直線與圓專題復(fù)習(xí)第18講 曼哈頓距離、切比雪夫距離問題、直角距離問題 訓(xùn)練題集【學(xué)生版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2第18講曼哈頓距離、切比雪夫距離問題、直角距離問題一.選擇題(共7小題)1.(2021?濟(jì)寧二模)“曼哈頓距離”是由赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語,例如在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),、,的曼哈頓距離為：.若點(diǎn),點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最大值為A. B. C. D.2.(2021?萬州區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”記作,給出下列四個(gè)命題：①對任意三點(diǎn),,,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形.其中真命題的是A.①② B.②③ C.①③ D.①②③3.(2021?金山區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.34.(2021?浦東新區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則③定義,動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成平面圖形的面積是4.其中真命題的個(gè)數(shù)A.0 B.1 C.2 D.35.(2021?重慶模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),,,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.其中正確的命題有A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)6.(2021?浦東新區(qū)校級月考)在平面直線坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”記作,給出下列四個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等點(diǎn)的軌跡是正方形；④定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)是A.4 B.3 C.2 D.17.(2021?崇明縣二模)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn)、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)；其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3二.多選題(共2小題)8.(2021?沙坪壩區(qū)校級模擬)曼哈頓距離(或出租車幾何)是由十九世紀(jì)的赫爾曼.閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語.例如,在平面上,點(diǎn),和點(diǎn),的曼哈頓距離為：.若點(diǎn),為圓上一動(dòng)點(diǎn),,為直線上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)為,兩點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值,則的可能取值有A.1 B.2 C.3 D.49.(2021?鼓樓區(qū)校級期中)“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)辭匯,定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn),,的曼哈頓距離為：.在此定義下以下結(jié)論正確的是A.已知點(diǎn),滿足的點(diǎn)軌跡圍成的圖形面積為2 B.已知點(diǎn),,滿足,,的點(diǎn)軌跡的形狀為六邊形C.已知點(diǎn),,不存在動(dòng)點(diǎn)滿足方程：,, D.已知點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在直線上,則、的最小值為三.填空題(共7小題)10.(2021?浦東新區(qū)校級期末)定義兩點(diǎn),,,的曼哈頓距離為,若表示到點(diǎn)、的曼哈頓距離相等的所有點(diǎn)的集合,其中,,,則點(diǎn)集與坐標(biāo)軸及直線所圍成的圖形的面積為.11.(2013?寶山區(qū)一模)設(shè),,,是平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn),定義點(diǎn)到點(diǎn)的曼哈頓距離.若點(diǎn),在上,則的最小值為.12.(2017秋?浦東新區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出四個(gè)命題,正確的是①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形；③已知點(diǎn)和直線,則；④定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).13.(2015秋?九江校級月考)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,,為兩點(diǎn),,,的“切比雪夫距離”,則點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.14.(2021?南平模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,、,兩點(diǎn)間的直角距離為,如圖是圓當(dāng)時(shí)的一段弧,是與軸的交點(diǎn),將依次以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)五次,得到由六段圓弧構(gòu)成的曲線.則.若點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn),則的最大值為.15.(2021?碑林區(qū)校級模擬)在直角坐標(biāo)系中,定義兩點(diǎn),與,之間的“直角距離”為.若,是橢圓上任意兩點(diǎn),則的最大值是.16.(2021?鏡湖區(qū)校級期中)定義點(diǎn),,,之間的“直角距離”為,若點(diǎn)到點(diǎn)的“直角距離”等于2,其中,滿足,,則所有滿足條件的點(diǎn)的軌跡的長度之和為.四.解答題(共7小題)17.(2021春?寶山區(qū)校級期末)在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn),、,的“曼哈頓距離”定義為,記為,如點(diǎn)、的“曼哈頓距離”為9,記為.(1)點(diǎn),是滿足的動(dòng)點(diǎn)的集合,求點(diǎn)集所占區(qū)域的面積；(2)動(dòng)點(diǎn)在直線上,動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上,求的最小值；(3)動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,點(diǎn),的最大值記為,請選擇下列二問中的一問,做出解答：①求證：不存在實(shí)數(shù)、,使；②求的最小值.18.(2021?嘉定區(qū)期中)設(shè)在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn),,,,它們之間的距離有一個(gè)新的定義為,這樣的距離在數(shù)學(xué)上稱為曼哈頓距離或絕對值距離；在初中時(shí)我們學(xué)過的兩點(diǎn)之間的距離公式是,這樣的距離稱為是歐幾里得距離(簡稱歐式距離)或直線距離.(1)已知,兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,如果它們之間的曼哈頓距離不大于3,那么的取值范圍是多少？(2)已知,兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,如果它們之間的曼哈頓距離要恒大于2,那么的取值范圍是多少？(3)已知三個(gè)點(diǎn),,,,,,在平面幾何的知識中,很容易的能夠證明與,與的歐氏距離之和不小于和的歐氏距離,那么這三個(gè)點(diǎn)之間的曼哈頓距離是否有類似的共同的結(jié)論？如果有,請給出證明；若果沒有,請說明理由.19.(2021?楊浦區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),對于任意兩點(diǎn),,,,定義它們之間的“曼哈頓距離”為.(1)求線段上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“曼哈頓距離”；(2)求所有到定點(diǎn)的“曼哈頓距離”均為2的動(dòng)點(diǎn)圍成的圖形的周長；(3)眾所周知,對于“歐幾里得距離”,有如下三個(gè)正確的結(jié)論：①對于平面上任意三點(diǎn),,,都有；②對于平面上不在同一直線上的任意三點(diǎn),,,若,則是以為直角的直角三角形；③對于平面上兩個(gè)不同的定點(diǎn),,若動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；上述結(jié)論對于“曼哈頓距離”是否依然正確？說明理由.20.(2021?東莞市期末)對于一個(gè)具有正南正北、正東正西方向規(guī)則布局的城鎮(zhèn)街道,從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的距離是在南北方向上行進(jìn)的距離加上在東西方向上行進(jìn)的距離,這種距離即“曼哈頓距離”,也叫“出租車距離”.對于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),和,,兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”,.(1)如圖6,若為坐標(biāo)原點(diǎn),,兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為和,求,,；(2)若點(diǎn)滿足,試在圖中畫出點(diǎn)的軌跡,并求該軌跡所圍成圖形的面積；(3)已知函數(shù),,,試在圖象上找一點(diǎn),使得最小,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).21.(2021春?西城區(qū)校級期末)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),,,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及直線上任一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作.(1)已知點(diǎn)和直線,求；(2)求證：對任意三點(diǎn),,,都有,,,；(3)定點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,,請求出點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積.22.(2021?浦東新區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及直線上任一點(diǎn)稱,稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作.(