江蘇省泰州市姜堰二中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2江蘇省姜堰第二中學(xué)2020－2021學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則點(diǎn)F到直線l的距離為（）A． B．1 C．2 D．42．已知向量，，且，其中，則（）A．4 B．-4 C．2 D．-23．若，則的值為（）A．3 B． C．-3 D．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線T的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，圓C經(jīng)過(guò)A，B，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A． B．C． D．6．如圖，已知圓柱的底面半徑為2，與圓柱底面成角的平面截這個(gè)圓柱得到一個(gè)橢圓，則該橢圓的焦距為（）A． B． C． D．7．如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)O，，，，，則線段AO的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在雙曲線C上．若四邊形OFMN為菱形，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．9．已知兩個(gè)不重合的平面，及直線m，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓上．若為直角三角形，則的長(zhǎng)度可以為（）A．1 B．2 C．3 D．411．如圖，直線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若x，y分別表示點(diǎn)P到，的距離，則稱(chēng)為點(diǎn)P的“距離坐標(biāo)”．下列說(shuō)法正確的是（）A．距離坐標(biāo)為的點(diǎn)有1個(gè) B．距離坐標(biāo)為的點(diǎn)有2個(gè)C．距離坐標(biāo)為的點(diǎn)有4個(gè) D．距離坐標(biāo)為的點(diǎn)在一條直線上12．20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過(guò)石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人工合成金剛石．人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及它們的過(guò)渡形態(tài)．其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個(gè)頂點(diǎn)、14個(gè)面（6個(gè)正方形、8個(gè)正三角形），它是將立方體“切”去8個(gè)“角”后得到的幾何體．已知一個(gè)立方八面體的棱長(zhǎng)為1，則（）A．它的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且該球的直徑為2B．它的任意兩條不共面的棱所在直線都相互垂直C．它的體積為D．它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等三、填空題：本大題共4小題．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線和直線，．若與平行，則與之間的距離為_(kāi)_______．14．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)，，滿足，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．15．詞語(yǔ)“塹堵”、“陽(yáng)馬”、“鱉臑”等出自中國(guó)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》，是古代人對(duì)一些特殊錐體的稱(chēng)呼．在《九章算術(shù)·商功》中，把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉臑”．現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中平面ABC，，，則四面體PABC的外接球的表面積為_(kāi)_______．16．早在一千多年之前，我國(guó)已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對(duì)橋身的沖擊．現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個(gè)溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個(gè)溢流孔輪廓線相同．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所在拋物線的方程為_(kāi)_______，溢流孔與橋拱交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______．四、解答題：本大題共6小題．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．在①；②；③的面積三個(gè)條件中任選一個(gè)（填序號(hào)），補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，________，D是邊BC上的一點(diǎn)，，且，，求線段AD的長(zhǎng)．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，動(dòng)圓M與直線相切且與圓F外切．（1）記圓心M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）已知，曲線C上一點(diǎn)P滿足，求的大?。?9．如圖，在直三棱柱中，D為AC中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，且，求三棱錐的體積．20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，點(diǎn)A，B是直線與圓O的兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)C在圓O上．（1）若為正三角形，求直線AB的方程；（2）若直線上存在點(diǎn)P滿足，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．21．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，，．（1）若，求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的距離為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)．若橢圓上存在點(diǎn)N滿足，求證：的面積S為定值．2020－2021學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)參考答案2020.11一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14． 15．16．，四、解答題：本大題共6小題，共70分．17．（本小題滿分10分）解：選①．由條件①，在中，，所以，即，從而．因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以，所以．因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以．在中，因?yàn)?，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因?yàn)?，所以．選②．由條件②，結(jié)合余弦定理得，即，所以，因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以．在中，因?yàn)?，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因?yàn)?，所以．選③．由條件③，的面積，得，即，因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以，從而，所以，所以．在中，因?yàn)?，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因?yàn)?，所以．另解：（略）在中，因?yàn)?，，由余弦定理得，所以．由正弦定理得，則，又B為銳角，所以，則．在中，因?yàn)椋裕?8．（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)，圓M的半徑為r．由題意知，，M到直線l的距離為r．方法一：點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于M到定直線的距離，根據(jù)拋物線的定義知，曲線C是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線．故曲線C的方程為．方法二：因?yàn)?，，，所以，化?jiǎn)得，故曲線C的方程為．（2）方法一：設(shè)，由，得，又，解得，故，所以，從而．方法二：過(guò)點(diǎn)P向直線作垂線，垂足為Q．由拋物線定義知，，所以，在中，因?yàn)?，所以，從而，故?9．（本小題滿分12分）（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)O，連結(jié)OD．在三棱柱中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以O(shè)為中點(diǎn)．又因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，所以O(shè)D為的中位線，所以．又因?yàn)槠矫?，OD平面，所以平面．（2）解：方法一：三棱錐的體積就是三棱錐的體積．過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E．在直三棱柱中，平面ABC．因?yàn)槠矫鍭BC，所以．又因?yàn)?，且，BC平面，，所以平面，即DE為三棱錐的高．在中，，，且，所以，，在中，，所以．又的面積，所以三棱錐的體積，故三棱錐的體積等于3．方法二：三棱錐的體積就是三棱錐的體積．因?yàn)椋?）中已證面，所以到平面的距離等于A到平面的距離．因此三棱錐的體積等于三棱錐的體積，即等于三棱錐的體積．在直三棱柱中，平面ABC，所以為三棱錐的高．因?yàn)?，，且，．因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以的面積．故三棱錐的體積，即三棱錐的體積等于3．20．（本小題滿分12分）解：（1）由為正三角形，得，所以，所以原點(diǎn)O到直線AB的距離．由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得或．所以直線AB的方程為或．（2）方法一：設(shè)，，．因?yàn)?，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．記該圓圓心為，則是方程組的解，解得故以AB為直徑的圓的方程為，其中．又點(diǎn)P在直線上，即直線與圓有公共點(diǎn)，所以，即．解得．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．方法二：設(shè)，．聯(lián)立直線AB與圓O方程，得消去y得．①所以，是①的兩個(gè)解，判別式，即，且，．設(shè)點(diǎn)，則，．由，，②將，，代入②，整理得．又，，所以，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，因此，即，解得．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．21．（本小題滿分12分）解：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，，平面平面，PA平面PAB，所以平面ABCD．因?yàn)锳D平面ABCD，所以．又，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，，所?，，，，（1）若，即E為PC中點(diǎn)，則，所以，，．設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為，則即令，得，所以平面ABE的一個(gè)法向量為．設(shè)直線DE與平面ABE所成角為，則．（2）因?yàn)?，則．設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為，則即令，得，所以平面ABE的一個(gè)法向量為．設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，則即令，得，所以平面AEC的一個(gè)向量為．（或證明平面PAC，從而為平面PAC的一個(gè)法向量）因?yàn)槎娼堑拇笮?，且，得，整理得，解得，或（舍）．所以?2．（本小題滿分12分）解：（1）橢