(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級寒假講義04 二次根式綜合復(fù)習(xí)+隨堂檢測（教師版）

第頁二次根式本章知識綜合運用二次根式有關(guān)概念二次根式有關(guān)概念●●1、二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”稱為二次根號，a為被開方數(shù).●●2、代數(shù)式的定義：用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.●●3、最簡二次根式概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．●●4、可合并的二次根式概念：把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是可以合并的二次根式．二次根式的有關(guān)性質(zhì)二次根式的有關(guān)性質(zhì)●●1、a的性質(zhì)：a≥0；a●●2、（a）2（a≥0）的性質(zhì)：（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．●●3、a2的性質(zhì)：a2=|a|二次根式的相關(guān)運算二次根式的相關(guān)運算●●1、二次根式的乘除法二次根式的乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.用字母表示為：（1）二次根式的乘法法則：a?b=a?b（a≥0，（2）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：a?b=a?b（a≥0，（3）二次根式的除法法則：ab=ab（（4）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ab=ab（●●2、二次根式的加減法二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.合并方法為系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變．●●3、二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運算．（2）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序是一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．題型一根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的取值題型一根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的取值【例題1】已知20?n是整數(shù)，則自然數(shù)n所有可能的值有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】由二次根式的定義即可求出答案．【解答】解：由于20﹣n≥0，且n≥0，∴0≤n≤20，由于20?n是整數(shù)，∴20﹣n＝0或1或4或9或16，解得：n＝20或19或16或11或4，一共5個．故選：D．解題技巧提煉先通過二次根式的定義求出自然數(shù)n的范圍，再由二次根式的性質(zhì)確定20﹣n是一個完全平方數(shù)，最后通過分類討論思想求出自然數(shù)的所有可能取的值.【變式1-1】若12?n是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)n的值可以是（寫出一個即可）．【分析】先確定n的取值范圍，再根據(jù)代數(shù)式是整式寫一個滿足題意的n即可．【解答】解：∵12﹣n≥0，∴n≤12，∵12?n是整數(shù)，∴當(dāng)12﹣n＝1時，n＝11．故答案為：11．【變式1-2】已知24n是整數(shù)，求正整數(shù)n的最小值．【分析】根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的最小值即可．【解答】解：∵24n是整數(shù)，n為正整數(shù)，∴24n＝144，即n＝6，則正整數(shù)n的最小值為6．【變式1-3】已知18?n是整數(shù)，求自然數(shù)n所有可能的值；【分析】根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出自然數(shù)n的值即可；【解答】解：∵18?n是整數(shù)，∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，則自然數(shù)n的值為2，9，14，17，18；題型二二次根式與絕對值的綜合運用題型二二次根式與絕對值的綜合運用【例題2】已知實數(shù)x滿足|2017﹣x|+x?2018=x，求x﹣2017【分析】由絕對值的性質(zhì)和已知，先求出x的值，再計算20172的值．【解答】解：∵實數(shù)x滿足|2017﹣x|+x?2018∴x﹣2017+x?2018=x．即x?2018=2017．∴x﹣2018＝20172∴x﹣20172＝20172+2018﹣20172＝2018．解題技巧提煉靈活利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)進行化簡計算是解題的關(guān)鍵.1、的性質(zhì)：具有雙重非負性，即，即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)；2、，即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；3、，即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它的絕對值.【變式2-1】a2=|（1）化簡：(?3)2=，(3?π)2（2）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡﹣|c﹣a|+(b?c)【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行求解即可；（2）由數(shù)軸可得a＜b＜0＜c，從而可得c﹣a＞0，b﹣c＜0，再進行化簡即可．【解答】解：（1）(?3)2＝|﹣3|＝3，(3?π)2＝|3﹣π|＝π﹣3，故答案為：3，（2）由數(shù)軸得：a＜b＜0＜c，∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴﹣|c﹣a|+(b?c)【變式2-2】已知x2+8x+16+x2【分析】先由x2【解答】解：x2+8x+16+|x+4|+|x﹣6|＝10，當(dāng)x+4＞0，x﹣6＜0時，|x+4|+|x﹣6|＝10成立，∴﹣4＜x＜6，∴2x+8＞0，x﹣6＜0，(2x+8)【變式2-3】若﹣1≤x≤2，化簡：|x﹣2|+x【分析】首先根據(jù)x的范圍確定x﹣2、x+1以及x﹣3的符號，然后去掉絕對值符號進行化簡即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+1≥0，x﹣3＜0，則原式＝2﹣x+|x+1|+|x﹣3|＝2﹣x+x+1+3﹣x＝6﹣x．【變式2-4】小明在學(xué)習(xí)二次根式時，碰到這樣一道題，他嘗試著運用分類討論的方法解題如下：題目：若代數(shù)式(m?1)2+(m?2)解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|，當(dāng)m＜1時，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）；當(dāng)1≤m≤2時，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合條件；當(dāng)m＞2時，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）；所以，m的取值范圍是1≤m≤2．請你根據(jù)小明的做法，解答下列問題：（1）當(dāng)3≤m≤5時，化簡：(m?3)2+(m?5)2（2）若代數(shù)式(2?m)2?(m?6)【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)得到原式＝|m﹣3|+|m﹣5|，再根據(jù)m的范圍去絕對值，然后合并即可；（2）先利用二次根式的性質(zhì)得到原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，再討論：m＜2或2≤m≤6或m＞6，然后分別去絕對值確定滿足條件的m的范圍．【解答】解：∵3≤m≤5，∴(m?3)2（2）原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，當(dāng)m＜2時，原式＝（2﹣m）﹣（6﹣m）＝﹣4，不符合條件；當(dāng)2≤m≤6時，原式＝（m﹣2）﹣（6﹣m）＝2m﹣8＝4，解得m＝6，符合條件；當(dāng)m＞6時，原式＝（m﹣2）﹣（m﹣6）＝4，符合條件；所以m的取值范圍是m≥6．題型三二次根式與三角形的綜合運用題型三二次根式與三角形的綜合運用【例題3】設(shè)a，b，c分別為一三角形的三邊長，試化簡：(a+b+c)2+|a﹣b﹣c【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a+b+c，a﹣b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣b﹣a的符號，再把二次根式進行化簡即可．【解答】解：∵a，b，c分別為一三角形的三邊長，∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）+（c﹣b﹣a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣b﹣a＝4c．解題技巧提煉運用a2=【變式3-1】已知a、b、c是△ABC的三邊，化簡：(a+b+c)【分析】由a，b，c為三角形三邊，利用三角形三邊關(guān)系判斷即可得到結(jié)果．【解答】解：∵a，b，c為△ABC三邊，∴a+b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，則原式＝0+a+c﹣b﹣（a+b﹣c）＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b．【變式3-2】已知三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長為c，化簡（|2?c|）2?1【分析】首先利用三角形三邊關(guān)系得出c的取值范圍，進而化簡求出答案．【解答】解：∵三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長為c，∴2＜c＜8，∴（|2?c|）2?14c2?4c+16＝c﹣2?題型四二次根式乘除法法則成立的條件題型四二次根式乘除法法則成立的條件【例題4】等式x+3?x?3=x2?9成立的條件是【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出x+3≥0，x﹣3≥0進而得出答案．【解答】解：∵x+3?x?3=故答案為：x≥3．解題技巧提煉式子a?b=a?b成立的條件是a≥0且式子ab=ab成立的條件是a≥0且【變式4-1】如果4x2?1=2x+1?2x?1成立，那么x【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合不等式組的解法，分析得出答案．【解答】解：∵4x2?1∴2x+1≥02x?1≥0，解得：x≥12【變式4-2】等式x2(x+1)=?xA． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出x的范圍．【解答】解：由題意可知：x≤0x+1≥0【變式4-3】等式1?xx?3=x?1A．x≤1 B．x＞3 C．1≤x＜3 D．x＜3【分析】根據(jù)二次根式的有意義的條件即可求出答案．【解答】解：由題意可知：1?xx?3≥0，x?13?x∴x﹣1≤0，x﹣3＞0或x﹣1≥0，x﹣3＜0，∴1≤x＜3，故選：C．題型五把二次根式根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)題型五把二次根式根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)【例題5】把下列各式中根號外的因式適當(dāng)改變后移到根號內(nèi)．（1）25；（2）﹣412；（3）（2﹣x）7【分析】（1）根據(jù)a2=a（a≥0）可得2（2）根據(jù)a2=a（a≥0）可得﹣4（3）首先分析2﹣x是正數(shù)還是負數(shù)，根據(jù)二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)可得2﹣x＜0，然后再把2﹣x化為?(x?2【解答】解：（1）原式=2（2）原式=?4（3）原式=?(x?2解題技巧提煉把二次根式根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)時，應(yīng)先判斷根號外的因數(shù)（式）的正負，若為非負數(shù)，直接平方后移到根號內(nèi)；若為負數(shù)，平方后移到根號內(nèi)并在根號外加負號.【變式5-1】若把x?1A．x B．?x C．?x D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵?1x＞0，∴x＜0，∴原式【變式5-2】把（m﹣1）11?m中根號前的（mA．m?1 B．1?m C．?m?1 D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：11?m≥0，∴1﹣m＞0，∴原式=?【變式5-3】把下列各式中根號外的因數(shù)（式）移到根號內(nèi)．（1）﹣xyyx；（2）737；（3）﹣53；（4）3b【分析】（1）根據(jù)題意可得出x與y同號，進而將xy平方后代入根號內(nèi)化簡即可，注意整體的符號；（2）根據(jù)題意將7平方后代入根號內(nèi)化簡即可；（3）根據(jù)題意可得﹣5＜0，進而將5平方后代入根號內(nèi)化簡即可，注意整體的符號；（4）根據(jù)題意將3b平方后代入根號內(nèi)化簡即可；【解答】解：（1）﹣xyyx=?x2y（3）﹣53=?25×3=?75；（題型六二次根式的運算在實際生活中的應(yīng)用題型六二次根式的運算在實際生活中的應(yīng)用【例題6】在一塊矩形的土地上種植草坪，該矩形土地的長為128m、寬為75m．（1）求該矩形土地的周長；（2）若種植造價每平方米160元，求在該矩形土地上全部種植草坪的總費用．（提示：結(jié)果保留整數(shù)，6≈【分析】（1）根據(jù)矩形周長公式進行計算，并化簡即可；（2）根據(jù)矩形面積公式先算出面積，而后乘以每平方米的價錢即可．【解答】解：（1）2（128+75）＝2（82+53）＝162即該矩形土地的周長為（162+103（2）128×75=82×53=故在該矩形土地上全部種植草坪的總費用約為15360元．解題技巧提煉先認真分析題意，將實際問題轉(zhuǎn)化成二次根式的加減乘除運算問題，然后按照二次根式的運算的法則進行計算即可，注意計算的準(zhǔn)確性和結(jié)果的要求.【變式6-1】如圖，有一張邊長為63cm的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為3cm．（1）求長方體盒子的容積；（2）求這個長方體盒子的側(cè)面積．【分析】（1）結(jié)合題意可知該長方體盒子的長為63?23=43（2）該長方體盒子的側(cè)面為長方形，長為63?23【解答】解：（1）由題意可知：長方體盒子的容積為：(6=43×43×3=48（2）長方體盒子的側(cè)面積為：(63?23)×答：這個長方體盒子的側(cè)面積為48cm2．【變式6-2】三角形的周長為（55+210）cm，面積為（206+45）cm2，已知兩邊的長分別為45cm和40（2）第三邊上的高．【分析】（1）根據(jù)第三邊等于周長減去另兩邊之和，即可求出第三邊的長；（2）根據(jù)三角形的高等于三角形的面積的2倍除以底邊即可求出第三邊上的高．【解答】解：（1）∵三角形周長為(55+210)cm，兩邊長分別為∴第三邊的長是：(55（2）∵面積為（206+45）cm2∴第三邊上的高為2(206+45【變式6-3】某居民小區(qū)有塊形狀為矩形ABCD的綠地，長BC為128米，寬AB為50米，現(xiàn)在要矩形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為(13+1)米，寬為（1）求矩形ABCD的周長．（結(jié)果化為最簡二次根式）（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？【分析】（1）根據(jù)矩形的周長＝（長+寬）×2計算即可；（2）先求出通道的面積，再算錢數(shù)即可．【解答】解：（1）（128+50）×2＝（82+52）×2＝132答：矩形ABCD的周長為262米；（2）128×50?2×（13＝82×52答：購買地磚需要花費336元．【變式6-4】如果一個三角形的三邊的長分別為a，b，c，那么可以根據(jù)海倫﹣秦九韶公式S=p(p?a)(p?b)(p?c)[其中p=12（a+b+c）]或其他方法求出這個三角形的面積．試求出三邊長分別為5【分析】將a=5【解答】解：令a=5∴p=1∴S2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）=3+3=3+352×3+∵S＞0，∴S＝3，故三邊長分別為5，3，25的三角形的面積為3．題型七二次根式的大小比較題型七二次根式的大小比較【例題7】比較二次根式的大?。海?）；（2）．【解答】解：（1）∵，，∵，∴＜.∵，∵45＜50，∴＜．解題技巧提煉利用二次根式的性質(zhì)比較兩個二次根式的大?。悍椒ㄒ灰苿右蚴椒ǎ嚎梢园迅柾獾囊蚴狡椒胶笠迫敫杻?nèi)，根據(jù)此時被開方數(shù)的大小比較即可；方法二平方法：可以把這兩個二次根式分別進行平方，比較平方的大小，再比較原數(shù)的大小，注意是負數(shù)的，平方大的那個負數(shù)反而?。椒ㄈ汗浪愣胃降拇笮肀容^大小.【變式7-1】王老師在小結(jié)時總結(jié)了這樣一句話“對于任意兩個正數(shù)a，b，如果a＞b，那么a＞b”，然后講解了一道例題：比較15解：(15200)2=125×參考上面例題的解法，解答下列問題：（1）比較﹣56與﹣65的大??；（2）比較7+1與5【分析】（1）先分別求出兩數(shù)的平方，再根據(jù)求出的結(jié)果比較大小即可；（2）先分別求出兩數(shù)的平方，再根據(jù)求出的結(jié)果比較大小即可．【解答】解：（1）（﹣56）2＝25×6＝150，（﹣65）2＝36×5＝180，∵150＜180，∴﹣56＞?65（2）（7+1）2＝7+27+1＝8+27=（5+3）2＝5+215+3＝8+215∵28＜60，∴7+【變式7-2】用平方法比較6+11與【分析】先計算兩個數(shù)的平方，再根據(jù)平方法的比較原理進行判斷即可．【解答】解：(6+11)2=17+2∵17+266＞17+42＞1，∴【變式7-3】數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較19?23與小華的方法是：因為19＞4，所以19?22，所以19?2小英的方法是：19?23?所以19?40，所以19?430，所以19（1）根據(jù)上述材料填空；（2）請從小華和小英的方法中選擇一種比較6?14與【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；（2）仿照例題的方法進行計算即可解答．【解答】解：（1）小華的方法是：因為19＞4，所以19?2＞2，所以小英的方法是：19?23?23因為19＞42＝16，所以19?4＞0，所以19?43故答案為：＞，＞，＞，＞，＞；（2）如果選擇小華的方法，∵6＜3，∴6?1＜2，∴如果選擇小英的方法，6?1∵6＜9，∴6＜3，∴6?3＜0，∴6?3【變式7-4】課堂上老師講解了比較11?10和111115因為15+14＞11+請你設(shè)計一種方法比較8+3與【分析】直接利用完全平方公式將原式變形進而計算得出答案．【解答】解：∵（8+3）2＝8+28×（6+5）2＝6+2×6∴11+224＜11+230∴（8+3）2＜（6+∵8+3＞∴8+【變式7-5】閱讀下面問題：12+1=2?（1）根據(jù)以上規(guī)律推測，化簡：①17+6；②1（2）根據(jù)你的推測，比較15?14和【分析】（1）①根據(jù)題目中的例子，可以寫出17②根據(jù)題目中的例子，可以寫出1n+1（2）根據(jù)題目中的例子，可以得到15?14=115+14【解答】解：（1）①17+6=②1n+1（2）15?14=∵15+14＞14+題型八題型八巧用二次根式的小數(shù)部分與整數(shù)部分求代數(shù)式的值【例題8】若6?13的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則（2x+13）A．5?313 B．3 C．313?5 【分析】首先根據(jù)13的整數(shù)部分，確定6?13【解答】解：∵3＜13＜4，∴則小數(shù)部分是：6?13?2＝4?13，則（2x+13）y＝（4+13故選：B．解題技巧提煉確定二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分的方法：先用”放縮法”確定二次根式的整數(shù)部分，再用二次根式與整數(shù)部分的差確定小數(shù)部分，即n≤a＜n＋1，則可以確定a的整數(shù)部分為n，小數(shù)部分為a﹣n.【變式8-1】設(shè)a=5，且b是a的小數(shù)部分，求a?【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算得到b=5?2，再把a、b的值代入【解答】解：∵a=5，且b是a的小數(shù)部分，∴b=∴原式=5?55?2【變式8-2】已知m、n分別是6?13的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求m、n的值，并求代數(shù)式n【分析】首先判斷出13在3和4之間，即6?13的整數(shù)部分m＝2，則n＝4?【解答】解：∵9＜13＜∴6?13的整數(shù)部分m＝2，n＝4?n2?2nm?m2=(4?【變式8-3】根據(jù)推理提示，回答下列問題：∵1＜3＜∴3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為3?（1）14的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是．（2）如果6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，求2m+n﹣26=（3）已知：10+32=a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜1，則a＝，b＝【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)14的大小即可；（2）估算無理數(shù)6、21的大小，確定m、n的值，再代入計算即可；（3）根據(jù)無理數(shù)32的大小，進而得出10+32【解答】解：（1）∵9＜14＜∴14的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分為14?3，故答案為：3，14（2）∵4＜6＜9，即2＜6∵16＜21＜25，即4∴2m+n﹣26＝26?4+4﹣26（3）∵5＜32＜6，∴15＜10又∵10+32∴a＝15，b＝10+32?15＝42?題型九二次根式的化簡求值及混合運算題型九二次根式的化簡求值及混合運算【例題9】先化簡，再求值：（a+ba?b）2?2a?2b3a+3b?4a2a【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a、b的值代入進行計算即可．【解答】解：原式=2(a+b)3(a?b)?4ab當(dāng)a=3，b=2時，原式解題技巧提煉解決這類問題時，一般先將所給的式子進行化簡，然后將含二次根式的字母的值代入，根據(jù)二次根式的運算順序進行計算.【變式9-1】已知x=12，y=1【分析】根據(jù)分母有理化把原式化簡，代入計算即可；【解答】解：xx?y+xx【變式9-1】先化簡，再求值：（6xyx+3yxy3【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減混合運算法則把原式化簡，把x、y的值代入計算即可．【解答】解：原式＝6x×xyx+3y×＝6xy+3xy?4xy?6當(dāng)x=23，y＝27時，原式=?2【變式9-2】若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，求yx【分析】x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，可以變形成（x﹣3）2+（y﹣2）2＝0，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可求得x，y的值，然后把所求的式子進行化簡，代入求解即可．【解答】解：x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，即（x2﹣6x+9）+（y2﹣4y+4）＝0，（x﹣3）2+（y﹣2）2＝0，則x﹣3＝0，y﹣2＝0，解得：x＝3，y＝2．yx+x【變式9-3】已知a=12+1【分析】直接將已知分母有理化，再結(jié)合分式的性質(zhì)化簡，進而代入得出答案．【解答】解：∵a=1∴a2?2a+1a?1=2?1﹣1﹣（2+1）=【變式9-4】已知：x＝2+3，y＝2?（1）x2﹣y2；（2）x2﹣xy+y2；（3）2x3+6x2y+2xy2．【解答】解：（1）∵x＝2+3，y＝2?∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝（2+3+2?3）（2+3?2+（2）x＝2+3，y＝2?∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝（2+3?2+3）2+（2+（3）2x3+6x2y+2xy2＝2x（x2+3xy+y2）＝2x[（x+y）2+xy]，＝2×（2+3）[（2+3+2?3）2+（2＝2×（2+3）×（42+4﹣3）＝2×（2+3）×17＝68+34【變式9-5】在解決問題：“已知a=12?1，求3a2∵a=12?1=∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．請你根據(jù)小明的解答過程，解決下列問題：（1）化簡：22?（2）若a=13+22，求2a2【分析】（1）根據(jù)平方差公式計算；（2）利用分母有理化把a化簡，根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計算即可．【解答】解：（1）22?5=（2）a=13+22則2a2﹣12a﹣1＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1＝2（a﹣3）2﹣19＝2（3﹣22?3）2題型十利用有理數(shù)的意義求字母式子的值題型十利用有理數(shù)的意義求字母式子的值【例題10】若a+63=(m+n3)2，當(dāng)a，m，n均為正整數(shù)時，則a【分析】通過完全平方公式去掉括號求出a＝m2+3n2，2mn＝6，根據(jù)a，m，n均為整數(shù)，分兩種情況求出m，n，進一步求出a，從而求解．【解答】解：∵a+63=(m+n3)2，∴a+63=m2∴a＝m2+3n2，2mn＝6，∴mn＝3，①m＝1，n＝3，a＝28，②m＝3，n＝1，a＝12，故a的值為27或23．解題技巧提煉通過完全平方公式去掉括號,然后比較等式左右兩邊的系數(shù)得出要求的字母的值，這里用到了不為零的有理數(shù)與無理數(shù)相加的和是有理數(shù)和無理數(shù).【變式10-1】先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問題：設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿足a+2b＝3﹣22，求ba的值．解：由題意得（a﹣3）+（b+2）2=0，因為a，b都是有理數(shù)，所以a﹣3，b+2也是有理數(shù)，由于2是無理數(shù)，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）問題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿足x2﹣2y+5y＝8+45，求x+y【分析】根據(jù)題目中例題的方法，對所求式子進行變形，求出x、y的值，從而可以求得x+y的值．【解答】解：∵x2﹣2y+5y＝8+45∴（x2﹣2y﹣8）+（y﹣4）5=∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0，解得，x＝±4，y＝4，當(dāng)x＝4，y＝4時，x+y＝4+4＝8，當(dāng)x＝﹣4，y＝4時，x+y＝（﹣4）+4＝0，即x+y的值是8或0．【變式10-2】【閱讀學(xué)習(xí)】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+22∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把a+b2的式子化為平方式的方法．【解決問題】（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得：a＝，b＝（2）利用（1）的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n（m≠n），使得a+b3=（m+n3）2成立，且a+b+m+n的值最?。堉苯訉懗鯽，b，m，n（3）若a+65=（m+n5）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，利用完全平方公式將等式右邊展開，即可求出a、b的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分類討論即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）（m+n3）2＝m2+23mn+3n2＝m2+3n2+2mn3．∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案為：m2+3n2，2mn．（2）當(dāng)n＝1，m＝2時，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1時，a+b+m+n的值最?。?）（m+n5）2＝m2+25mn+5n2＝a+65，∴a＝m2+5n2，6＝2mn，∴mn＝3，∵a、m、n均為正整數(shù)，∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；當(dāng)m＝1，n＝3時，a＝12+5×32＝46．當(dāng)m＝3，n＝1時，a＝32+5×12＝14．綜上，a的值為14或46．題型十一有關(guān)二次根式的規(guī)律探究題型十一有關(guān)二次根式的規(guī)律探究【例題11】觀察下列各式及其驗證過程：2+23=23+38=3（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想5+5（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗證．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義計算5+5（2）計算n+n【解答】解：（1）∵2+23=223驗證：5+5（2）n+nn2解題技巧提煉用綜合法解決探索規(guī)律問題，先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律，用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵，然后再用所得到的規(guī)律解決問題.【變式11-1】觀察下列各式及其驗證過程①2?25=2②3?310=3（1）類比上述兩個等式及其驗證過程，猜想5?5（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用m（m為自然數(shù)，且m≥2）表示的等式并證明．（3）模仿上述驗算過程的方法，對338=3+38進行驗證；并針對等式反映的規(guī)律，直接寫出用【解答】解：（1）5?526=5（2）∵5＝22+1，10＝32+1，26＝52+1，∴m?m證明：m?m（3）3+38=278【變式11-2】觀察下列各式及其驗證過程：12?112(113(1（1）按照上述三個等式及其驗證過程，猜想14（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n是大于等于2的自然數(shù)）表示的等式．【分析】（1）仔細觀察所給的式子，發(fā)現(xiàn)等式左邊根號里是一個分數(shù)和一個帶括號的分數(shù)減法運算的乘積，結(jié)果是一個分數(shù)與一個根式的乘積，分數(shù)是等號左邊根號里減法運算中的被減數(shù)；根式中的分子是左邊根號里減法運算中的被減數(shù)的分母，根式中的分母是左邊根號里分數(shù)的分母與分數(shù)運算中減數(shù)分母的乘積，再結(jié)合二次根式的運算，進行即可解答；（2）利用（1）中的關(guān)系，結(jié)合運算中各個量之間的大小關(guān)系，即可得到關(guān)于n的等式．【解答】解：（1）14驗證：左邊=14(（2）1驗證：左邊=1n(【變式11-3】先閱讀材料，再解決問題．13131313根據(jù)上面的規(guī)律，解決問題：（1）13+23+33+（2）求13+2【分析】（1）觀察各個等式中最左邊的被開方數(shù)中各個冪的底數(shù)的和與最右邊的結(jié)果的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）利用（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可．【解答】解：∵131313∴等式中最左邊的被開方數(shù)中各個冪的底數(shù)的和＝右邊的結(jié)果．∵1+2+3+4+5+6＝21，∴（1）13+2（2）由（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得：13+2【變式11-4】綜合與探究：觀察下列等式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：①1②1③14（1）化簡：17+6（2）化簡：1n+1+n=（3）利用上面所揭示的規(guī)律計算：11+【分析】（1）把17+6（2）把1n+1+n（3）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）原式=7?6（2）原式=n+1?n（3）原式=2?1+=2022題型十二二次根式運算在復(fù)合二次根式中的應(yīng)用題型十二二次根式運算在復(fù)合二次根式中的應(yīng)用【例題12】先閱讀下面的解題過程，然后再解答：形如m±2n的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，即（a）2+（b）2＝m，a?b=n，那么便有：m±2n=(a例如：化簡：7+43解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，因為4+3＝7，4×3＝12，即（4）2+（3）2＝7，4×所以7+43=7+2根據(jù)上述方法完成下列題目：（1）5+26=（2）化簡：14?65【分析】（1）根據(jù)題意給出的算法即可求出答案．（2）根據(jù)題意給出的算法即可求出答案．【解答】解：（1）原式=2+26+3=(2故答案為：2+（2）原式=5?245+9=(5解題技巧提煉把復(fù)合二次根式化簡需要靈活運用二次根式的性質(zhì)和運算法則，可以用平方法，可以先將復(fù)合二次根式平方并化簡，再講結(jié)果開方，求得原式的值.還可以用配方法來化簡.【變式9-1】先閱讀下面例題的解答過程，然后作答．例題：化簡8+215解：先觀察8+215由于8＝5+3，即8＝（5）2+（3）2，且15＝5×3，即215=2則有8+215試用上述例題的方法化簡：15+414A．2+13 B．2+11 C．1+14 【分析】先把被開方數(shù)拆項，化為完全平方的形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡．【解答】解：15+414=(【變式9-2】請閱讀下列材料：形如m±2n的式子的化簡，我們只要找到兩個正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n即(a)2+(b)2例如：化簡7+43解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4所以7+43請根據(jù)材料解答下列問題：（1）填空：5?26=（2）化簡：21?123【分析】（1）利用完全平方公式化簡得出答案；（2）利用完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：（1）5?26=(（2）首先把21?123化為21?2∵9+12＝21，9×12＝108，即(9∴21?123【變式9-3】有這樣一類題目：將a+2b化簡，若你能找到兩個數(shù)m和n，使m2+n2＝a且mn=b，則a+2b可變?yōu)閙2+n2+2mn，即變成（m+n）2，從而使得例如：∵5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+26=（∴5+2請你仿照上例將下列各式化簡：（1）4+23（2）7?210【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式得出4+23=（3+1）（2）先根據(jù)完全平方公式得出7﹣210=（5?2【解答】解：（1）∵4+23＝3+1+23＝（3）2+12+2×3×1＝（3+∴4+23=(3（2）∵7﹣210＝5+2﹣210＝（5）2+（2）2﹣2×5×2＝（5∴7?210=(5二次根式章末隨堂檢測1.代數(shù)式xx?1A．x≠1 B．x≥0 C．x≥0且x≠1 D．0≤x≤1【考點】二次根式的有意義條件.【答案】C．【解答】解：由題意得，x≥0且x﹣1≠0，即x≥0且x≠1．故選：C．2.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A．a(chǎn)2b4 B．12a C．【答案】C．【考點】最簡二次根式；【解答】解：A、a2b4=|abB、12a=2aC、a2D、20a=25a，因此20a3.下列計算不正確的是（）A．35?5=25 B．2×5=10 【答案】C.【考點】二次根式的乘除法，二次根式的加減法；【解答】解：A．35?5=25，故此選項不合題意；B．2×54.已知n是一個正整數(shù)，且24n是整數(shù)，那么n的最小值是（）A．6 B．36 C．3 D．2【答案】A．【考點】二次根式有意義的條件【分析】先把24n=26n【解答】解：24n=26n，則6n是完全平方數(shù)，∴5.若a=2?1，b=2+1．則代數(shù)式a3bA．42 B．3 C．﹣3 D．﹣42【答案】D.【考點】平方差公式及應(yīng)用，二次根式的混合運算；【解答】解：∵a=2?1，b∴ab＝（2?1）（2+1）＝2﹣1＝1，a+b=2?1a﹣b=2?1﹣（2+1）=2?∴a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b）＝1×22×（﹣2）＝﹣426.若|a|＝4，b2A．1或7 B．﹣1或7 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7【答案】A．【考點