江蘇省泰州市姜堰二中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2江蘇省姜堰第二中學(xué)2020－2021學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，則點F到直線l的距離為（）A． B．1 C．2 D．42．已知向量，，且，其中，則（）A．4 B．-4 C．2 D．-23．若，則的值為（）A．3 B． C．-3 D．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若橢圓與雙曲線有相同的焦點，則雙曲線T的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與兩坐標(biāo)軸分別交于點A，B，圓C經(jīng)過A，B，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A． B．C． D．6．如圖，已知圓柱的底面半徑為2，與圓柱底面成角的平面截這個圓柱得到一個橢圓，則該橢圓的焦距為（）A． B． C． D．7．如圖，在三棱柱中，與相交于點O，，，，，則線段AO的長度為（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左焦點為F，點M，N在雙曲線C上．若四邊形OFMN為菱形，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．9．已知兩個不重合的平面，及直線m，下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，分別為橢圓的左、右焦點，點A在橢圓上．若為直角三角形，則的長度可以為（）A．1 B．2 C．3 D．411．如圖，直線，相交于點O，點P是平面內(nèi)的任意一點，若x，y分別表示點P到，的距離，則稱為點P的“距離坐標(biāo)”．下列說法正確的是（）A．距離坐標(biāo)為的點有1個 B．距離坐標(biāo)為的點有2個C．距離坐標(biāo)為的點有4個 D．距離坐標(biāo)為的點在一條直線上12．20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人工合成金剛石．人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及它們的過渡形態(tài)．其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個頂點、14個面（6個正方形、8個正三角形），它是將立方體“切”去8個“角”后得到的幾何體．已知一個立方八面體的棱長為1，則（）A．它的所有頂點均在同一個球面上，且該球的直徑為2B．它的任意兩條不共面的棱所在直線都相互垂直C．它的體積為D．它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等三、填空題：本大題共4小題．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線和直線，．若與平行，則與之間的距離為________．14．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點，，滿足，則實數(shù)a的值為________．15．詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出自中國數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》，是古代人對一些特殊錐體的稱呼．在《九章算術(shù)·商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中平面ABC，，，則四面體PABC的外接球的表面積為________．16．早在一千多年之前，我國已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對橋身的沖擊．現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個溢流孔輪廓線相同．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所在拋物線的方程為________，溢流孔與橋拱交點A的橫坐標(biāo)為________．四、解答題：本大題共6小題．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．在①；②；③的面積三個條件中任選一個（填序號），補充在下面的問題中，并解答該問題．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，________，D是邊BC上的一點，，且，，求線段AD的長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，動圓M與直線相切且與圓F外切．（1）記圓心M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）已知，曲線C上一點P滿足，求的大?。?9．如圖，在直三棱柱中，D為AC中點．（1）求證：平面；（2）若，，且，求三棱錐的體積．20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，點A，B是直線與圓O的兩個公共點，點C在圓O上．（1）若為正三角形，求直線AB的方程；（2）若直線上存在點P滿足，求實數(shù)m的取值范圍．21．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，，．（1）若，求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左頂點與上頂點的距離為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，M是PQ的中點．若橢圓上存在點N滿足，求證：的面積S為定值．2020－2021學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)參考答案2020.11一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14． 15．16．，四、解答題：本大題共6小題，共70分．17．（本小題滿分10分）解：選①．由條件①，在中，，所以，即，從而．因為B為三角形內(nèi)角，所以，所以．因為A為三角形內(nèi)角，所以．在中，因為，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因為，所以．選②．由條件②，結(jié)合余弦定理得，即，所以，因為A為三角形內(nèi)角，所以．在中，因為，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因為，所以．選③．由條件③，的面積，得，即，因為A為三角形內(nèi)角，所以，從而，所以，所以．在中，因為，，故由正弦定理得，即，所以，即．由知，因此．因為，所以．另解：（略）在中，因為，，由余弦定理得，所以．由正弦定理得，則，又B為銳角，所以，則．在中，因為，所以．18．（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)，圓M的半徑為r．由題意知，，M到直線l的距離為r．方法一：點M到點的距離等于M到定直線的距離，根據(jù)拋物線的定義知，曲線C是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線．故曲線C的方程為．方法二：因為，，，所以，化簡得，故曲線C的方程為．（2）方法一：設(shè)，由，得，又，解得，故，所以，從而．方法二：過點P向直線作垂線，垂足為Q．由拋物線定義知，，所以，在中，因為，所以，從而，故．19．（本小題滿分12分）（1）證明：連結(jié)交于點O，連結(jié)OD．在三棱柱中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以O(shè)為中點．又因為D為AC中點，所以O(shè)D為的中位線，所以．又因為平面，OD平面，所以平面．（2）解：方法一：三棱錐的體積就是三棱錐的體積．過點D作，垂足為E．在直三棱柱中，平面ABC．因為平面ABC，所以．又因為，且，BC平面，，所以平面，即DE為三棱錐的高．在中，，，且，所以，，在中，，所以．又的面積，所以三棱錐的體積，故三棱錐的體積等于3．方法二：三棱錐的體積就是三棱錐的體積．因為（1）中已證面，所以到平面的距離等于A到平面的距離．因此三棱錐的體積等于三棱錐的體積，即等于三棱錐的體積．在直三棱柱中，平面ABC，所以為三棱錐的高．因為，，且，．因為D是AC的中點，所以的面積．故三棱錐的體積，即三棱錐的體積等于3．20．（本小題滿分12分）解：（1）由為正三角形，得，所以，所以原點O到直線AB的距離．由點到直線的距離公式得，解得或．所以直線AB的方程為或．（2）方法一：設(shè)，，．因為，所以點P在以AB為直徑的圓上．記該圓圓心為，則是方程組的解，解得故以AB為直徑的圓的方程為，其中．又點P在直線上，即直線與圓有公共點，所以，即．解得．綜上，實數(shù)m的取值范圍是．方法二：設(shè)，．聯(lián)立直線AB與圓O方程，得消去y得．①所以，是①的兩個解，判別式，即，且，．設(shè)點，則，．由，，②將，，代入②，整理得．又，，所以，關(guān)于x的方程有實數(shù)解，因此，即，解得．綜上，實數(shù)m的取值范圍是．21．（本小題滿分12分）解：因為平面平面ABCD，，平面平面，PA平面PAB，所以平面ABCD．因為AD平面ABCD，所以．又，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為，，所以,，，，，（1）若，即E為PC中點，則，所以，，．設(shè)平面ABE的一個法向量為，則即令，得，所以平面ABE的一個法向量為．設(shè)直線DE與平面ABE所成角為，則．（2）因為，則．設(shè)平面ABE的一個法向量為，則即令，得，所以平面ABE的一個法向量為．設(shè)平面AEC的一個法向量為，則即令，得，所以平面AEC的一個向量為．（或證明平面PAC，從而為平面PAC的一個法向量）因為二面角的大小為，且，得，整理得，解得，或（舍）．所以．22．（本小題滿分12分）解：（1）橢