（預(yù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測04 平面向量的應(yīng)用（原卷版）

第頁專題04平面向量的應(yīng)用思維導(dǎo)圖核心考點聚焦考點一：向量在平面幾何中的應(yīng)用考點二：向量在解析幾何中的應(yīng)用考點三：向量在物理學(xué)的應(yīng)用考點四：余弦定理的應(yīng)用考點五：正弦定理的應(yīng)用考點六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀考點七：正余弦定理舉例應(yīng)用考點八：面積與周長問題考點九：解三角形范圍與最值問題考點十：三角形多解問題知識點一：向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或）．（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或）．（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式．（5）向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．知識點詮釋：用向量知識證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了．知識點二：向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．常見解析幾何問題及應(yīng)對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)．（2）垂直條件運用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點的坐標(biāo)的方程．（3）定比分點問題：轉(zhuǎn)化為三點共線及向量共線的等式條件．（4）夾角問題：利用公式．知識點三：向量在物理中的應(yīng)用（1）利用向量知識來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．知識點四、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：余弦定理的變形公式：知識點五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角．知識點詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一．知識點六、正弦定理正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即：知識點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：=1\*GB3①已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊．知識點七、解三角形的概念一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素．任何一個三角形都有六個元素：三邊、和三角．在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．有了關(guān)于解三角形的有關(guān)定理（如勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理，還有即將學(xué)習(xí)的余弦定理等），三角學(xué)特別是測量學(xué)得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角．1、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；2、利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形．特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論．在中，已知和A時，解的情況主要有以下幾類：①若A為銳角時：一解一解兩解無解②若A為直角或鈍角時：3、三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余關(guān)系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；4、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實際中應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應(yīng)認真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確．其解題的一般步驟是：（1）準確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實際問題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題．5、解三角形應(yīng)用題的基本思路實際問題畫圖數(shù)學(xué)問題解三角形數(shù)學(xué)問題的解檢驗實際問題的解考點剖析考點一：向量在平面幾何中的應(yīng)用例1．如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點．

(1)求的余弦值．(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．例2．已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點在邊上，且，設(shè)與相交于點．記，．

(1)請用，表示向量；(2)若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．變式1．在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．(1)判斷四邊形的形狀，并給出證明；(2)若，，與的夾角為，為中點，求．考點二：向量在解析幾何中的應(yīng)用例3．如圖，在邊長為2的等邊三角形中，D是的中點.(1)求向量與向量的夾角；(2)若O是線段上任意一點，求的最小值.例4．梯形中，，，，，點在線段上運動.(1)當(dāng)點是線段的中點時，求；(2)求的最大值.變式2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．(1)求點B，C的坐標(biāo)；(2)判斷四邊形的形狀，并求出其周長．考點三：向量在物理學(xué)的應(yīng)用例5．馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運動的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時，每只胳膊的拉力大小為，此時兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5變式3．若平面上的三個力，，作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，，與的夾角為，則的大小為（

）A． B． C． D．考點四：余弦定理的應(yīng)用例6．在中，角A，，的對邊分別是，，，且面積為，若，則角等于(

)A． B． C． D．變式4．已知中，角的對邊分別為，，則角．變式5．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則C＝考點五：正弦定理的應(yīng)用例7．在中，若，則.變式6．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bc＝20，△ABC的面積為5，且其外接圓的半徑為4，則a＝．變式7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則．考點六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀例8．在中，其內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形例9．設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．三邊比為1：2：3的三角形變式8．的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（

）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形考點七：正余弦定理舉例應(yīng)用例10．某數(shù)學(xué)興趣小組欲測量一下校內(nèi)旗桿頂部M和教學(xué)樓M?頂部N之間的距離，已知旗桿AM高15m，教學(xué)樓BN高21m，在與A,B同一水平面C處測得的旗桿頂部M的仰角為，教學(xué)樓頂部N的仰角為，，則M,N之間的距離為（

）

A． B． C． D．變式9．金山寺位于江蘇省鎮(zhèn)江市潤州區(qū)，始建于東晉時期，是中國佛教禪宗名寺，民間傳說《白蛇傳》中的金山寺即指此，與普陀寺?文殊寺?大明寺并列為中國的四大名寺，其中慈壽塔為金山標(biāo)志，磚木結(jié)構(gòu)，七級八面，矗立于數(shù)重樓臺殿宇之上，如圖：記慈壽塔塔高OT，某測量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個測量點A，B.現(xiàn)測得.，，在B點處測得塔頂T的仰角為30°，則塔高OT為（

）

A．36m B． C．45m D．變式10．如圖所示，為了測量處島嶼的距離，小明在D處觀測，分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（

）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里考點八：面積與周長問題例11．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面積為，求的周長.變式11．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別是，，，且．(1)求；(2)已知，，求的面積.考點九：解三角形范圍與最值問題例12．已知銳角的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，且______．(1)求角；(2)求面積的取值范圍．在①，②，這兩個條件中任選一個，補充在橫線上，并解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．例13．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，求面積的最大值.變式12．已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.變式13．已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且（1）求角C；（2）若，求的最大值.考點十：三角形多解問題例14．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，例15．在中角所對的邊分別為，若，，，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，有兩個解C．當(dāng)時，只有一個解 D．對一切，都有解變式14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，若滿足條件的三角形有兩個，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式15．已知在中，，若滿足條件的三角形有且只有一個，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或過關(guān)檢測一、單選題1．在中，分別是，，的對邊.若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．2．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，則角為（

）A． B． C． D．3．在中，已知，，，則邊的長為（

）A． B． C． D．4．已知的內(nèi)角的對邊分別是，面積為S，且，則角的值為（

）A． B． C． D．5．靈運塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當(dāng)代新建仿古塔．某校開展數(shù)學(xué)建?；顒樱薪Ｕn題組的學(xué)生選擇測量靈運塔的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案．如圖，靈運塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運塔底部D在同一水平面上的A，B兩點，測得米，在A，B兩點觀察塔頂C點，仰角分別為和，，則靈運塔的高度CD是（

）A．45米 B．50米 C．55米 D．60米6．在中，內(nèi)角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，若，且，則的面積為（

）A． B． C．3 D．7．在中，，，分別是角，，的對邊，的面積為，，，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．18．設(shè)O點在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（

）A．2 B． C． D．3二、多選題9．在中角，，所對的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（

）A． B．C． D．10．某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南D．在燈塔的北偏西11．已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則（

）A． B． C．3 D．12．已知三個內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且，．（）A．面積的最大值為B．的最大值為C．的取值范圍為D．三、填空題13．在中，已知，，，則.14．在中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，則該三角形為三角形.15．在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為.16．在中，，點D在線段上，且滿足，，則等于.四、解答題17．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知.(1)求的值；(2)若，，是的中點，求.18．的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量與平行.(1)求A；(2)若，，求的面積.19．在中，AD為BC邊上的中線，，．從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并完成下面問題．條件①：；條件②：條件③：的面積為2．(1)求AD的長；(2)求AB的長．注：如果選擇的條件不符合要求，本題得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．20．已知銳角內(nèi)角及對邊，滿足.(1)求的大小；(