（預(yù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測(cè)06 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（教師版）

第頁(yè)專題06復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)模的綜合問題考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算考點(diǎn)六：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則：設(shè)，（），我們規(guī)定：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）復(fù)數(shù)加法中的規(guī)定是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，減法同樣．很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和（差）仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的加（減）法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加（減）的情形．（2）復(fù)數(shù)的加減法，可模仿多項(xiàng)式的加減法法則計(jì)算，不必死記公式．2、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律：交換律：結(jié)合律：知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義1、復(fù)數(shù)的表示形式：代數(shù)形式：（）幾何表示：①坐標(biāo)表示：在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)表示復(fù)數(shù)（）；②向量表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)為終點(diǎn)的向量表示復(fù)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)平面向量知識(shí)點(diǎn)三、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算1、乘法運(yùn)算法則：設(shè)，（），我們規(guī)定：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．（2）在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)（分母實(shí)數(shù)化），化簡(jiǎn)后寫成代數(shù)形式．2、乘法運(yùn)算律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：1、復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是的和所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)角線表示的向量就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差所對(duì)應(yīng)的向量．設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量為、，即、的坐標(biāo)形式為，以、為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量是，由于，所以和的和就是與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋：要會(huì)運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義去解題，利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算例1．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.（3）由題意可得：.（4）由題意可得：.（5）由題意可得：.（6）由題意可得：.變式1．已知，，為實(shí)數(shù)，若，求【解析】，所以，解得，，所以，，則，所以．考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義例2．復(fù)平面上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．例3．在平行四邊形ABCD中，若點(diǎn)A，C分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)，，則A，C兩點(diǎn)間的距離為．【答案】5【解析】依題意得對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以A，C兩點(diǎn)間的距離為．故答案為：5．例4．已知復(fù)數(shù)，滿足，，，則在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為．【答案】【解析】，是以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，，，，即，復(fù)數(shù)以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)為圓心，半徑為1和的兩圓構(gòu)成的圓弧，則在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為：，故答案為：.變式2．已知，則的最小值是．【答案】1【解析】由，得z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以原點(diǎn)O為圓心，半徑為的圓上．，表示Z到點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，求出后減去半徑可得最小值．因?yàn)?，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以原點(diǎn)O為圓心，半徑為的圓上．，表示Z到點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，，所以．故答案為1．變式3．若復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位）所對(duì)應(yīng)的向量分別為與，則的周長(zhǎng)為.【答案】16【解析】因?yàn)?，，，所以，?所以的周長(zhǎng)為.故答案為：16考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)模的綜合問題例5．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則．【答案】【解析】因?yàn)?，則，所以.故答案為：.例6．設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則．【答案】【解析】設(shè)，，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋?，，即，由，可得，故，解得，由，可得，所以，，所以?故答案為：.變式4．若復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足，，，則.【答案】/【解析】設(shè)，且，則，又，所以，即，則，因?yàn)椋?，所?故答案為：.變式5．設(shè)復(fù)數(shù)、滿足，，，則．【答案】【解析】設(shè)，，則，即，所以，，，因此，.故答案為：.考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算例7．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】【解析】設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，則.故答案為：.例8．.（為虛數(shù)單位）【答案】【解析】由題意，的周期為4，所以原式.故答案為：.變式6．若復(fù)數(shù)z的虛部小于0，且，則．【答案】-4【解析】設(shè)且，則，所以，則或（舍去），所以（舍去）或，所以，故答案為：考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算例9．已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為.【答案】【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得，所以.故答案為:.例10．已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.【答案】一【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則點(diǎn)位于第一象限.故答案為：一.變式7．若，，則實(shí)數(shù)，應(yīng)滿足的條件為.【答案】或【解析】因?yàn)?，故?所以或，即或是a，b應(yīng)滿足的條件.故答案為：或.考點(diǎn)六：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程例11．已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，且．(1)求m的值；(2)若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求該一元二次方程的另一復(fù)數(shù)根．【解析】（1）已知，則，由于，得，解得：（2）由（1）可知，，將代入方程可得：，即：，得：，解得：，，帶入一元二次方程中得：，解得：，，即方程另外一個(gè)復(fù)數(shù)根為例12．根據(jù)要求完成下列問題：(1)關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值；(2)若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的集合.【解析】（1）設(shè)是其實(shí)根，代入原方程變形為，由復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得；（2）由題意得，且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，∴，即，解得，故實(shí)數(shù)的集合為.變式8．已知復(fù)數(shù)，，.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）.因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第二象限，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）因?yàn)樘摂?shù)是方程的一個(gè)根，所以也是方程的一個(gè)根，于是，解得.所以，，因此.變式9．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，其中．(1)若m＝1，求；(2)若是關(guān)于x的方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求m的值及．【解析】（1）由題意得，因?yàn)閙＝1，所以，則，所以．（2）（方法一）由題設(shè)得，即，則解得m＝－1．故．（方法二）由題設(shè)得方程的兩根為，，則，得m＝－1，故．（方法三）由，得，即，所以m＝－1，故．變式10．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，且，求的值.【解析】因?yàn)殛P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，則，解得，由可得，可得，解得，不妨取，，所以，，解得，合乎題意.因此，.變式11．已知i是虛數(shù)單位，，.(1)求的值；(2)若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）因?yàn)?，，即，所以，解?（2）由（1）可知，是方程的一個(gè)根，，整理得，由復(fù)數(shù)相等得，解得:.過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．已知，，且，則（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【解析】因?yàn)?，即，即，因?yàn)?，，所以，解得，所?故選：A2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以.故選：A.3．復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】依題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C4．已知復(fù)數(shù)滿足：，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】由，得，則.故選：C5．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以的虛部?故選：D6．下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是；②復(fù)數(shù)是的根，則；③若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則；④已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，①錯(cuò)；對(duì)于②，由可得，解得，故，②對(duì)；對(duì)于③，由題意可知，關(guān)于的方程的兩個(gè)虛根分別為、，所以，，解得，故，③對(duì)；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心半徑為的圓，④錯(cuò).故選：B.7．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，∴，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間距離，又，所以的最小值是，故選：B．8．設(shè)復(fù)數(shù)，則的的虛部是（

）A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】C【解析】，所以的虛部為.故選：C二、多選題9．若復(fù)數(shù)，則（

）A．的共軛復(fù)數(shù)B．C．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限【答案】BD【解析】，則，故錯(cuò)誤；，故正確；復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，不相等，故錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故正確，故選：10．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 B．C． D．【答案】ABCD【解析】A選項(xiàng)，，故在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，A正確；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D正確.故選：ABCD11．復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列敘述正確的是（

）A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限 B．是一個(gè)純虛數(shù)C． D．【答案】BCD【解析】由題意得：，對(duì)于A項(xiàng)：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第一象限，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：為純虛數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：，故D項(xiàng)正確；故選：BCD.12．已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C． D．【答案】AC【解析】設(shè)，則，，A正確；當(dāng)時(shí)，，因此B錯(cuò)誤；，，C正確；時(shí)，，，D錯(cuò)．故選：AC．三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】5【解析】設(shè)，則，于是，解得，則.故答案為：.14．復(fù)數(shù)，（a、），若它們的和為實(shí)數(shù)，差為純虛數(shù)，則．【答案】【解析】由題設(shè)為實(shí)數(shù)，故，，故，所以.故答案為：15．如果都是實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有一個(gè)根，則【答案】【解析】因?yàn)闉殛P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以為關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，解得，，所以.故答案為：.16．復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們滿足下列兩個(gè)條件：①；②兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為【答案】20【解析】設(shè)，則.所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，解得.又的面積為.故答案為：.四、解答題17．計(jì)算：(1)；(2).【解析】（1）.（2）.18．已知.(1)求的值；(2)設(shè),求的值.【解析】（1）.（2），.19．已知z為復(fù)數(shù)，和均為實(shí)數(shù)，其中是虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z和|z|；(2)若在第四象限，求m的取值范圍.【解析】（1）設(shè)，則，由為實(shí)數(shù)，得，則，由為實(shí)數(shù)，得，則，∴，則；（2），由在第四象限，得，解得或，故m的取值范圍為．20．（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分；

（2）計(jì)算：是虛數(shù)單位．【解析】（1）易知，即可分解為；（2）由，可得，又，所以，即.21．（1）已知復(fù)數(shù)，．i是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，求m的值；（2）i是虛數(shù)單位，，，若，求復(fù)數(shù)z．【解析】（1）由，是純虛數(shù)，所以；（2）由.22．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，且滿足．(1)求復(fù)數(shù)z的模；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，則，∴，∴，，∴，則；（2）由（1）知，，∴，由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴，解得：，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算隨堂檢測(cè)1．若復(fù)數(shù)，則等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】，所以，故選：D.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】則的虛部為故選：B3．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C4．已知復(fù)數(shù)z滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．z的虛部為i B． C． D．【答案】D【解析】，其虛部為，，，．故選：D.5．（多選）以下四種說法正確的是（

）A．=iB．復(fù)數(shù)的虛部為C．若z=，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn)．復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，復(fù)數(shù)的虛部為，B正確；對(duì)于C，，則，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，C不正確；對(duì)于D，復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，D正確.故選：ABD6．（多選）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 B．C．為純虛數(shù) D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AB【解析】因?yàn)?，?duì)于A：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-2，-