新疆烏魯木齊地區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)理試題含解析

新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)（理）試題（卷面分值：150分；考試時(shí)間：120分鐘）第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合AB中元素范圍，再求交集即可.【詳解】，，.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得答案.【詳解】依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得，命題“，”的否定是，.故選：C.3.已知向量，若與共線，則等于（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先得出與的坐標(biāo)，由共線得出，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：易得，因?yàn)榕c共線，所以，即，所以.故選：.4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再求共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，.故選：D.5.已知直線a，b與平面α，β，γ，能使的充分條件是（）A.，， B.，C.， D.，，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間線面位置關(guān)系依次探討各選項(xiàng)即可得答案.詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，，時(shí)，也可能滿意，如圖1，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，時(shí)，也可能滿意，如圖2，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，時(shí)，肯定有，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，時(shí)，不肯定成立，如圖3，故錯(cuò)誤.故選：C6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，問(wèn)乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個(gè)人，所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，問(wèn)乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說(shuō)法正確的是（）A.乙分到37文，丁分到31文 B.乙分到40文，丁分到34文C.乙分到31文，丁分到37文 D.乙分到34文，丁分到40文【答案】A【解析】【分析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，再依據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故選：A.7.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿意，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.6 B.3 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)恒有，得到函數(shù)的周期是6，再由定義在R上的奇函數(shù)，得到，然后求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)隨意的實(shí)數(shù)，恒有，所以，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，又定義在R上的奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，，，故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知式求得，然后再由余弦的二倍角公式求值．【詳解】由，得，，，∴．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的余弦公式的二倍角公式，解題關(guān)鍵是結(jié)合已知角和未知角的關(guān)系確定選用什么公式．9.已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與在其次象限交于點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線垂直平分線段，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而得直線、的方程并聯(lián)立得，再將其代入雙曲線方程整理得，再求離心率即可.【詳解】解：由題設(shè)，漸近線，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與在其次象限交于點(diǎn)，所以，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線垂直平分線段，所以，，，所以，直線的方程為，直線的方程為，所以，聯(lián)立方程得，所以，將代入整理得，即，所以，的離心率為.故選：D10.已知函數(shù)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，借助中間量得，進(jìn)而在結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解：由得，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，由于函?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所以，由函?shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)得.故選：A11.已知函數(shù)（，）的圖象過(guò)點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi)不存在最值，則的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】先通過(guò)求出，然后求出訪取最值時(shí)的，再依據(jù)在區(qū)間內(nèi)不存在最值列不等式求解的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，,，即，又，，令，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最值，在區(qū)間內(nèi)不存在最值，，解得，當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，，又，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不存在；綜合得的取值范圍是.故選：D.12.三棱錐中，點(diǎn)A在平面BCD的射影H是△BCD的垂心，點(diǎn)D在平面ABC的射影G是△ABC的重心，，則此三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影G是的重心，連接AG延長(zhǎng)交BC于M，連接BG延長(zhǎng)交AC于N，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)證明AB=AC、AB=BC，則為等邊三角形，依據(jù)錐體體積公式表示出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出體積的最大值即可.【詳解】如圖，點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影G是的重心，連接AG延長(zhǎng)交BC于M，連接BG延長(zhǎng)交AC于N，則M、N分別為BC和AC的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫鍮CD，平面BCD，射影，又H為△的垂心，則，由平面DAH，所以平面DAH，由平面DAH，得AD.因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又平面DAG，則平面DAG，由平面DAG，得AG，所以AM，因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以AB=AC，由又平面BCD，則平面CAH，所以平面CAH，由平面CAH，得AC，由平面ABC，則平面DBG，則平面DBG，由平面DBG，得BG，所以，因?yàn)镹為AC的中點(diǎn)，所以AB=BC，則為等邊三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，則，又，所以，則，令，由得，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得，所以，即此三棱錐的體積的最大值為.故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22~23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.在的綻開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】干脆利用二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)求解的系數(shù).【詳解】的綻開(kāi)式中含的項(xiàng)為，即在的綻開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.14.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題知，進(jìn)而依據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：如圖，由題知，將代入方程得，故所以，，所以，因?yàn)椋淼?，解得（舍），所以，拋物線，準(zhǔn)線方程為：故答案為：15.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】首先證明，則，解得，再代回原函數(shù)證明函數(shù)只有唯一零點(diǎn)即可.【詳解】，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則只能是，即，解得，此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),當(dāng)時(shí),，

又，，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).故答案為：.16.已知數(shù)列滿意，若，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【詳解】由題意可得：，即：，整理可得：，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為-10，公比為的等比數(shù)列，，則：,很明顯，為偶數(shù)時(shí)可能取得最大值，由可得：，則的最大值為.點(diǎn)睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，依據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)．三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，邊所對(duì)的角分別為，，．（1）求角大?。唬?）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入中，然后再利用余弦定理求角；（2）利用正弦定理及可求出角，進(jìn)而可求出，再利用求出，最終利用面積求解即可.【小問(wèn)1詳解】，由得，即，，又，；【小問(wèn)2詳解】由正弦定理得，，，又，即，，，18.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）在線段上取點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明即可證明結(jié)論；（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可；【小問(wèn)1詳解】證明：在線段上取點(diǎn)，使得，所以，在中，，且，因?yàn)樵谒倪呅沃?，，，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】解：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，點(diǎn)在上，且，所以，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，，即，令得，由題，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，所以，所以，二面角的正弦值為.19.投資甲、乙兩種股票，每股收益的分布列如表所示：甲種股票：收益x（元）02概率0.10.30.6乙種股票：收益y（元）012概率0.30.30.4（1）假如有人向你詢問(wèn)：想投資其中一種股票，你會(huì)給出怎樣的建議呢？（2）在實(shí)際中，可以選擇適當(dāng)?shù)谋壤顿Y兩種股票，假設(shè)兩種股票的買入價(jià)都是每股1元，某人有10000元用于投資，請(qǐng)你給出一個(gè)投資方案，并說(shuō)明理由．【答案】（1）建議購(gòu)買乙種股票.（2）投資甲種股票元，乙種股票元.【解析】【分析】（1）依據(jù)期望與方差給出建議即可；（2）設(shè)投資甲種股票元，投資乙種股票元，進(jìn)而計(jì)算對(duì)應(yīng)的期望與方程，使得方差最小時(shí)即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：由題知：，，，由題可知，兩種股票的期望相同，但乙種股票的方差較小，所以，投資乙種股票相對(duì)于甲種股票更穩(wěn)妥.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)投資甲種股票元，投資乙種股票元，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小，所以，應(yīng)當(dāng)投資甲種股票元，乙種股票元，20.已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的一條弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為，，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，待定系數(shù)求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，，進(jìn)而得，再聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，二次函數(shù)最值整理求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：由題，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，因?yàn)槭墙?jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的一條弦且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，所以，，所以，，聯(lián)立方程得，所以所以，，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值21.已知在處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）是的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)隨意，都有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入得到，求出，則，解出即可.（2），，求出，則，即，故.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，，，，，由切線方程為，，，即，.【小問(wèn)2詳解】，，由已知，成立，令，所以在上單調(diào)遞減，所以,即，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，故，即，令代換有，兩邊同乘2有，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以時(shí)滿意題意，若,存在時(shí)，原式有，即與沖突,不滿意題意,所以.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）取等)；（2）取等)；（3）（取等）；（4）（取等）.選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：與曲線C：（θ為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，已知射線m：與直線l和曲線C的公共點(diǎn)分別為A，B，，當(dāng)時(shí)，求α的值．【答案】（1）直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）.【解析】【分析】（1）干脆將直線極坐標(biāo)化得，即，對(duì)曲線參數(shù)方程消去參數(shù)得，則得到其極坐標(biāo)方程；（2）由題有，化簡(jiǎn)得，再依據(jù)范圍即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】由直線得，即，直線的極坐標(biāo)方程為，由曲