貴州省頂效開發(fā)區(qū)頂興學校高中數(shù)學必修五32一元二次不等式及34基本不等式教案1

教案蔡濤一元二次不等式及基本不等式2018春季第7周上周反思：上周為考試周，主要對必修5第一和第二章節(jié)進行復(fù)習鞏固，在復(fù)習過程中發(fā)現(xiàn)學生由于長時間的沒有做第一章節(jié)的題目，部分學生對知識點記憶不是很熟悉，因此重點抓學生對知識點的熟悉程度和教學生做題。3.2一元二次不等式及其解法一、教學目標：知識與技能：1.經(jīng)歷從實際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系;3.會解一次二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖.過程與方法：采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想;情感、態(tài)度與價值觀：通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生認識到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辯證的世界觀.二．重點難點

重點：1.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.難點：理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系.三、教材與學情分析由具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的一元二次不等式關(guān)系并鼓勵學生用數(shù)學觀點進行類比、歸納、抽象，及數(shù)形結(jié)合思想，感受函數(shù)思想在解決二次不等式的作用。激發(fā)學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的應(yīng)用性，體會數(shù)學的奧秘、數(shù)學的簡潔美、數(shù)學推理的嚴謹美，激發(fā)學生的學習興趣.四、教學方法問題引導(dǎo)，主動探究，啟發(fā)式教學．五、教學過程（一）導(dǎo)入新課播放2014“新聞聯(lián)播最萌結(jié)尾”，為學生創(chuàng)設(shè)如下問題情境：春天來了，熊貓飼養(yǎng)員計劃在靠墻的位置為它們?nèi)ㄒ粋€矩形的室外活動室?，F(xiàn)有可以做出20m柵欄的材料，要求使得活動室的面積不小于42m2分析可得如下數(shù)學模型：設(shè)與墻平行的柵欄長度為x（0<x<20）≥42≥42整理得：x220x+84≤0師生活動：針對問題情境，在教師的引導(dǎo)下，展開課堂討論，分析得出以上數(shù)學模型。設(shè)計意圖：舍棄課本上枯燥的收費問題，換用一個鮮活的實例吸引學生的注意力，激發(fā)學習興趣，以便順利導(dǎo)入新課。（2）觀察歸納，形成概念觀察式子：x220x+84≤0搶答競賽：（1）該式子是等式還是不等式？（2）該式中含有幾個未知數(shù)？（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是幾次？通過搶答競賽，你能歸納出一元二次不等式的定義嗎？定義：我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式。其一般形式為：ax2+bx+c＞0(a≠0) ax2+bx+c＜0(a≠0) ax2+bx+c≥0(a≠0) ax2+bx+c≤0(a≠0) 師生活動：讓學生觀察所得式子，搶答以上三個問題。在此基礎(chǔ)上，學生自己歸納一元二次不等式的定義，教師幫助明確一元二次不等式的一般形式。設(shè)計意圖：通過搶答競賽，即活躍了課堂氣氛，也為學生歸納一元二次不等式定義做好知識準備。整個環(huán)節(jié)意在讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的產(chǎn)生過程，體會成功的喜悅。（3）辨析討論，深化概念搶答競賽：判斷下列式子是不是一元二次不等式？（1）xy+3≤0（2）(x+2)(x3)<0（3）x3+5x6>0（4）ax2+bx+c>0師生活動：教師再次展開搶答競賽，其中命題（4）的判斷中，教師要說明二次項系數(shù)a可能為0，也可能不為0。設(shè)計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，讓學生區(qū)別一元二次不等式與其他不等式．（1）題可使學生明確定義中“一元”的意思，（3）（4）使學生明確定義中“二次”的意思．2.一元二次不等式解法的探究此時，學生已經(jīng)認識到x220x+84≤0是一個一元二次不等式，那么如何確定這個不等式的解集，以得到熊貓活動室柵欄的長度范圍呢？回憶舊知，尋找方案觀察一元二次不等式x220x+84≤0左邊的形式，在學過的哪些知識中出現(xiàn)過？一元二次方程x220x+84=0二次函數(shù)y=x220x+84猜想：利用三者之間的關(guān)系來解一元二次不等式x220x+84≤0師生活動：根據(jù)“溫故而知新”的教育理念，教師引導(dǎo)學生觀察這個一元二次不等式左邊的形式，在學過的哪些知識中出現(xiàn)過？由此得到求這個一元二次不等式解集的猜想方案。設(shè)計意圖：在教師的引導(dǎo)下，讓學生思考、發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵點，避免了傳統(tǒng)的填鴨式教學。畫一畫探究新知，從形到數(shù)畫一畫環(huán)節(jié)一：畫出二次函數(shù)y=x220x+84的圖象？看一看看一看環(huán)節(jié)二：觀看幾何畫板動畫，隨著動點C橫坐標x的變化，縱坐標y的變化情況思考回答：當x取哪些值時，y>0?當x取哪些值時，y=0?當x取哪些值時，y<0?說一說說一說環(huán)節(jié)三：（1）方程x220x+84=0的根是（2）不等式x220x+84≥0的解集是（3）不等式x220x+84≤0的解集是師生活動：學生進行以上三個環(huán)節(jié)，最終得出不等式x220x+84≤0的解集，從而沖出困惑，順利解決“怎樣設(shè)計熊貓活動室”的問題。設(shè)計意圖：以上三個環(huán)節(jié)借助二次函數(shù)圖象的直觀性，引導(dǎo)學生對圖象上任意一點的縱坐標進行跟蹤觀察，以獲得對一元二次不等式解集的感性認識，從而培養(yǎng)了學生從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化能力。類比討論，獲得解法變一變變一變環(huán)節(jié)四：如果把函數(shù)y=x220x+84變?yōu)閥=ax2+bx+c(a>0)1.方程ax2+bx+c=0的根是2.函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有幾個交點？3.不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是4.不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是小組研討小組研討可得下表：二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R師生活動：學生仿照熊貓活動室問題的解決過程，經(jīng)過小組研討、代表發(fā)言、集體交流等一系列活動，共同得出“三個二次”之間的關(guān)系，從而找到了利用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的方法。設(shè)計意圖：整個過程既能提高學生從特殊到一般的歸納能力，體會數(shù)形結(jié)合和分類討論思想在解決問題中的運用，又能讓每名學生充分發(fā)揮各自的長處和優(yōu)勢，促進共同進步。3.一元二次不等式解法的應(yīng)用自主探究求不等式x2－5x≤0的解集.求不等式4x2－4x＋1>0的解集.求不等式－x2＋2x－3>0的解集.思考：解一元二次不等式的一般步驟？總結(jié)：（1）把二次項系數(shù)化為正數(shù)（2）計算判別式△（3）解對應(yīng)的一元二次方程（4）根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合圖象，寫出不等式的解集師生活動：學生先自主探究課本上包含引例在內(nèi)的三道例題，學習其規(guī)范的解題格式，并思考解一元二次不等式的一般步驟。在教師的引導(dǎo)下，展開課堂討論，師生共同總結(jié)出解一元二次不等式的四個步驟。設(shè)計意圖：學生通過探究會發(fā)現(xiàn)當二次項系數(shù)小于零時，可以先化為正再求解，而且這三道例題也分別體現(xiàn)了△>0、△=0、△<0對不等式解集的影響，具有典型性、層次性和學生的可接受性。演練反饋——（演板）1.求不等式2x2+x5<0的解集.2.求不等式x24x+4>0的解集.3.求不等式log2x2≤log2(3x+4)的解集.4.求函數(shù)y=的定義域.師生活動：學生上臺演板，教師巡視課堂，給予個別指導(dǎo)。演板結(jié)束后，針對學生暴露出的問題，如解題不規(guī)范、運算錯誤等做詳細點評。設(shè)計意圖：通過練習，反饋教學情況，內(nèi)化學生所學知識。同時這幾道練習題由淺入深，并能結(jié)合函數(shù)定義域和對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容，可以有效幫助學生實現(xiàn)知識間的融會貫通。一元二次不等式的解法是近幾年來高考綜合題的熱點，那么在掌握了解法步驟后能否百無一失、穩(wěn)操勝券，還取決于是否擁有良好的解題習慣和數(shù)學素養(yǎng)。六、課堂小結(jié)1.一元二次不等式：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序.七、課后作業(yè)1.課本第89頁習題3.2[A]組第1題2.優(yōu)化方案課時作業(yè)八、板書設(shè)計3.2一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式與一元二次方程和一元二次函數(shù)間的關(guān)系例題練習和作業(yè)3.4基本不等式：（第一課時）一、教學目標1.知識與技能目標：（1）了解基本不等式的來源；（2）會利用基本不等式求簡單的最值問題；（3）在使用基本不等式求最值時，注意：基本不等式成立的三個限制條件（一正二定三相等），這三個條件缺一不可.2.過程與方法目標：（1）探索并了解基本不等式的形成過程；（2）體會基本不等式的簡單應(yīng)用.3.情感態(tài)度價值觀目標：通過層層設(shè)問，讓學生帶著問題去發(fā)現(xiàn)、去學習，充分挖掘?qū)W生的學習興趣.二、重點難點重點：會使用基本不等式求最值，尤其注意基本不等式成立的前提條件和等號成立的條件；難點：不知何時使用基本不等式，在使用基本不等式求最值時，容易忽略基本不等式成立的三個限制條件（一正二定三相等）.三、教法分析（一）學情分析在使用基本不等式求最值問題中，學生往往容易忽視基本不等式使用的前提條件和等號成立的條件.（二）教法根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學生的實際水平，采用問題驅(qū)動學習法與計算機輔助教學法.（三）學法以培養(yǎng)學生探究精神為出發(fā)點，著眼于知識的形成和發(fā)展，著眼于學生的學習體驗.設(shè)置問題，由淺入深，循序漸近，給不同層次的學生提供思考，創(chuàng)造和成功的機會.（四）教學手段課件展示四、教學過程設(shè)計（一）自我介紹尊敬的各位評委老師，上午好！我是來自凱里一中數(shù)學組的龍朝芬，我今天要講的課題是：基本不等式，選自新人教版必修第三章第四節(jié)。接下來講解本節(jié)課的教學過程。（二）本節(jié)課主要通過問題引入問題1、已知，求函數(shù)的最小值；問題2、已知，求函數(shù)的最小值。學生會這樣解題：當時，有最小值。這是高一上學期的解題方法，有沒有更簡單的方法呢？當然有，這就是今天要學習的基本不等式：，這個不等式又是怎么來的？我們一起來探討一下：（三）新知探究大家都知道，自然，展開會有：（什么時候取“”，當且僅當時，取“”）這一不等式就可以解決問題2了，但不能解決問題1呀，那如何辦呢？觀察可以發(fā)現(xiàn)這兩問題，一個是二次方，一個是一次方，如何把二次方降為一次方呢？在不等式：中，若是用代替，代替，我們會得到，（當且僅當時，取“”），這樣可以把二次降為一次了。通常我們把上式寫作：，這里是什么？（是算術(shù)平均數(shù)）是什么呢？（是幾何平均數(shù)），因此這個不等式可以描述為：兩個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)。基本不等式可以解決哪些問題呢？我們一起來看例題：（四）初步應(yīng)用，歸納提升例1、（1）已知，求函數(shù)的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最小值；（3）已知，，，求的最小值.通過例1，可以讓學生知道，表達式為倒數(shù)或具有倒數(shù)關(guān)系的兩數(shù)之和時，可以用基本不等式來求最小值。那可以用基本不等式來求最大值嗎？接下來一起學習例2。例2、（1）已知，且，求的最大值.（2）設(shè)，求的最大值.通過例2的學習，讓學生知道可以用基本不等式來求兩正數(shù)的積的最大值，但要把和湊成一個常數(shù)。通過學習例1、例2，我們可以用基本不等式解決求函數(shù)最值及式子的最值問題，但是還達不到高考要求，再來看例3：例3、（1）若，則的最小值為；（2）已知，，，則當?shù)闹禐闀r，取得最大值。通過例3的學習，讓學生了解到基本不等式在高考中如何考的。（五）反思總結(jié)，培養(yǎng)能力1、基本不等式的前提條件：，，等號成立的條件：；2、使用基本不等式求最值的三個限制條件（一正二定三相等），這三個條件缺一不可；3、和為定值積最大，積為定值和最小.（六）課后作業(yè)1、課本：必修5第100頁A組第一題2、補充作業(yè)：（1）求函數(shù)的最小值；（2）已知，，，求的最小值；（3）已知且，求的最大值.思考：求函數(shù)的最小值.（今天我們用基本不等式求最值問題，是不是所有的最值問題都可以用它來解決呢？請回去思考這道題，看能否用基本不等式來解決，若不能我們下節(jié)課再一起來探討）板書設(shè)計3.4基本不等式一、基本不等式二、公式推導(dǎo)例題練習和作業(yè)3.4基本不等式（第二課時）一、教學目標：1.進一步掌握并運用基本不等式；2.會運用基本不等式求某些函數(shù)的最值，求最值時注意一正二定三相等。3.使學生能夠運用基本不等式來討論函數(shù)的最大值和最小值問題。二、教學重點與難點：重點：能靈活利用基本不等式及其變式解決有關(guān)求值問題；難點：等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。三、教學過程（一）復(fù)習回顧：題目分析：除運用函數(shù)的單調(diào)性求解最值外，當時，可以利用基本不等式解題，引導(dǎo)出基本不等式。并強調(diào)基本不等式時三個條件“一正、二定、三相等?！被静坏仁剑喝绻?是正數(shù)，那么變形公式：解題分析：對于且積為定值，求和的最值時利用求其最小值。并加以總結(jié)：當積為定值時和有最小值。解題分析：對于且和為定值，求積的最值時利用求其最大值。并加以總結(jié)：當和為定值時積有最大值。2.最值定理：已知都是正數(shù)，①如果積是定值，那么當時，和有最小值；②如果和是定值，那么當時，積有最大值．說明：用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”。（二）例題講解、發(fā)散思維【題型1.不具備“正數(shù)”】學生板演，教師根據(jù)學生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：利用基本不等式求函數(shù)最值時要滿足各項均為正值，當不具備“正值”條件時，需將其轉(zhuǎn)化為正值；對于本題的解法是化負為正。然后再利用基本不等式解題?！绢}型2.不具備“定值”】學生板演，教師根據(jù)學生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：利用基本不等式求函數(shù)最值時要滿足為定值。不具備“定值”條件時，需將其構(gòu)造成定值條件；求和的最值化積為定值，求積的最值化和為定值。然后再利用基本不等式解題?！绢}型3.不具備“相等”的條件】學生板演，教師根據(jù)學生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：利用基本不等式求函數(shù)最值時要滿足等號成立。當不具備“相等”條件時，不能利用基本不等式解題?？梢韵戎v解觀察函數(shù)的圖像求解最值?？偨Y(jié)：等號成立時，利用基本不等式求最值。等號不成立時，利用函數(shù)單調(diào)性求最值。習題訓(xùn)練：求下列函數(shù)的值域:學生板演，教師根據(jù)學生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：對于分母為一次函數(shù)，分子為二次函數(shù)的分式函數(shù)求最值，可以結(jié)合以前所學過的分離常數(shù)法將分式函數(shù)變形為的形式，也可以利用換元法將分式函數(shù)變形為的形式，再利用基本不等式解題。學生板演，教師根據(jù)學生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：對于分母為二次函數(shù)，分子為常數(shù)項為0的一次函數(shù)的分式函數(shù)求最值，分子分母同除以分子；轉(zhuǎn)化為分母為基本不等式形式。對于分母先利用基本不等式求解，再求其倒數(shù)。解題時一定要注意基本不等式的使用條件。【題型4.含兩個變量或多個變量的最值問題】例4、已知x，y為正實數(shù)，且x+y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值時的x，y的值；學生板演，教師根據(jù)學生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：對于（1）已知兩正數(shù)的和為定值求積的最值，直接利用基本不等式解題，并強調(diào)等號成立的條件。對于（2）中求的最小值，采用的是整體代換思想，將中的1用來代換，轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式解題。歸納：利用基本不等式求函數(shù)值域，要注意基本不等式的三個條件:（1）不具備“正值”條件時，需將其轉(zhuǎn)化為正值；（2）不具備“定值”條件時，需將其構(gòu)造成定值條件；（構(gòu)造：積為定值或和為定值）（3）不具備“相等”條件時，需進行適當變形或利用函數(shù)單調(diào)性求值域；同時要靈活運用“1”的代換。一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和為常數(shù)，要注意定理及變形的應(yīng)用。（三）課堂小結(jié)：本節(jié)課的主要內(nèi)容是用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”，當給出的函數(shù)式不具備條件時，往往通過對所給的函數(shù)式及條件進行拆分、配湊變形來創(chuàng)造利用基本不等式的條件進行求解；（四）作業(yè)布置：（五）板書設(shè)計：3.4基本不等式復(fù)習題型分類例題練習和作業(yè)3.5基本不等式習題課一、教學目標：知識與技能：進一步掌握基本不等式；會用此不等式證明不等式,會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值,能夠解決一些簡單的實際問題；過程與方法：通過例題的研究，進一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用數(shù)學”的意識，激勵學生創(chuàng)新，鼓勵學生討論，學會溝通，培養(yǎng)團結(jié)協(xié)作精神；讓學生學會用運動觀點觀察事物，了解事物之間從一般到特殊、從特殊到一般的辨證關(guān)系，滲透辯證唯物主義認識論的思想。二．重點難點

重點：掌握基本不等式，會用此不等式證明不等式，會用此不等式求某些函數(shù)的最值難點：用基本不等式求最大（?。┲档牟襟E。三、教材與學情分析通過本節(jié)課的學習，讓學生進一步體會基本不等式的重要性，進一步領(lǐng)悟不等式證明的基本思路、方法.這為下面基本不等式的實際應(yīng)用打下了堅實的基礎(chǔ)，所以說，本節(jié)課研究內(nèi)容在本大節(jié)中是起承上啟下作用.在本節(jié)課的研究中，將由基本不等式推導(dǎo)出許多結(jié)構(gòu)簡潔的重要不等式，讓學生去體會數(shù)學的簡潔美與推理過程的嚴謹美.從而激發(fā)學生對數(shù)學的熱愛和專研.進而讓學生的數(shù)學邏輯思維能力及邏輯關(guān)系的分析能力得到鍛煉與培養(yǎng)，這方面也是貫穿學生的整個數(shù)學學習過程.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，對基本不等式展開應(yīng)用，進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助.四、教學方法問題引導(dǎo)，主動探究，啟發(fā)式教學．五、教學過程（一）導(dǎo)入新課（1）利用基本不等式證明不等式例1已知m>0,求證。[思維切入]因為m>0,所以可把和分別看作基本不等式中的a和b,直接利用基本不等式。[證明]因為m>0,，由基本不等式得當且僅當=，即m=2時，取等號。規(guī)律技巧總結(jié)注意：m>0這一前提條件和=144為定值的前提條件。隨堂練習1[思維拓展1]已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證.[思維拓展2]求證.例2求證:.[思維切入]由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母,直接使用基本不等式,無法約掉字母a,而左邊.這樣變形后,在用基本不等式即可得證.[證明]當且僅當=a3即a=5時,等號成立.規(guī)律技巧總結(jié)通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3(1)若x>0,求的最小值;(2)若x<0,求的最大值.[思維切入]本題(1)x>0和=36兩個前提條件;(2)中x<0,可以用x>0來轉(zhuǎn)化.解1)因為x>0由基本不等式得,當且僅當即x=時,取最小值12.(2)因為x<0,所以x>0,由基本不等式得:,所以.當且僅當即x=時,取得最大12.規(guī)律技巧總結(jié)利用基本不等式求最值時,個項必須為正數(shù),若為負數(shù),則添負號變正.隨堂練習2最值練習：解答下列各題：(１)求函數(shù)y＝2x2＋（x＞0）的最小值.(２)求函數(shù)y＝x2＋（x＞0）的最小值.(３)求函數(shù)y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值.(４)求函數(shù)y＝x（1－x2）（