青海省大通回族土族自治縣第一完全中學(xué)2025屆高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

青海省大通回族土族自治縣第一完全中學(xué)2025屆高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則=（）A． B． C． D．2．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是（）A． B． C． D．3．已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，其底面邊長(zhǎng)為4，、、分別為側(cè)棱，，的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．65．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，平面與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù)，如果正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有個(gè)點(diǎn)到平面的距離等于，那么下列結(jié)論中，一定正確的是A． B．C． D．6．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．a(chǎn)c＜bc D．7．已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．28．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為A． B． C． D．9．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設(shè)全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．11．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則的解集是（）A． B．C． D．12．若復(fù)數(shù)滿足，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為________.14．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍為_____．15．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．16．已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值18．（12分）對(duì)于給定的正整數(shù)k，若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）證明：等比數(shù)列是“數(shù)列”；（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.19．（12分）已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍.21．（12分）如圖，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.22．（10分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，且線段的中點(diǎn)為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補(bǔ)集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對(duì)立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻的概率,再根據(jù)兩對(duì)立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個(gè)陽爻”的對(duì)立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個(gè)全部是陰爻）的情況有1種,只有1個(gè)陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面，計(jì)算，由勾股定理解得，此外接球的體積為，三棱錐體積為，得到答案.【詳解】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中，過作底面的垂線，垂足為，與平面交點(diǎn)記為，連接、.依題意，所以，設(shè)球的半徑為，在中，，，，由勾股定理：，解得，此外接球的體積為，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距離為，則，所以三棱錐體積為，所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.4、B【解析】

設(shè)，，利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.【詳解】設(shè)，由已知，，所以點(diǎn)在單位圓上，而，表示點(diǎn)到的距離，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式來解決.5、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面的距離為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn)，面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和知識(shí)方法的遷移能力，屬于難題.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對(duì)A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯(cuò)誤；對(duì)B,因?yàn)閥＝cx為增函數(shù)，且a＞b，所以ca＞cb，正確對(duì)C,因?yàn)閥＝xc為增函數(shù),故，錯(cuò)誤；對(duì)D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故，錯(cuò)誤故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．7、A【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結(jié)合，可得到的齊次方程，進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng)，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】試題分析：由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以必有解，則，且，∴．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略（1）知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).（2）已知函數(shù)求極值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表檢驗(yàn)f′（x）在f′（x）＝0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.（3）已知極值求參數(shù).若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處取得極值，則f′（x0）＝0，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.10、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因?yàn)榛?所以，又因?yàn)?所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.11、B【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得在時(shí)的解析式和，進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，，為奇函數(shù)，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對(duì)稱區(qū)間的解析式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略奇函數(shù)在處有意義時(shí)，的情況.12、C【解析】

化簡(jiǎn)得到，，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.方法二：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)基本不等式的靈活使用,難度較易.14、【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程在區(qū)間上有解，化簡(jiǎn)方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解：根據(jù)題意，若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程在區(qū)間上有解，即方程在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，又由，可得：當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值，又由；比較可得：，故函數(shù)有最大值，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?；若方程在區(qū)間上有解，必有，則有，即的取值范圍是；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展.由于函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，在研究方程的有關(guān)問題時(shí)，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.15、【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出得答案．【詳解】，，則，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．16、【解析】

先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立，設(shè)，求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對(duì)于任意恒成立，即，又因?yàn)?，，?duì)任意恒成立，設(shè)，其中，由不等式，可得：，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，，則，即：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由得，兩式相減可得是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，由此即可求出答案；（2），分類討論，當(dāng)時(shí)，，作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列，由此可得答案，【詳解】解：（1）因?yàn)?，，兩式相減得：，即，是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，∵∴，則，；（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)遞增，，所以實(shí)數(shù)的最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．18、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】

（1）由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：即可證明.（2）既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，，則對(duì)于任意都成立，則成等比數(shù)列，設(shè)公比為，驗(yàn)證得答案.【詳解】（1）證明：由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：等比數(shù)列是“數(shù)列”.（2）證明：既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，（）（），（）可得：對(duì)于任意都成立，即成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，（）數(shù)列是“數(shù)列”時(shí)，由（）可得：時(shí)，由（）可得：，可得，同理可證成等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式等基本知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力，屬于難題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）構(gòu)造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.【詳解】（1）過點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為,又四邊形為正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，故可得//，為中點(diǎn)；又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危堑闹悬c(diǎn)，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因?yàn)槠矫妫拭?即證.（2）連接，，作交于點(diǎn)，由（1）可知平面，又因?yàn)?/，故可得平面，則；又因?yàn)?/，，故可得即，，兩兩垂直，則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)面的法向量為，則，，則，可取，設(shè)平面的法向量為，則，，則，可取，可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時(shí)，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）的結(jié)論對(duì)分類討論，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，則，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，在區(qū)間上恒成立.∴（其中），解得.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，在區(qū)間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).由（1）易知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個(gè)零點(diǎn)為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.21、(1)見解析(2)【解析】

（1）設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，由中位線定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；（2）取CD中點(diǎn)為G，連結(jié)BG，EG，則可證四邊形ABGD是矩形，由面面垂直的性質(zhì)得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，從而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入體積公式即可計(jì)算出體積．【詳解】（1）證明：設(shè)與交于點(diǎn)，連接，在矩形中，點(diǎn)為中點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）取中點(diǎn)為，連接，，平面平面，平面平面，平面，，∴平面，同理平面，∴的長(zhǎng)即為四棱錐的高，