新教材適用2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)練案57第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第一講分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

練案[57]第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第一講分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·四川廣安、眉山、內(nèi)江、遂寧診斷)某地環(huán)保部門(mén)召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能狀況的種數(shù)為(B)A．15 B．30C．35 D．42[解析]發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)且含甲企業(yè)的人的狀況有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20(種)；發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)且不含甲企業(yè)的人的狀況有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)．所以發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能狀況共有20＋10＝30(種)，故選B.2．(2024·遼寧省大連市模擬)把標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球分別放入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子只放一個(gè)小球，則1號(hào)球不放入1號(hào)盒子的方法共有(A)A．18種 B．9種C．6種 D．3種[解析]第一步：放1號(hào)球，有Ceq\o\al(1,3)＝3種方法；其次步：將剩余三個(gè)球分別放入剩余的三個(gè)盒子，有Aeq\o\al(3,3)＝6種方法；故符合題意的放法共有3×6＝18種．故選A.3．(2024·河南質(zhì)檢)從5名高校畢業(yè)生中選派4人到甲、乙、丙三個(gè)貧困地區(qū)支援，要求甲地區(qū)2人，乙、丙地區(qū)各一人，則不同的選派方法總數(shù)為(B)A．40 B．60C．100 D．120[解析]不同的選派方法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝60種．4．(2024·湖南株洲質(zhì)檢)由0,1,2,5四個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)是(C)A．24 B．12C．10 D．6[解析]當(dāng)個(gè)位數(shù)是0時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)＝6個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)是5時(shí)，有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4個(gè)，所以能被5整除的個(gè)數(shù)是10，故選C.5．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(B)A．243 B．252C．261 D．279[解析]由分步乘法計(jì)數(shù)原理知：用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252，故選B.6．(2024·陜西漢中質(zhì)檢)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，則分別種在不同土質(zhì)的3塊土地上，其中黃瓜必需種植．不同的種植方法共有多少種(C)A．24 B．12C．18 D．20[解析]第一步從白菜、油菜、扁豆中選出2件有Ceq\o\al(2,3)種方法，其次步將選出的3種種到不同的3塊地中有Aeq\o\al(3,3)種方法，故所求的不同的種法有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18種方法.故選C.7．假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是(D)A．48 B．18C．24 D．36[解析]第1類(lèi)，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類(lèi)，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．8．(2024·四川省自貢市診斷)從1,3,5三個(gè)數(shù)中選兩個(gè)數(shù)字，從0,2兩個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(C)A．6 B．12C．18 D．24[解析]由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種狀況：奇偶奇，偶奇奇，因此總共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)＋Aeq\o\al(2,3)＝18種．故選C.9．將“福”“祿”“壽”填入到如圖所示的4×4小方格中，每格內(nèi)只填入一個(gè)漢字，且隨意的兩個(gè)漢字即不同行也不同列，則不同的填寫(xiě)方法有(C)A.288種 B．144種C．576種 D．96種[解析]依題意可分為以下3步：(1)先從16個(gè)格子中任選一格放入第一個(gè)漢字，有16種方法；(2)隨意的兩個(gè)漢字即不同行也不同列，其次個(gè)漢字只有9個(gè)格子可以放，有9種方法；(3)第三個(gè)漢字只有4個(gè)格子可以放，有4種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的填寫(xiě)方法有16×9×4＝576(種)．10．(2024·河北省唐山市一中沖刺)某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位摯友，每位摯友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有(B)A．4種 B．10種C．18種 D．20種[解析]分兩種狀況：①選2本畫(huà)冊(cè)，2本集郵冊(cè)送給4位摯友，有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法；②選1本畫(huà)冊(cè)，3本集郵冊(cè)送給4位摯友，有Ceq\o\al(1,4)＝4種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有6＋4＝10(種)．11．(2024·江蘇宿遷市聯(lián)考)有5名學(xué)生志愿者到2個(gè)小區(qū)參與疫情防控常態(tài)化宣揚(yáng)活動(dòng)，每名學(xué)生只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少支配1名學(xué)生，則不同的支配方法為(C)A．10種 B．20種C．30種 D．40種[解析]解法一：依據(jù)題意，將5名學(xué)生志愿者支配到2個(gè)小區(qū)，每個(gè)人都有2種支配方法，則5個(gè)人有2×2×2×2×2＝32種不同的支配方法，其中5人都去1個(gè)小區(qū)的支配方法有2種，則有32－2＝30種不同的支配方法，故選C.解法二：將5名學(xué)生分成兩組有Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＝15種分法，將兩組學(xué)生支配到兩個(gè)小區(qū)有Aeq\o\al(2,2)＝2種分法，故不同的支配方法有15×2＝30種．二、多選題12．(原創(chuàng))在如圖所示的電路中，下列結(jié)論正確的是(BCD)A．電路可形成5種不同的通路B．電路可形成6種不同的通路C．使電路接通的開(kāi)關(guān)不同的閉合方式有21種D．使電路不通的開(kāi)關(guān)不同的閉合方式有11種[解析]明顯電路可形成2×3＝6種通路，A錯(cuò)誤，B正確；要使電路接通1,2至少有一個(gè)閉合且3,4,5至少有一個(gè)閉合，不同狀態(tài)有(22－1)×(23－1)＝21種，C正確；又5個(gè)開(kāi)關(guān)不同閉合狀態(tài)有25＝32種，所以使電路不通的開(kāi)關(guān)不同閉合方式有32－21＝11種，D正確．13．(原創(chuàng))下列說(shuō)法正確的是(CD)A．將4封信投入3個(gè)信箱中，共有64種不同的投法B．4只相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，共有12種不同放法C．五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有54種D．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為328[解析]4封信投入3個(gè)信箱有34＝81種不同投法，故A不正確；將4個(gè)小球放入一個(gè)盒子有3種方法，將3個(gè)小球放入一個(gè)盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6種放法，將2個(gè)小球放入一個(gè)盒子，另2小球放另一只盒子有3種放法，將2個(gè)小球放入一個(gè)盒子中，另2個(gè)小球分別放入另兩個(gè)盒子中，有3種方法，故共有15種放法，故B不正確；五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性，故C正確；個(gè)位為0的三位偶數(shù)有9×8＝72(個(gè))，個(gè)位不為0的三位偶數(shù)有4×8×8＝256(個(gè))，∴沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)有256＋72＝328(個(gè))，故D正確．故選CD.三、填空題14．(2024·上海青浦區(qū)模擬)把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先遞增后遞減，則這樣的數(shù)列共有_14__個(gè)．[解析]該數(shù)列為先增后減，則5肯定是分界點(diǎn)，且前面的依次和后面的依次都只有一種，當(dāng)5前面只有一個(gè)數(shù)時(shí)，有4種狀況，當(dāng)5前面只有2個(gè)數(shù)時(shí)，有Ceq\o\al(2,4)＝6種狀況，當(dāng)5前面有3個(gè)數(shù)時(shí)，有4種狀況，故共有4＋6＋4＝14.15．4張卡片的正、反面分別寫(xiě)有0與1,2與3,4與5,6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成_168__個(gè)不同的三位數(shù)．[解析]要組成三位數(shù)，依據(jù)首位、十位、個(gè)位應(yīng)分三步：第一步：首位可放8－1＝7個(gè)數(shù)；其次步：十位可放6個(gè)數(shù)；第三步：個(gè)位可放4個(gè)數(shù)．故由分步計(jì)數(shù)原理，得共可組成7×6×4＝168個(gè)不同的三位數(shù)．B組實(shí)力提升1．(2024·河北唐山摸底)現(xiàn)有4份不同的禮物，若將其全部分給甲、乙兩人，要求每人至少分得一份，則不同的分法共有(B)A．10種 B．14種C．20種 D．28種[解析]甲得3份乙得1份有4種方法．甲得2份乙得2份有6種方法．甲得1份乙得3份有4種方法．故不同的分法共有14種，選B.2.(2024·江西省萍鄉(xiāng)市模擬)如圖，給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)染色，要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的染色方法種數(shù)有(C)A．24種 B．48種C．96種 D．120種[解析]由表端點(diǎn)ABECD涂法432與A同色12與A不同色12知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(種)，故選C.3．(2024·江蘇南京模擬)高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必需有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的安排方案有(C)A．16種 B．18種C．37種 D．48種[解析]解法一：三個(gè)班有一個(gè)班去甲，方法數(shù)有Ceq\o\al(1,3)×32＝27；三個(gè)班有兩個(gè)班去甲，方法數(shù)有Ceq\o\al(2,3)×3＝9；三個(gè)班都去甲，方法數(shù)有1，故總的方法數(shù)為27＋9＋1＝37種，故選C.解法二：三個(gè)班到四個(gè)工廠實(shí)踐有43種方案，三個(gè)班到乙、丙、丁三個(gè)工廠實(shí)踐有33種方案，故符合題意的方案有43－33＝37種．4．(2024·江蘇泰州期末)黨的十九大報(bào)告提出“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”，要“推動(dòng)城鄉(xiāng)義務(wù)教化一體化發(fā)展”，高度重視農(nóng)村義務(wù)教化，為了響應(yīng)報(bào)告精神，某師范高校5名畢業(yè)生主動(dòng)申請(qǐng)到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作．若將這5名畢業(yè)生安排到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少安排1人最多安排2人，則安排方案的總數(shù)為_(kāi)90__.[解析]將5名畢業(yè)生按2,2,1分組，則方法有eq\f(C\o