天津市寶坻區(qū)大口屯高中2025屆高三第二次模擬考試數學試卷含解析

天津市寶坻區(qū)大口屯高中2025屆高三第二次模擬考試數學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是虛數單位，復數（）A． B． C． D．2．設集合，，則集合A． B． C． D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．世紀產生了著名的“”猜想：任給一個正整數，如果是偶數，就將它減半；如果是奇數，則將它乘加，不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到.如圖是驗證“”猜想的一個程序框圖，若輸入正整數的值為，則輸出的的值是（）A． B． C． D．5．《九章算術》是我國古代數學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內切圓的直徑為多少步？”現從該三角形內隨機取一點，則此點取自內切圓的概率是（）A． B． C． D．6．在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．7．設命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．8．復數的共軛復數在復平面內所對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．某歌手大賽進行電視直播，比賽現場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內外的觀眾可以通過網絡平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現場嘉賓的評分情況如下表，場內外共有數萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數為，場內外的觀眾評分的平均數為，所有嘉賓與場內外的觀眾評分的平均數為，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．10．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．11．設等差數列的前項和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．712．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數為()A．1 B．2C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知均為非負實數，且，則的取值范圍為______．14．農歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為____；若該六面體內有一球，則該球體積的最大值為____．15．四邊形中，，，，，則的最小值是______.16．已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，（）.（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數a、m的值；（2）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍；（3）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論.18．（12分）已知點P在拋物線上，且點P的橫坐標為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點），與拋物線C的準線交于M，N兩點，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準線與y軸的交點為H．過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大?。唬?）求的最大值.21．（12分）已知分別是橢圓的左焦點和右焦點，橢圓的離心率為是橢圓上兩點，點滿足.(1)求的方程；(2)若點在圓上，點為坐標原點，求的取值范圍.22．（10分）設直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，設直線（為坐標原點）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點，并求出該定點的坐標；（2）是否存在常數，滿足？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用復數的除法運算，化簡復數，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，復數，故選D．【點睛】本題主要考查了復數的除法運算，其中解答中熟記復數的除法運算法則是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．2、B【解析】

先求出集合和它的補集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結果.【詳解】對于集合A，，解得或，故.對于集合B，，解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是：先將二次項系數化為正數，且不等號的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對應的一元二次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.3、C【解析】

利用誘導公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點睛】本題考查誘導公式、倍角公式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數的符號.4、C【解析】

列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的的值.【詳解】，輸入，，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數不成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，成立，跳出循環(huán)，輸出的值為.故選：C.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.5、C【解析】

利用直角三角形三邊與內切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內切圓的面積，根據幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內切圓的半徑為，所以向次三角形內投擲豆子，則落在其內切圓內的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.6、A【解析】

依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據求出的坐標，求出邊所在直線的方程，設，利用坐標表示，根據二次函數的性質求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，由，，，，，，，因為點在線段的延長線上，設，解得，所在直線的方程為因為點在邊所在直線上，故設當時故選：【點睛】本題考查向量的數量積，關鍵是建立平面直角坐標系，屬于中檔題.7、C【解析】根據命題的否定，可以寫出：，所以選C.8、D【解析】

由復數除法運算求出，再寫出其共軛復數，得共軛復數對應點的坐標．得結論．【詳解】，，對應點為，在第四象限．故選：D.【點睛】本題考查復數的除法運算，考查共軛復數的概念，考查復數的幾何意義．掌握復數的運算法則是解題關鍵．9、C【解析】

計算出、，進而可得出結論.【詳解】由表格中的數據可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數萬名觀眾，所以，.故選：B.【點睛】本題考查平均數的大小比較，涉及平均數公式以及頻率分布直方圖中平均數的計算，考查計算能力，屬于基礎題.10、D【解析】

如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質可以得到，，結合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構造關于的方程，本題屬于難題.11、B【解析】

根據題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了等差數列的求和，意在考查學生的計算能力.12、D【解析】可以是共4個，選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設,可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結合的取值范圍求關于的二次函數的最值即可求解.【詳解】因為,，令，則,因為,當且僅當時等號成立,所以,,即,令則函數的對稱軸為,所以當時函數有最大值為,即．當且，即，或，時取等號；因為,當且僅當時等號成立,所以,令,則函數的對稱軸為,所以當時,函數有最小值為,即，當,且時取等號，所以.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式與二次函數求最值相結合求代數式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不等式:和的靈活運用是求解本題的關鍵;屬于綜合型、難度大型試題.14、【解析】

(1)先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的倍，即可得出該六面體的體積；(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達到最大,即球與六個面都相切時，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.【詳解】(1)每個三角形面積是，由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的，可求出該四面體的高為，故四面體體積為，因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是；(2)由圖形的對稱性得，小球的體積要達到最大，即球與六個面都相切時，由于圖像的對稱性，內部的小球要是體積最大，就是球要和六個面相切，連接球心和五個頂點，把六面體分成了六個三棱錐設球的半徑為，所以，所以球的體積.故答案為：；.【點睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關鍵是判斷在什么情況下，其體積達到最大，考查運算求解能力.15、【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．16、【解析】由圖可知，當直線y＝kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時，y＝kx與y＝f(x)的圖像有兩個不同交點，即方程有兩個不相同的實根．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）；（3）不能，證明見解析【解析】

（1）求出，結合導數的幾何意義即可求解；（2）構造，則原題等價于對任意恒成立，即時，，利用導數求最值即可，值得注意的是，可以通過代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調性；（3）構造并進行求導，研究單調性，結合函數零點存在性定理證明即可.【詳解】（1），，曲線在點處的切線方程為，，解得.（2）記，整理得，由題知，對任意恒成立，對任意恒成立，即時，，，解得，當時，對任意，，，，，即在單調遞增，此時，實數的取值范圍為.（3）關于的方程不可能有三個不同的實根，以下給出證明：記，，則關于的方程有三個不同的實根，等價于函數有三個零點，，當時，，記，則，在單調遞增，，即，，在單調遞增，至多有一個零點；當時，記，則，在單調遞增，即在單調遞增，至多有一個零點，則至多有兩個單調區(qū)間，至多有兩個零點.因此，不可能有三個零點.關于的方程不可能有三個不同的實根.【點睛】本題考查了導數幾何意義的應用、利用導數研究函數單調性以及函數的零點存在性定理，考查了轉化與化歸的數學思想，屬于難題.18、(1)(2)4【解析】

（1）將點P橫坐標代入拋物線中求得點P的坐標，利用點P到準線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設A、B點坐標以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數的關系，以及垂直關系，得出關系式，計算的值即可．【詳解】（1）將點P橫坐標代入中，求得，∴P（2，），，點P到準線的距離為，∴，∴，解得，∴，∴拋物線C的方程為：；（2）拋物線的焦點為F（0，1），準線方程為，；設，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，則．【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，以及拋物線與圓的方程應用問題，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．19、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，結合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再轉化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，，設平面的法向量為，由可得：，令，則，設平面的法向量為，由可得:，令，則，設二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則，，故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）（2）2【解析】

（1）轉化條件得，進而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結合三角函數的性質即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應用，考查了三角函數的性質，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）根據焦點坐標和離心率，結合橢圓中的關系，即可求得的值，進而得橢圓的標準方程.（2）設出直線的方程為，由題意可知為中點.聯立直線與橢圓方程，由韋達定理表示出，由判別式可得；由