yīng)由兩部分組成,即式中的ucp為方程的特解,實(shí)際上就是電路的穩(wěn)態(tài)值。式中的uch是方程式(7-35)所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。解的形式根據(jù)特征根的不同情況來確定,分為過阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和無阻尼四種形式。圖7.40例7.14圖本題由已知條件得特征根為故電路屬于過阻尼情況。齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的特解為故得根據(jù)初始條件確定常數(shù)A1、A2。聯(lián)立求上兩式得出故解出電路的零狀態(tài)響應(yīng)為(t≥0)響應(yīng)曲線如圖7.41所示。圖7.41例7.14的響應(yīng)uC波形練習(xí)與思考

7.6-1

二階電路在結(jié)構(gòu)組成上有何特點(diǎn)?它的過渡過程可分為哪幾種情況？條件是什么？

7.6-2

在RLC串聯(lián)電路中,已知R=1Ω,L=0.125H,C=0.32F初始條件為uC(0)=2V,iL(0)=0V。求電路的零輸入響應(yīng)uC(t)。小結(jié)

1.動(dòng)態(tài)電路的過渡過程一階電路在過渡過程中電壓電流的變化規(guī)則是從換路后的初始值按指數(shù)規(guī)律變化到穩(wěn)態(tài)值的過程。過渡過程進(jìn)行的快慢取決于電路的時(shí)間常數(shù)。引起過渡過程的電路變化稱為換路。換路前后瞬間,電感電流、電容電壓不能突變,稱為換路定律。即利用換路定律和0+等效電路,可求得電路中各電流、電壓的初始值。

2.一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)就是無電源一階線性電路,在初始儲(chǔ)能作用下產(chǎn)生的響應(yīng)。其形式為式中,f(0+)是響應(yīng)的初始值,τ是電路的時(shí)間常數(shù)。RC電路的τ=RC,RL電路的τ=L/R,τ是決定響應(yīng)衰減快慢的物理量,是重要的常數(shù)。

3.一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)就是電路初始狀態(tài)為零時(shí)由輸入激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)。其形式為(t≥0)式中,f(∞)是響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。4.一階電路的全響應(yīng)

全響應(yīng)就是初始狀態(tài)不為零的電路在輸入恒定直流激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)。其兩種分解為

(1)(t≥0)(零狀態(tài)響應(yīng))(零輸入響應(yīng))(2)(t≥0)(暫態(tài)響應(yīng))(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))

5.一階電路的三要素法

一階電路的響應(yīng)f(t),由初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)值f(∞)和時(shí)間常數(shù)τ三要素所確定,利用三要素公式可以簡便地求解一階電路在直流電源作用下的電路響應(yīng)。三要素公式為(t≥0)

計(jì)算響應(yīng)變量的初始值f(0+)和穩(wěn)態(tài)值f(∞),分別用t=0+電路和t=∞電路解出。作t=0+電路時(shí)uC(0+)和iL(0+)分別視為電壓源和電流源。作t=∞電路時(shí),電容相當(dāng)于開路;電感相當(dāng)于短路。時(shí)間常數(shù)τ中的電阻R,是動(dòng)態(tài)元件兩端電路的代文寧等效電阻。

6.無電源二階電路的零輸入響應(yīng)和直流二階電路的