2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市第二中學(xué)高三下學(xué)期月考試卷（五）數(shù)學(xué)試題

2023屆內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市第二中學(xué)高三下學(xué)期月考試卷（五）數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，，則()A． B． C． D．2．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．53．已知的內(nèi)角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個面中，最大面積為（）A． B． C． D．6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．3 C． D．47．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．8．一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．9．很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)（）的圖象過點，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸11．某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．12．設(shè)，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在的零點個數(shù)為________．14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是_______．15．已知中，點是邊的中點，的面積為，則線段的取值范圍是__________.16．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點，則實數(shù)的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點的極坐標(biāo)為．（1）求直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求的面積．18．（12分）某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標(biāo)系中，寫出觀測點P的坐標(biāo)．19．（12分）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣A＝(k≠0)的一個特征向量為α＝，A的逆矩陣A－1對應(yīng)的變換將點(3，1)變?yōu)辄c(1，1)．求實數(shù)a，k的值．20．（12分）已知（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：．21．（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，（，）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當(dāng)時，求的值；利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【詳解】由，得，解得.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎(chǔ)題.3．C【解析】

由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.4．A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將與對比，即可求出結(jié)論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對比，屬于基礎(chǔ)題..5．B【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形，平面,結(jié)合三視圖求出每個面的面積即可.【詳解】由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三視圖知，因為,,所以,所以,因為為等邊三角形，所以,所以該三棱錐的四個面中，最大面積為.故選：B【點睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.6．C【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，如圖所示：故：.故選：C.【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運算.8．C【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.9．B【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】

計算出、，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解：，則，故選c.點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點個數(shù)．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個零點．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

求導(dǎo)，x=0代入求k，點斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點睛】本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運算，考查直線方程，考查計算能力，是基礎(chǔ)題15．【解析】

設(shè)，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問題求解.【詳解】設(shè)，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設(shè)，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于難題.16．【解析】

先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點，即方程有解.對分成三種情況進(jìn)行分類討論，由此求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于軸對稱的函數(shù)為，因為函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點，所以與的圖象有交點，方程有解.時符合題意.時轉(zhuǎn)化為有解，即，的圖象有交點，是過定點的直線，其斜率為，若，則函數(shù)與的圖象必有交點，滿足題意；若，設(shè)，相切時，切點的坐標(biāo)為，則，解得，切線斜率為，由圖可知，當(dāng)，即時，，的圖象有交點，此時，與的圖象有交點，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點以及對稱性，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，推理與運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）先消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，再利用求解.（2）直線與曲線方程聯(lián)立，得，求得弦長和點到直線的距離，再求的面積.【詳解】（1）由已知消去得，則，所以，所以直線的極坐標(biāo)方程為．（2）由，得，設(shè)，兩點對應(yīng)的極分別為，，則，，所以，又點到直線的距離所以【點睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與曲線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.18．（1）見解析，，x[0，1]；（2）P(，)時，視角∠EPF最大．【解析】

（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系，設(shè)出方程，通過點的坐標(biāo)可求方程；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，表示出，利用基本不等式求解的最大值，從而可得觀測點P的坐標(biāo)．【詳解】（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系由題意知：B(1，0.5)，設(shè)拋物線方程為代入點B得：p＝1，故方程為，x[0，1]；（2）設(shè)P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，記∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，則：，當(dāng)且僅當(dāng)即，即，即時取等號；故P(，)時視角∠EPF最大，答：P(，)時，視角∠EPF最大．【點睛】本題主要考查圓錐曲線的實際應(yīng)用，理解題意，構(gòu)建合適的模型是求解的關(guān)鍵，涉及最值問題一般利用基本不等式或者導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).19．解：設(shè)特征向量為α＝對應(yīng)的特征值為λ，則＝λ，即因為k≠0，所以a＝2．5分因為，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝2．綜上，a＝2，k＝2．20分【解析】試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k考點：特征向量,逆矩陣點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣．20．（1）沒有極值點；（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉(zhuǎn)化問題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,即可求證.【詳解】（1）當(dāng)時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.（2）由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設(shè),那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.21．（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項公式為，滿足題設(shè)【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（