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山西省新絳汾河中學(xué)2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-32.對(duì)于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.43.如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn),線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長(zhǎng)為()A.4 B. C.2 D.4.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.5.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,7.在中所對(duì)的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.8.已知數(shù)列對(duì)任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.9.以下三個(gè)命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;③對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說,越小,判斷“與有關(guān)系”的把握越大;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.010.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn)(設(shè)點(diǎn)位于第一象限),過點(diǎn),分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為點(diǎn),,拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn),若,則直線的斜率為A.1 B. C. D.11.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要12.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為等差數(shù)列,為其前n項(xiàng)和,若,,則_______.14.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的實(shí)部為____________.15.已知向量,,則______.16.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則?U(A∪B)=________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè),,其中.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)對(duì),證明:恒為定值.18.(12分)已知數(shù)列滿足:,,且對(duì)任意的都有,(Ⅰ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅱ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅲ)證明:.19.(12分)已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,左右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn),且當(dāng)時(shí),.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,過點(diǎn)作垂直于軸,垂足為,連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn).(?。┣竺娣e最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+).(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求△MON的面積.21.(12分)已知?jiǎng)訄AE與圓外切,并與直線相切,記動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過點(diǎn)的直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),若曲線C上存在點(diǎn)P使得,求直線l的斜率k的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.2、C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長(zhǎng)可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.4、A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的補(bǔ)集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.6、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

觀察已知條件,對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn),運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時(shí)相加得,又因?yàn)?,所?故選:【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值,運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法,遇到形如時(shí)就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運(yùn)用對(duì)應(yīng)方法求解.9、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),可判斷②;根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無明顯差異,故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0;故②為真命題;③對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說,越小,“與有關(guān)系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)拋物線定義,可得,,又,所以,所以,設(shè),則,則,所以,所以直線的斜率.故選C.11、B【解析】

由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當(dāng)時(shí),存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.12、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】試題分析:因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以,即,又,所以,所以.故答案為1.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】在等差數(shù)列五個(gè)基本量,,,,中,已知其中三個(gè)量,可以根據(jù)已知條件,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個(gè)量,計(jì)算時(shí)須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.14、【解析】

利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得到答案.【詳解】,所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為2.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、【解析】

求出,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方,利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算.【詳解】由題意得,.,.,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算.16、{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},則?U(A∪B)={5}.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1(2)1【解析】分析:(1)當(dāng)時(shí)可得,可得.(2)先得到關(guān)系式,累乘可得,從而可得,即為定值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒為定值1.點(diǎn)睛:本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算,解題時(shí)要注意所給出的的定義,并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由于運(yùn)算量較大,解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性,避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.18、(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】分析:(1)用反證法證明,注意應(yīng)用題中所給的條件,有效利用,再者就是注意應(yīng)用反證法證題的步驟;(2)將式子進(jìn)行相應(yīng)的代換,結(jié)合不等式的性質(zhì)證得結(jié)果;(3)結(jié)合題中的條件,應(yīng)用反證法求得結(jié)果.詳解:證明:(Ⅰ)證明:采用反證法,若不成立,則若,則,與任意的都有矛盾;若,則有,則與任意的都有矛盾;故對(duì)任意,都有成立;(Ⅱ)由得,則,由(Ⅰ)知,,即對(duì)任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,則,取時(shí),有,與矛盾.則.得證.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)命題的證明問題,在證題的過程中,注意對(duì)題中的條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化,注意對(duì)式子的等價(jià)變形,以及證題的思路,要掌握證明問題的方法,尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.19、(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)證明見解析.【解析】

(1)由,解方程組即可得到答案;(2)(?。┰O(shè),,則,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)設(shè)直線斜率為,直線方程為,聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可.【詳解】(1)設(shè),由,得.將代入,得,即,由,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,則,(?。┮字獮榈闹形痪€,所以,所以,又滿足,所以,得,故,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),所以面積最大值為.(ⅱ)記直線斜率為,則直線斜率為,所以直線方程為.由,得,由韋達(dá)定理得,所以,代入直線方程,得,于是,直線斜率,所以直線與斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及到橢圓中的最值及定值問題,在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時(shí),一般會(huì)用到根與系數(shù)的關(guān)系,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,是一道有一定難度的題.20、(1)直線l的普通方程為x+y-4=0.曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓:(x-)2+(y-1)2=4.(2)4【解析】

(1)將直線l參數(shù)方程中的消去,即可得直線l的普通方程,對(duì)曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以,利用可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)求出點(diǎn)到直線的距離,再求出的弦長(zhǎng),從而得出△MON的面積.【詳解】解:(1)由題意有,得,x+y=4,直線l的普通方程為x+y-4=0.因?yàn)棣眩?sin所以ρ=2sinθ+2cosθ,兩邊同時(shí)乘以得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,因?yàn)椋詘2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓:(x-)2+(y-1)2=4.(2)∵原點(diǎn)O到直線l的距離直線l過圓C的圓心(,1),∴|MN|=2r=4,所以△MON的面積S=|MN|×d=4.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確使用這一轉(zhuǎn)化公式,還考查了直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí).21、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合已知條件,即可容易求得結(jié)果;(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立拋物線方程,根據(jù)直線與拋物線相交則,結(jié)合由得到的斜率關(guān)系,即可求得斜率的范圍.【詳解】(1)因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切,并與直線相切,所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離大.因?yàn)閳A的半徑為,所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離,所以圓心的軌跡為拋物線,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為.所以曲線的方程.(2)設(shè),,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線定義求拋物線方程,涉及直線與拋物線相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍,屬綜合中檔題.22、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),并且解出它的零點(diǎn)x=,再分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)分三種情況加以討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較,即可得到當(dāng)0<a<ln2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是-a;當(dāng)a≥ln2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是ln2-2a.【詳解】函數(shù)的定義域

為.

因?yàn)?,令,可得?/p>

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,綜上所述:可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減

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