高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第12章復(fù)數(shù)算法推理與證明1第1講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教案理

第1講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入知識(shí)點(diǎn)考綱復(fù)數(shù)理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．算法與程序框圖了解算法的含義，了解算法的思想．理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)；理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義．合理推理與演繹推理了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．直接證明與間接證明了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)．了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b．(2)復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)（a＝0，b≠0），,非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）.))))(3)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a、b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．()(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0沒有解．()(5)由于復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)能比較大小，因而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)也能比較大?。?)答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(2017·高考全國卷Ⅱ)eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i解析：選D.eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，選擇D.(2017·高考北京卷)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)解析：選B.因?yàn)閦＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a＋1，1－a)，又此點(diǎn)在第二象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1，故選B.(教材習(xí)題改編)在復(fù)平面內(nèi)，已知6＋5i對(duì)應(yīng)的向量為eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，5)，則eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________．解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＝(6，5)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，5)，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝(10，10)．答案：10＋10i(教材習(xí)題改編)已知(1＋2i)eq\o(z,\s\up6(－))＝4＋3i，則z＝________．解析：因?yàn)閑q\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(（4＋3i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，所以z＝2＋i.答案：2＋i復(fù)數(shù)的有關(guān)概念[典例引領(lǐng)](1)(2017·高考全國卷Ⅲ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2(2)(2017·高考天津卷)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若eq\f(a－i,2＋i)為實(shí)數(shù)，則a的值為________．【解析】(1)z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).(2)由eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(（a－i）（2－i）,5)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(2＋a,5)i是實(shí)數(shù)，得－eq\f(2＋a,5)＝0，所以a＝－2.【答案】(1)C(2)－2eq\a\vs4\al()解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．[通關(guān)練習(xí)]1．(2018·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋i,1－i)(i為虛數(shù)單位)，那么z的共軛復(fù)數(shù)為()A.eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)i B.eq\f(1,2)－eq\f(3,2)iC.eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i D.eq\f(3,2)－eq\f(3,2)i解析：選B.z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，所以z的共軛復(fù)數(shù)為eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，故選B.2．(2018·陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題(一))設(shè)(a＋i)2＝bi，其中a，b均為實(shí)數(shù)．若z＝a＋bi，則|z|＝()A．5B.eq\r(5)C．3D.eq\r(3)解析：選B.由(a＋i)2＝bi得a2－1＋2ai＝bi，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0,2a＝b))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1,b2＝4))，故復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，選B.復(fù)數(shù)的幾何意義[典例引領(lǐng)](1)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋i(i為虛數(shù)單位)，則z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z－i|≤eq\r(2)(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為________．【解析】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.(2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤eq\r(2)得|x＋(y－1)i|≤eq\r(2)，所以eq\r(x2＋（y－1）2)≤eq\r(2)，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形是以點(diǎn)(0，1)為圓心，以eq\r(2)為半徑的圓及其內(nèi)部，它的面積為2π.【答案】(1)A(2)2πeq\a\vs4\al()復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．[通關(guān)練習(xí)]1．(2016·高考全國卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：選A.由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(m＋3，m－1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))解得－3＜m＜1，故選A.2.(2018·寶雞九校聯(lián)考)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，則復(fù)數(shù)z1·z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選D.由已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，－2)，在第四象限．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算[典例引領(lǐng)](1)(2018·廣東省五校協(xié)作體第一次診斷考試)已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A．1 B．0C．1＋i D．1－i(2)(2018·武漢市武昌區(qū)調(diào)研)已知(eq\o(z,\s\up6(－))－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i是虛數(shù)單位，eq\o(z,\s\up6(－))是z的共軛復(fù)數(shù))，則z的虛部為()A．1 B．－1C．i D．－i【解析】(1)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，則有eq\f(1＋i2020,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－i.(2)因?yàn)閑q\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(4＋3i,2－i)＋1－3i＝eq\f(（4＋3i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以z＝2＋i，z的虛部為1，故選A.【答案】(1)D(2)Aeq\a\vs4\al()復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．計(jì)算下列各式的值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,1＋i)))eq\s\up12(2)；(2)eq\f(2＋4i,（1＋i）2)；(3)eq\f(1＋i,1－i)＋i3.解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,1＋i)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4i2,（1＋i）2)＝eq\f(－4,2i)＝2i.(2)eq\f(2＋4i,（1＋i）2)＝eq\f(2＋4i,2i)＝2－i.(3)eq\f(1＋i,1－i)＋i3＝eq\f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)＋i3＝eq\f(2i,2)＋i3＝i－i＝0.eq\a\vs4\al()復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法．(2)在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中，加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行，除法則需分母實(shí)數(shù)化．復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的幾個(gè)結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大?。?2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立．1．(2017·高考山東卷)已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝4，則a＝()A．1或－1 B.eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)解析：選A.法一：由題意可知eq\o(z,\s\up6(－))＝a－eq\r(3)i，所以z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.法二：z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.2．(2018·商丘模擬)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,i)))eq\s\up12(2)＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝()A．－7 B．7C．－4 D．4解析：選A.因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,i)))eq\s\up12(2)＝1＋eq\f(4,i)＋eq\f(4,i2)＝－3－4i，所以－3－4i＝a＋bi，則a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故選A.3．(2018·河南洛陽模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\o(z,\s\up6(－))＝|1－i|＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝()A.eq\r(2)－i B.eq\r(2)＋iC．1 D．－1－2i解析：選A.復(fù)數(shù)z滿足eq\o(z,\s\up6(－))＝|1－i|＋i＝eq\r(2)＋i，則復(fù)數(shù)z＝eq\r(2)－i.故選A.4．設(shè)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則z2－eq\f(2,z)＝()A．1＋3i B．1－3iC．－1＋3i D．－1－3i解析：選C.因?yàn)閦＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，eq\f(2,z)＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2（1－i）,1－i2)＝eq\f(2（1－i）,2)＝1－i，則z2－eq\f(2,z)＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故選C.5．(2018·福建寧德模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(3＋5i,1＋i)(i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(1，4) B．(4，－1)C．(4，1) D．(－1，4)解析：選C.因?yàn)閦＝eq\f(3＋5i,1＋i)＝eq\f(（3＋5i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(8＋2i,2)＝4＋i，所以在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，1)，故選C.6．設(shè)z＝eq\f(1,1＋i)＋i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．2解析：選B.因?yàn)閦＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,（1＋i）（1－i）)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).7．(2018·湖南省東部六校聯(lián)考)已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝1＋2i，則eq\f(z1,z2)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選D.由題可得，eq\f(z1,z2)＝eq\f(1＋i,1＋2i)＝eq\f(（1＋i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)i，對(duì)應(yīng)在復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))，在第四象限．8．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D.eq\f(4,5)解析：選D.因?yàn)閨4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(5（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以z的虛部為eq\f(4,5).9．(2018·蘭州市高考實(shí)戰(zhàn)模擬)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)eq\f(a－i,1＋i)(a∈R)的實(shí)部與虛部相等，則a＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：選B.eq\f(a－i,1＋i)＝eq\f(（a－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(（a－1）－（a＋1）i,2)，又復(fù)數(shù)eq\f(a－i,1＋i)的實(shí)部與虛部相等，所以eq\f(a－1,2)＝－eq\f(a＋1,2)，解得a＝0.故選B.10．(2018·福建省普通高中質(zhì)量檢查)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝|eq\r(3)＋i|，則在復(fù)平面內(nèi)，eq\o(z,\s\up6(－))對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選A.由題意，得z＝eq\f(\r(（\r(3)）2＋12),1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，1)，位于第一象限，故選A.11．(2018·成都市第二次診斷性檢測(cè))若虛數(shù)(x－2)＋yi(x，y∈R)的模為eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\r(3)解析：選D.因?yàn)?x－2)＋yi是虛數(shù)，所以y≠0，又因?yàn)閨(x－2)＋yi|＝eq\r(3)，所以(x－2)2＋y2＝3.因?yàn)閑q\f(y,x)是復(fù)數(shù)x＋yi對(duì)應(yīng)點(diǎn)的斜率，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(max)＝tan∠AOB＝eq\r(3)，所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3).12．(2017·高考全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝z2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則z∈R.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4解析：選B.設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，對(duì)于p1，因?yàn)閑q\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，所以b＝0，所以z∈R，所以p1是真命題；對(duì)于p2，因?yàn)閦2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，所以ab＝0，所以a＝0或b＝0，所以p2不是真命題；對(duì)于p3，設(shè)z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，則z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，所以dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠eq\o(z,\s\up6(－))2，所以p3不是真命題；對(duì)于p4，因?yàn)閦＝a＋bi∈R，所以b＝0，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi＝a∈R，所以p4是真命題．故選B.13．(2017·高考江蘇卷)已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________．解析：法一：復(fù)數(shù)z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，則|z|＝eq\r(（－1）2＋32)＝eq\r(10).法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝eq\r(2)×eq\r(5)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)14．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x－2y＋m＝0上，則m＝________．解析：z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)＝eq\f(4＋2i,2i)＝eq\f(（4＋2i）i,2i2)＝1－2i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－2)，將其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.答案：－515．(2018·遼寧師大附中期中)設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，若z＝1－i(i為虛數(shù)單位)，則eq\f(eq\o(z,\s\up6(－)),z)＋z2的虛部為________．解析：因?yàn)閦＝1－i(i為虛數(shù)單位)，所以eq\f(eq\o(z,\s\up6(－)),z)＋z2＝eq\f(1＋i,1－i)＋(1－i)2＝eq\f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)－2i＝eq\f(2i,2)－2i＝－i.故其虛部為－1.答案：－116．當(dāng)復(fù)數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小時(shí)，eq\f(4i,z)＝________．解析：|z|＝eq\r(（m＋3）2＋（m－1）2)＝eq\r(2m2＋4m＋10)＝eq\r(2（m＋1）2＋8)，所以當(dāng)m＝－1時(shí)，|z|min＝2eq\r(2)，所以eq\f(4i,z)＝eq\f(4i,2－2i)＝eq\f(4i（2＋2i）,8)＝－1＋i.答案：－1＋i1．已知復(fù)數(shù)z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)，則“z為純虛數(shù)”的一個(gè)充分不必要條件是()A．θ＝eq\f(π,4) B．θ＝eq\f(π,2)C．θ＝eq\f(3π,4) D．θ＝eq\f(5π,4)解析：選C.z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i.z是純虛數(shù)等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＋sinθ＝0，,cosθ－sinθ≠0，))等價(jià)于θ＝eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z.故選C.2．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，則A∩?RB為()A．?B．{0}C．{x|－2<x<1}D．{x|－2<x<0或0<x<1}解析：選D.由于只有實(shí)數(shù)間才能比較大?。蔭2＋a＋bi<2＋ci?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a<2，,b＝c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<a<1，,b＝c＝0，))因此A＝{x|－2<x<1}，B＝{0}，故A∩?RB＝{x|－2<x<1}∩{x|x∈R，x≠0}＝{x|－2<x<0或0<x<1}．3．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，且p，q∈R，則p＋q＝________