第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（16類(lèi)題型清單）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元速記（人教A版必修第一冊(cè)）

PAGE1第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的概念一般地，設(shè)，是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．知識(shí)點(diǎn)02：求函數(shù)解析式1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等），可用待定系數(shù)法．2、換元法：主要用于解決已知這類(lèi)復(fù)合函數(shù)的解析式，求函數(shù)的解析式的問(wèn)題，在使用換元法時(shí)特別注意，換元必?fù)Q范圍.3、配湊法：由已知條件，可將改寫(xiě)成關(guān)于的表達(dá)式，4、方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。知識(shí)點(diǎn)03：函數(shù)的單調(diào)性1.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱(chēng)它是增函數(shù)(increasingfunction).1.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱(chēng)它是減函數(shù)(decreasingfunction).2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)04：函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱(chēng)是函數(shù)的最大值；2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱(chēng)是函數(shù)的最小值；知識(shí)點(diǎn)05：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）一般地，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，單調(diào)性如下表示，簡(jiǎn)記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)：：令：和增增增增減減減增減減減增知識(shí)點(diǎn)06：函數(shù)的奇偶性1、定義：1.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù).1.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù).1.3判斷函數(shù)的奇偶性：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)07一：冪函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2、冪函數(shù)的特征①中前的系數(shù)為“1”②中的底數(shù)是單個(gè)的自變量“”③中是常數(shù)知識(shí)點(diǎn)08：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：；；；；2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點(diǎn)0303題型歸納題型一函數(shù)的定義域例題1．（23-24高一上·四川樂(lè)山·期中）函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解析式有意義列式計(jì)算即可.【詳解】由題知，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：B.例題2．（23-24高一上·上?！て谀┖瘮?shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間，則函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坷贸橄蠛瘮?shù)定義域的求解方法可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間，所以，令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例題3．（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函數(shù)定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得對(duì)任意恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題意可得對(duì)任意恒成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的性質(zhì)，結(jié)合二次根式的性質(zhì)，分母不為零的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋傻煤瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，可得解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋蔬x：D．2．（23-24高二下·江蘇南京·期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用函數(shù)的定義域?yàn)?轉(zhuǎn)化為恒成立,然后通過(guò)分類(lèi)討論和兩種情況分別求得a的取值范圍，可得解.【詳解】的定義域?yàn)?，是使在?shí)數(shù)集上恒成立.若時(shí),要使恒成立,則有且,即,解得.若時(shí)，化為，恒成立，所以滿足題意，所以故答案為：.3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可得，∴函?shù)的定義域?yàn)?，令，解得，故函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：題型二求函數(shù)值域例題1．（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分離參數(shù)后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，即可結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.【詳解】由可得，由于函數(shù)，所以，故，故選：B例題2．（23-24高一上·河南平頂山·期中）已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)整理成，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】，，故，故函數(shù)值域?yàn)?故選：B例題3．（23-24高一上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坷脫Q元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)，則，，所以，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?例題4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮俊痉治觥坷梅幢壤瘮?shù)的定義域和值域都是，來(lái)求分式函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?鞏固訓(xùn)練1．（23-24高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．以上答案都不對(duì)【答案】C【分析】利用判別式可求函數(shù)的值域.【詳解】設(shè)題中函數(shù)為，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，視其為關(guān)于x的二次方程，判別式，綜上，故值域?yàn)椋蔬x：C.2．（23-24高一上·福建泉州·期中）函數(shù)，的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥繉?duì)函數(shù)解析式配方后，即可求出最小值，再考慮區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則又故函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?．（23-24高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)題意可得，可求出結(jié)果.【詳解】令，則，所以.故答案為：.4．（23-24高一上·浙江寧波·階段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是.【答案】【分析】將函數(shù)變形為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可解.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以，綜上所述，函數(shù)在上的值域是.故答案為：題型三求函數(shù)解析式例題1．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知是一次函數(shù)，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意設(shè)函數(shù)，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，，所以，，則，解得，所以.故選：D.例題2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法令求解析式即可．【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.例題3．（2024高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函數(shù)，且，求；(4)已知為二次函數(shù)，且，求；(5)定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)或(4)(5)【分析】利用配湊法、換元法、待定系數(shù)法、解方程組法求解各題，注意定義域.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）解法一（換元法）：令，，則，所以，所以.解法二（配湊法）：，因?yàn)椋?（3）設(shè)，則，所以，解得或，所以或.（4）設(shè)，則，所以，解得，所以.（5）對(duì)任意的有，由，①得，②聯(lián)立①②解得，.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·廣東江門(mén)·期中）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式利用換元法即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】令，則且，所以，因此.故選：A.2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且.求的解析式.【答案】【分析】設(shè)，利用建立恒等式求解即可.【詳解】設(shè)二次函數(shù)，因?yàn)?，所以，由，得，得，所以，得，?3．（2023高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知函數(shù)，求；（2）已知，求；（3）已知，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用換元法或配湊法求函數(shù)解析式；（2）利用配湊法求函數(shù)解析式；（3）利用方程組法求函數(shù)解析式.【詳解】（1）法一（換元法）令，∴，∴，∴．法二（配湊法），∴．（2）∵，∴．（3）∵，∴用代替得，消去得，∴函數(shù)的解析式為．題型四利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性例題1．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：在上單調(diào)遞增；(2)求在上的最大值與最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)最小值是1，最大值是【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，先任取，且，然后作差，變形判斷符號(hào)可得結(jié)論；（2）由在上遞增，可求出其最大值和最小值.【詳解】（1）證明：，且，則由，得，，所以，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最小值和最大值，即時(shí)取得最小值，最小值為，時(shí)取得最大值，最大值為.故的最小值是1，最大值是例題2．（23-24高三上·甘肅定西·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義法加以證明.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，即任取，，設(shè)，求與的大小關(guān)系.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，所以，，解得，.故的解析式為.（2）在上單調(diào)遞增.證明如下：設(shè)，，且，.因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，則，即.故在上單調(diào)遞增.例題3．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽，對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，.試判斷的單調(diào)性，并證明；【答案】在上為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明.【詳解】任取，且，因?yàn)?，，所以，故，因?yàn)?，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即，所以在上為減函數(shù).鞏固訓(xùn)練1．（24-25高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）函數(shù)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明.【答案】函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析【分析】利用單調(diào)性的定義證明，先對(duì)函數(shù)變形，然后任取，設(shè)，再對(duì)函數(shù)值作差，化簡(jiǎn)后判斷符號(hào)，即可得結(jié)論.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：函數(shù)，任取，設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，故，即，故函?shù)在上單調(diào)遞減.2．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且，試判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性.【答案】在上單調(diào)遞增【分析】由題意，設(shè)，結(jié)合和定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.3．（23-24高一上·河南安陽(yáng)·期末）已知函數(shù)，且.(1)求.(2)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù).(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析(3)最大值為，最小值為【分析】（1）由題意列式計(jì)算，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知函數(shù)，且，故，則（2）證明：由（1）知，任取且，則，因?yàn)榍?，可得，則，所以，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).（3）函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.題型五根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)例題1．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得，再由，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)?，因此，所以的取值范圍?故選：A．例題2．（23-24高一上·海南?？凇るA段練習(xí)）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形換元得到，，考慮，和三種情況，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，令，故，，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足要求，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足要求，當(dāng)，即時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到在上單調(diào)遞增，故，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C例題3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函數(shù)是減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意先分段，由單調(diào)遞減依次得，，但還需保證，由此即可求解.【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，要保證單調(diào)遞減，則還需，解得，綜上所述，a的取值范圍是.故選：A.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先判斷出在上的單調(diào)性，然后根據(jù)條件列出關(guān)于的不等式組，由此求解出的取值范圍，則正確選項(xiàng)可知.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則需滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的范圍為，所以滿足范圍的選項(xiàng)是BC，故選：BC.2．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）若函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，從而得到不等式，求出答案.【詳解】的對(duì)稱(chēng)軸為，由題意得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：3．（23-24高一上·河南·階段練習(xí)）已知在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】先將分式函數(shù)用常數(shù)分離法轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)分式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得．故答案為：題型六根據(jù)單調(diào)性解不等式例題1．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知函數(shù)為上的增函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得，即可由不等式求解.【詳解】由于為上的增函數(shù)，故由可得，因此且，解得且，故選：C例題2．（23-24高一上·山東聊城·期末）定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】求出的單調(diào)性及對(duì)稱(chēng)性，然后根據(jù)單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，再根據(jù)恒成立思想采用分離參數(shù)的方法求解出.【詳解】定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以越靠近對(duì)稱(chēng)軸函數(shù)值越小，所以由得，由于，所以，可得，即時(shí)恒成立，可得，由于在時(shí)單調(diào)遞增，，在時(shí)單調(diào)遞減，，所以恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱(chēng)性的常用結(jié)論如下（1）若函數(shù)滿足或或，則的一條對(duì)稱(chēng)軸為；（2）若函數(shù)滿足或或，則的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心.例題3．（23-24高一上·河南·期中）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件和所求的特征，考慮構(gòu)造函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)在上的單調(diào)性即可求得.【詳解】由題意，且，則將兩邊同除以，即得：，令，則可知函數(shù)在上為增函數(shù).由兩邊同除以得：，因，則得：，故得：.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查利用題設(shè)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求不等式解集.屬于較難題.解題思路是，觀察題設(shè)不等式的特征和所求不等式的聯(lián)系，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)判斷其單調(diào)性，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式求解.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·重慶·期中）若函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用單調(diào)性脫去法則求解不等式即得.【詳解】由函數(shù)在上是減函數(shù)，，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D2．（23-24高一上·遼寧阜新·階段練習(xí)）若函數(shù)單調(diào)遞增，求滿足不等式的的取值范圍為.【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式即可.【詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，所以，解得：,即.故答案為：.3．（23-24高一上·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且在區(qū)間上是增函數(shù)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】.【分析】根據(jù)已知結(jié)合單調(diào)性與定義域的定義與性質(zhì)即可得出，即可解出答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，總有成立；反之也成立，即若，則.因?yàn)?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.題型七求函數(shù)的最值例題1．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)最大值為8，最小值為【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可求證，（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）任取，，由，可得，，所以，又，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)．（2）由于函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以的最大值為8，最小值為例題2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）設(shè)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明結(jié)論；(2)若，求函數(shù)的值域．【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）

通過(guò)定義法作差判斷正負(fù)求解；（2）

由，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即可求解．【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；證明：任取，且，則因?yàn)?，所以，所以，得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增；（2）解：因?yàn)?，則，，所以，由（1）的證明過(guò)程知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，顯然，故，所以函數(shù)的值域?yàn)椋红柟逃?xùn)練1．（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)22，6【分析】（1）根據(jù)解析式可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義即可證明；（2）判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明：設(shè)，且，則，因?yàn)椋?，故，，故，即，故函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故.2．（23-24高一上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)在單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)最大值為，最小值為【分析】（1）先轉(zhuǎn)化，判斷其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增.定義法證明如下：任取，，則，，所以，故在單調(diào)遞增.（2）由（1）得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.題型八根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)例題1．（23-24高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）定義一種運(yùn)算，設(shè)（為常數(shù)，且，則使函數(shù)的最大值為4的的值可以是（

）A．或4 B．6 C．4或6 D．【答案】A【分析】根據(jù)定義，先計(jì)算在上的最大值，然后利用條件函數(shù)最大值為，確定的取值即可．【詳解】在上的最大值為，所以由，解得或，所以時(shí)，，所以要使函數(shù)最大值為4，則根據(jù)定義可知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)解得，符合題意；故或.故選：A例題2．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）二次函數(shù)的最大值是3，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，然后再根據(jù)二次函數(shù)的最大值可求出的值．【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)有最大值，所以．又二次函數(shù)的最大值為，由題意得或，因?yàn)?，所以故選：A.例題3．（23-24高一上·浙江紹興·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最小值為0，求的值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)或【分析】（1）寫(xiě)出分段函數(shù)形式，畫(huà)出其圖象，數(shù)形結(jié)合得到單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和圖象，表達(dá)出在上的最小值，得到方程，求出的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出函數(shù)圖象，如下：

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上的最小值為，令，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為，令，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，此時(shí)圖象如下：

函數(shù)在上的最小值為或，當(dāng)，解得（負(fù)值舍去），符合題意；當(dāng)，即，，符合題意；綜上，或.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)，的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)反比例型函數(shù)分離常數(shù)，由時(shí)的最小值為得到n，求出m范圍.【詳解】由，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，所以時(shí)，，所以，易知反比例型函數(shù)在單調(diào)遞減.所以在處取到的最小值為，即，所以.故選：D2．（23-24高一上·湖北荊州·期中）已知函數(shù)在上的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性討論最值取值情況即可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，得（舍去），當(dāng)時(shí)，，得，綜上，實(shí)數(shù)的值是.故答案為：.3．（23-24高一上·浙江溫州·期中）設(shè)函數(shù)，存在最大值，則的取值范圍是.【答案】【分析】對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及最大值求得的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此不存在最大值；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)存在最大值；③當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，于是時(shí)函數(shù)存在最大值.又，解得；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)故當(dāng)，解得，又，故；綜上，的取值范圍是時(shí)函數(shù)存在最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)進(jìn)行求解，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的制定，可以根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行制定，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要做到不重不漏.題型九函數(shù)圖象問(wèn)題例題1．（23-24高一上·黑龍江大慶·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判斷其單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間，結(jié)合特殊點(diǎn)，可得答案.【詳解】由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在的單調(diào)遞增，故排除BC；當(dāng)時(shí)，，故排除A，則D正確.故選：D.例題2．（23-24高三上·河北保定·期末）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合基本不等式判斷函數(shù)在的最值，再結(jié)合圖像判斷.【詳解】時(shí)，恒成立，故C錯(cuò)誤；且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故在有最大值2，故B、D錯(cuò)誤；故選：A.例題3．（23-24高一上·新疆昌吉·期中）已知為二次函數(shù)，且滿足，．

(1)求函數(shù)的解析式，求函數(shù)在[0,5]上的最小值；(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖象；【答案】(1),最小值為(2)見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)函數(shù)的解析式為，，根據(jù)題意，列出方程組，求得，，的值，即可；（2）令，求得或，保留軸上方的函數(shù)圖象不變，將軸下方的函數(shù)圖象翻折至上方，即可．【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的解析式為，，因?yàn)椋?，所以，解得，所以，?duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)時(shí)，，（2）由（1）知，令，則，解得或，所以函數(shù)的圖象如圖所示：

鞏固訓(xùn)練1．（23-24高三上·江西·期中）函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分，和三種情況討論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)A滿足；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，其中為對(duì)勾函數(shù)的一部分，此時(shí)D滿足；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為對(duì)勾函數(shù)的一部分；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)B滿足；故選：C2．（多選）（22-23高一上·廣東東莞·期中）函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)取不同類(lèi)型的值,結(jié)合函數(shù)的圖象以及性質(zhì)分類(lèi)討論即可.【詳解】時(shí),,圖象為A,故A正確;時(shí),,當(dāng)時(shí),由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),且,圖象為D,故D正確;時(shí),,當(dāng)時(shí),函數(shù)為增函數(shù),且,當(dāng)時(shí),由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,且圖象在第三象限,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,且圖象在第二象限,,圖象為C,故C正確;故選:ACD.3．（23-24高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)在區(qū)間上的值域（直接寫(xiě)值域，不要過(guò)程）.

【答案】(1)函數(shù)圖象見(jiàn)解析(2)單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，；【分析】（1）根據(jù)給定的分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象即可.（2）借助圖象得到的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性求出在區(qū)間上的值域即可.【詳解】（1）函數(shù)在上的圖象是直線在的部分，在上的圖象是拋物線在的部分，在上的圖象是直線在的部分，函數(shù)的圖象如圖，

（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，而，，，，因此，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?題型十判斷函數(shù)的奇偶性例題1．（23-24高一上·河北石家莊·期中）下列函數(shù)中的奇函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意.故選：B.例題2．（多選）（23-24高一上·廣西南寧·期中）給定四個(gè)函數(shù)，其中是奇函數(shù)的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】應(yīng)用奇偶性定義判斷各函數(shù)的奇偶性，即得答案.【詳解】由且定義域?yàn)镽，則為奇函數(shù)，A對(duì)；由且定義域?yàn)椋瑒t為奇函數(shù)，B對(duì)；由，顯然不為奇函數(shù)，C錯(cuò)；由，顯然不為奇函數(shù)，D錯(cuò).故選：AB例題3．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)；(2)；(3)【答案】(1)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【分析】（1）（2）（3）根據(jù)函數(shù)的定義域及函數(shù)奇偶性的定義判斷．【詳解】（1）∵的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，①當(dāng)時(shí)，，∴是奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)變形為，此時(shí)，∴且，∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．綜上可知，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（3），∵的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶函數(shù)定義逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，不是偶函數(shù)，D不是.故選：C2．（多選）（21-22高一上·新疆阿克蘇·期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用奇偶性定義判斷各函數(shù)的奇偶性即可.【詳解】A：，不為奇函數(shù)；B：且定義域?yàn)?，為奇函?shù)；C：且定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)；D：，不為奇函數(shù).故選：BC3．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)；(2)【答案】(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)【分析】（1）（2）根據(jù)定義即可判斷函數(shù)的奇偶性.【詳解】（1）由題意，在中，定義域?yàn)?，，∴是偶函?shù).（2）由題意，在中，定義域?yàn)?，，∴是奇函?shù).題型十一由函數(shù)的奇偶性求解析式例題1．（23-24高一上·北京·期中）函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，所以，設(shè)，則，所以，又，所以，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為.故答案為：；例題2．（23-24高一上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)的遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，【分析】（1）設(shè)，得到，代入時(shí)的解析式化簡(jiǎn)可得時(shí)的解析式，又定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有，所以分段函數(shù)的解析式可求；（2）利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)及與軸的交點(diǎn)作出簡(jiǎn)圖，然后由圖象得單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，；又函數(shù)是上的奇函數(shù)，的解析式為：；（2）函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)的圖象可知，的遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，例題3．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；(2)求出的解析式.【答案】(1)圖象見(jiàn)解析；增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)【分析】（1）先作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得出該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）設(shè)，可得出，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，可得出函數(shù)在上的解析式，進(jìn)而可得出該函數(shù)在上的解析式.【詳解】（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象知，增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）設(shè)，則，則.因此，時(shí)，，所以函數(shù)在上的解析式為.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為．【答案】【分析】利用奇函數(shù)的定義計(jì)算即可得答案.【詳解】函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.2．（23-24高一下·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．【答案】(1)；(2)最小值為，最大值為．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，時(shí)，由即可得解；（2）由配方法求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可.【詳解】（1）依題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又是奇函數(shù)，，∴的解析式為．（2）依題意可知當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，所以在區(qū)間上的最小值和最大值分別為和．3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示：(1)請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求出函數(shù)在上的解析式．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)和(3)【分析】（1）利用偶函數(shù)的關(guān)于圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，即可作出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖像寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間即可；（3）利用時(shí)，，求得，再根據(jù)偶函數(shù)即可求解.【詳解】（1）如圖所示:（2）結(jié)合圖象可得：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（3）當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，故函數(shù)在上的解析式為.題型十二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例題1．（2024·河南開(kāi)封·二模）若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，則，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，符合題意.所以.故選：C例題2．（23-24高一上·遼寧阜新·期中）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用偶函數(shù)的定義可計(jì)算的值，再根據(jù)解析式計(jì)算函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以且，則，所以，則.故選：D．例題3．（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式組，解之即可.【詳解】因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，可得對(duì)任意的恒成立，故，解得.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·北京·期中）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】由奇函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性求得，由奇函數(shù)的性質(zhì)求得，然后求值．【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，，，，所以，故，所以.故選：B．2．（23-24高一上·吉林延邊·期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則【答案】-24【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出，利用，求出，最后代值即可.【詳解】是定義在的奇函數(shù)，，即，，且，解得，或當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，合題意，，.故答案為：.3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性以及二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性分析求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，若是偶函數(shù)，可知關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則，解得.故答案為：.題型十三分段函數(shù)問(wèn)題例題1．（23-24高一上·福建三明·期末）函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值是（

）A．3 B． C．3或 D．5或【答案】D【分析】對(duì)于求解與分段函數(shù)有關(guān)的方程時(shí)，應(yīng)分段考慮再合并.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；即實(shí)數(shù)的取值是5或.故選：D.例題2．（2024·四川樂(lè)山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題，分，兩種情況討論求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，所以，的取值范圍是故選：D例題3．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）函數(shù)，若是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】.【分析】分段函數(shù)在上的單調(diào)遞增，只需要保證第一段和第二段都是遞增的，而且在臨界值時(shí)左端要小于或等于右端；即要保證：二次函數(shù)在時(shí)遞增則對(duì)稱(chēng)軸大于等于1：即，一次函數(shù)遞增則要求;再需要保證當(dāng)時(shí)便可求出的范圍.【詳解】因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以,解得，取交集得的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)在上的函數(shù)單調(diào)性，特別要注意臨界位置的大小關(guān)系，很多學(xué)生容易忽略這點(diǎn).例題4．（23-24高一上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若的值域是R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可得當(dāng)時(shí)，，然后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)討論當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域，然后根據(jù)整個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，列出不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)，即時(shí)，，要使函數(shù)的值域是R，則有，解得或，②當(dāng)，即時(shí)，，要使函數(shù)的值域是R，則有，解得，結(jié)合，所以；綜合①②得或，故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出，分與兩種情況，解不等式，求出解集.【詳解】，故，當(dāng)時(shí)，有，解得或，即，或；當(dāng)時(shí)，，解得，即；綜上，不等式的解集是；故選：B．2．（23-24高一上·山東日照·期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】3【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分別在和范圍內(nèi)求出使時(shí)實(shí)數(shù)的值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，，解得或（舍），所以實(shí)數(shù)的值為3，故答案為：3.3．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先考慮各部分函數(shù)的單調(diào)性，然后分析兩段函數(shù)在處的函數(shù)值的大小關(guān)系，從而求解出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上遞減，所以對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)時(shí)，在上遞減，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，綜上可知：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知分段函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍時(shí)，不僅要考慮到每一段函數(shù)的單調(diào)性還需要分析分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系.4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】先利用基本不等式求得當(dāng)時(shí)的最小值，由恒成立，得代入數(shù)值即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，函數(shù)，若恒成立，則，即，解得，故答案為：.題型十四函數(shù)不等式（有解）恒成立問(wèn)題例題1．（23-24高三上·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知函數(shù)，對(duì)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)，可得，對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)，對(duì)都有成立，即對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，設(shè)，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A例題2．（23-24高一上·四川成都·期中）命題，若是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】得到為真命題，只需，，求出的單調(diào)性，得到，得到答案.【詳解】若是假命題，則為真命題，故，只需，其中，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，故，所以，故答案為：例題3．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集；（2）由參變量分離法可知，，使得，令，可得出，利用單調(diào)性求出函數(shù)上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，由可得，解得或，故當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.（2）解：因?yàn)?，使得，因?yàn)椋瑒t，令，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一上·河北滄州·期中）若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】分離參數(shù)后，根據(jù)不等式能成立，轉(zhuǎn)化為利用對(duì)勾函數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】存在，使得不等式成立，則存在，使成立，即時(shí)，，令，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，故，故答案為：2．（2024高二下·浙江杭州·學(xué)業(yè)考試）對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】將原問(wèn)題條件等價(jià)轉(zhuǎn)換為對(duì)任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可.【詳解】由題意對(duì)任意恒成立，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（23-24高一上·上海青浦·期末）若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題意可得對(duì)任意的恒成立，故只需，結(jié)合基本不等式求解即可，注意取等條件.【詳解】由題意對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，故只需，而由基本不等式可得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型十五冪函數(shù)問(wèn)題例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或1 B．或2 C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C.例題2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知命題：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，命題：，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意可得命題：，由是的充分不必要條件，可得是的真子集，即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：，又因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則是的真子集，即的取值范圍是故答案為：例題3．（23-24高一下·上海寶山·期末）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求此冪函數(shù)的表達(dá)式和定義域；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義借助待定系數(shù)法計(jì)算即可得其解析式，計(jì)算即可得其定義域；（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與定義域要求計(jì)算即可得.【詳解】（1）設(shè)，則有，解得，故，即，則其定義域?yàn)?；?）由，則在上單調(diào)遞減，故有，即，即.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二下·浙江·期中）冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在上是減函數(shù)，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，確定得到取值，再回代函數(shù)確定函數(shù)的奇偶性，即可求解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得：，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故舍去，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故舍去，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故舍去，所以.故選：A2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù)則不等式的解集為.【答案】【分析】由函數(shù)解析式可得在上單調(diào)遞增，令，不等式為變?yōu)椋脝握{(diào)性可得不等式的解集.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞增.設(shè)，可得在上單調(diào)遞增.又，所以原不等式可化為，所以原不等式的解集為.故答案為：.3．（23-24高一上·廣東·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義，結(jié)合性質(zhì)求出即可得解.（2）根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】（1）由為冪函數(shù)，得，得或，而為偶函數(shù)，則，所以的解析式為.（2）由為偶函數(shù)且，得，即或，所以或.題型十六函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例題1．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，不等式的解集是.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)不等式的解集，可得對(duì)應(yīng)方程的解，進(jìn)而可得參數(shù)值及函數(shù)解析式；（2）方法一：分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得最值及參數(shù)范圍；方法二：結(jié)合二次函數(shù)的最值情況分情況討論可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧?，則的兩根是和，由根于系數(shù)關(guān)系可得，解得，所以；（2）方法一：關(guān)于的不等式在上有解，等價(jià)于，使得，則，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，，所以，故的取值范圍是；方法二：由題知，即關(guān)于的不等式在上有解，令，等價(jià)于在區(qū)間上的最小值，圖象的對(duì)稱(chēng)軸是，根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間位置關(guān)系可知，①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)的最小值，則，解得；②當(dāng)，即時(shí)，的最小值，此時(shí)恒成立，所以得；③當(dāng)，即時(shí)，，則由，解得；綜上所述，的取值范圍是.例題2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求滿足的的范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及先求出、的值即可求得函數(shù)的解析式，再進(jìn)行驗(yàn)證即可.（2）依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)將不等式變形為，再結(jié)合單調(diào)性和定義域即可求解.