(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)寒假講義05 勾股定理+隨堂檢測(cè)（教師版）

第頁(yè)05勾股定理知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一勾股定理●勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.◆1、勾股定理的應(yīng)用條件：勾股定理只適用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三邊的關(guān)系，已知直角三角形中的任意兩邊可以求出第三邊.◆3、勾股定理的幾種變形式：勾股定理將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來(lái)，體現(xiàn)了直角三角形三邊之間的等量關(guān)系.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2+b2=c2、a2=c2-b2、b2=c2-a2；、、.【拓展】◎1、銳角三角形的三邊關(guān)系是：在銳角三角形中，若三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c為最大邊，則a2+b2＞c2.◎2、鈍角三角形的三邊關(guān)系是：在鈍角三角形中，若三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c為最大邊，則a2+b2＜c2.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二勾股定理的證明●通過(guò)拼圖證明勾股定理的思路：（1）圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙，面積就不會(huì)改變.（2）根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性質(zhì)變化驗(yàn)證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫(xiě)出圖形面積的表達(dá)式→找出等量關(guān)系→恒等變形→推導(dǎo)命題結(jié)論.●下面列舉幾種證明方法：◆1、“趙爽弦圖”證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c◆2、我國(guó)數(shù)學(xué)家鄒元治的證明方法證明：在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c◆3、美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”證明：在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化簡(jiǎn)得：a2+b知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關(guān)的計(jì)算和證明題，在解決過(guò)程中，往往利用勾股定理列方程（組），有時(shí)需要通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形，化非直角三角形為直角三角形來(lái)解決.◆勾股定理應(yīng)用的類型：（1）已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)求第三邊長(zhǎng)；（2）已知直角三角形的一邊長(zhǎng)確定另兩邊長(zhǎng)的關(guān)系；（3）證明包含平方（算術(shù)平方根）關(guān)系的幾何問(wèn)題；（4)作長(zhǎng)為n(n＞1，且n為整數(shù))的線段；（5）對(duì)于一些非直角三角形的幾何問(wèn)題和日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理構(gòu)建方程或方程組解決.【注意】勾股定理的應(yīng)用的前提條件必須是直角三角形，所以要應(yīng)用勾股定理必須構(gòu)造直角三角形.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四利用勾股定理作長(zhǎng)為n的線段(n＞1，且n為整數(shù))實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，有理數(shù)在數(shù)軸較易找到它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，但要在數(shù)軸上直接標(biāo)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)則較難，因此，我們可以利用勾股定理作長(zhǎng)為n(n＞1，且n為整數(shù))的線段，進(jìn)而在數(shù)軸上畫(huà)出表示n(n＞1，且n為整數(shù))的點(diǎn).◆在數(shù)軸上表示n的步驟：①利用勾股定理求出長(zhǎng)為n的線段；②在數(shù)軸上以原點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為n的線段長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與數(shù)軸的正方向相交，則交點(diǎn)為表示n的點(diǎn).題型一利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)題型一利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)【例題1】已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（）A．5 B．7 C．5或7 D．以上都不對(duì)【分析】分4是直角邊、4是斜邊，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)4是直角邊時(shí)，斜邊=32+故選：C．解題技巧提煉利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)的步驟：一分，即分清哪條邊是斜邊，哪條邊是直角邊；二代，即將已知邊長(zhǎng)代入a2+b2=c2（c為斜邊）；三化簡(jiǎn)求值，若已知的兩邊可能都是直角邊，也可能是直角邊與斜邊，則應(yīng)利用分類討論思想分兩種情況討論.【變式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）若a＝b＝5，求c；（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理和含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝b＝5，∴c=5（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，∠A＝30°，∴c＝10，b=1【變式1-2】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）求∠BAC的度數(shù)．（2）若AC＝2，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算；（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算．【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝75°；（2）在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AD＝DC，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，∴AD＝DC=22AC【變式1-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，則AD等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC=12在Rt△ABD中，AD=AB2【變式1-4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（）A．185 B．3 C．125【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)面積法，可以求得CD的長(zhǎng)．【解答】解：作CD⊥AB于點(diǎn)D，如右圖所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=A∵AC?BC2=AB?CD2，∴3×42【變式1-5】）如圖所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，則AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．48【分析】本題主要考查勾股定理運(yùn)用，解答時(shí)要靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED＝90°根據(jù)勾股定理∴AD＝10．故選：A．【變式1-6】如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB與BC的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)勾股定理求出BC即可；根據(jù)勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=C在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=A∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的長(zhǎng)為25，BC的長(zhǎng)為15．【變式1-7】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AP平分∠BAC，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求PD的長(zhǎng)度；（2）連接PC，求PC的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）作PF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求出PF，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AD=12∵AP平分∠BAC，∴∠PAD=12∠BAC＝45°，∴DP＝（2）作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC=P題型二勾股定理的證明題型二勾股定理的證明【例題2】勾股定理的驗(yàn)證方法很多，用面積（拼圖）證明是最常見(jiàn)的一種方法．如圖所示，一個(gè)直立的長(zhǎng)方體在桌面上慢慢地倒下，啟發(fā)人們想到勾股定理的證明方法，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEF B．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF C．S△BDH＝S△FGH D．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通過(guò)用兩種方法計(jì)算梯形BCEF的面積即可證明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋轉(zhuǎn)得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由題意知：S梯形BCEF=12（a+b）?（a+b）S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab∴12a2+ab+12b2=ab+12c2解題技巧提煉勾股定理的證明主要是通過(guò)拼圖，利用面積的關(guān)系完成的，拼圖常用補(bǔ)拼法和疊合法兩種方法，補(bǔ)拼時(shí)要無(wú)重疊，疊合時(shí)要無(wú)空隙；而用面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理時(shí)的關(guān)鍵是要找到一些特殊圖形（如直角三角形，正方形等）的面積之和等于整個(gè)圖形的面積，從而達(dá)到驗(yàn)證的目的.【變式2-1】我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國(guó)家也都很重視對(duì)勾股定理的研究和應(yīng)用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A．B． C．D．【分析】由正方形面積公式、三角形面積公式以及梯形面積公式分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、大正方形的面積為：c2，也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：12ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故AB、大正方形的面積為：（a+b）2，也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴B選項(xiàng)不能證明勾股定理．C、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：12ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故CD、梯形的面積為：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）+ab，也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成，則其面積為：12ab×2+12c2＝ab+12c2，∴12（a2+b2）+ab＝ab+12c2，∴a2【變式2-2】如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個(gè)直角三角形面積和為100﹣4＝96，設(shè)AE為a，DE為b，即4×12∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故選：C．【變式2-3】勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”，它由4個(gè)全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25，小正方形面積為1，若用a、b表示直角三角形的兩直角邊（a＞b），則下列說(shuō)法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根據(jù)勾股定理和大正方形面積為25，可以判斷①；根據(jù)小正方形面積為1，可以判斷②；根據(jù)大正方形面積為25，小正方形面積為1，可以得到四個(gè)直角三角形的面積，從而可以得到ab的值，即可判斷③；根據(jù)完全平方公式可以判斷④．【解答】解：由圖可得，a2+b2＝c2＝25，故①正確；∵小正方形面積為1，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴a﹣b＝1，故②正確；∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，∴12ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正確；故選：D．【變式2-4】如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．36 B．76 C．66 D．12【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個(gè)輪子，進(jìn)一步求得四個(gè)．【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x，則x2＝122+52＝169，所以x＝13，所以這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是：（13+6）×4＝76．故選：B．【變式2-5】將四塊全等的直角三角紙板拼成如圖1所示的圖案，你能由此確定出直角三角形三邊長(zhǎng)a，b，c之間的關(guān)系嗎？試試看．（1）大正方形的面積可以表示為，又可以表示為，從而可得到．（2）若將這四塊紙板拼成如圖2所示的圖案，你能通過(guò)對(duì)比圖1與圖2，換一種方法證明勾股定理嗎？【分析】（1）由拼圖可以得出圖中正方形的面積有幾種不同的表示方法，正方形邊長(zhǎng)為（a+b）；（2）通過(guò)兩個(gè)圖形的對(duì)比，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)均為（a+b），得到兩個(gè)正方形的面積相等關(guān)系，據(jù)此證明．【解答】解：（1）由圖形可知，大正方形的邊長(zhǎng)為a+b，所以面積為（a+b）2，還可以表示為四個(gè)全等的直角三角形的面積與一個(gè)邊長(zhǎng)是c的正方形的面積和：4×12ab+c2，所以（a+b）2＝4×12ab故答案為：（a+b）2；4×12ab+c2）；a2+b2＝c（2）能，理由如下：圖2中大正方形的面積為（a+b）2，兩個(gè)小正方形的面積之和為（a+b）2﹣4×12ab＝a2+b2，圖1中小正方形的面積為（a+b）2﹣4×12ab＝a2+b2所以圖1中兩個(gè)小正方形的面積之和等于圖2中小正方形的面積，用關(guān)系式可表示為a2+b2＝c2．【變式2-6】學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)B是正方形ACDE邊CD上一點(diǎn)，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請(qǐng)你寫(xiě)出該方法證明勾股定理的過(guò)程．【分析】連接BF，由圖1可得正方形ACDE的面積為b2，由圖2可得四邊形ABDF的面積為三角形ABF與三角形BDF面積之和，再利用正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等即可證明．【解答】證明：如圖，連接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面積為b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE為等腰直角三角形，∴四邊形ABDF的面積為：12c2+12（b﹣a）（a+b）=12c2+12∵正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，∴b2=12c2+12（b2﹣a2），∴b2=12c2+12b2?12a2，∴∴a2+b2＝c2．題型三構(gòu)造直角三角形求線段的長(zhǎng)題型三構(gòu)造直角三角形求線段的長(zhǎng)【例題3】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD=12BC＝4，根據(jù)勾股定理求出【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，∴BD＝CD=12BC＝4，∴AD即BC邊上的高的長(zhǎng)為3．解題技巧提煉利用勾股定理求非直角三角形中線段長(zhǎng)的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問(wèn)題.【變式3-1】已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的長(zhǎng)．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根據(jù)勾股定理和直角三角形30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半計(jì)算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12在Rt△ACD，根據(jù)勾股定理得，CD=3，∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°∴BD＝AD＝1，則BC＝1+3，∴AB=【變式3-2】△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，則BC的長(zhǎng)為（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不對(duì)【分析】分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據(jù)勾股定理求得BD，CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC＝BD+CD，在鈍角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，則BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，則CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）鈍角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，則BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，則CD＝9，故BC的長(zhǎng)為DC﹣BD＝9﹣5＝4．故選：C．【變式3-3】如圖，在△ABC中，AC＝12，∠C＝45°，∠B＝120°，求BC的長(zhǎng)．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠ADC＝90°，由∠C＝45°，可知△ADC為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求出AD=DC=62，在Rt△ABD中，同理根據(jù)勾股定理可求出BD=26，再利用BC＝DC﹣【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AD＝DC，根據(jù)勾股定理可得：AD2+DC2＝AC2，即2AD2＝AC2＝122，解得AD=DC=62∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，在Rt△ABD中，設(shè)BD＝x，則AB＝2x，根據(jù)勾股定理可得：AD2+DB2＝AB2，即(62)2+x2=(2x)題型四利用勾股定理作長(zhǎng)為題型四利用勾股定理作長(zhǎng)為n的線段【例題4】小明學(xué)了在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的方法后，進(jìn)行了練習(xí)：首先畫(huà)數(shù)軸，原點(diǎn)為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點(diǎn)A，然后過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)P，那么點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．2.2 B．5 C．1+2 D．【分析】根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OB的長(zhǎng)度，即點(diǎn)P在數(shù)軸正半軸表示的數(shù)．【解答】解：在Rt△OAB中，OA＝2，AB＝1，∴OB=O∴以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑與正半軸交點(diǎn)P表示的數(shù)為5．故選：B．解題技巧提煉作長(zhǎng)為n的線段的步驟：（1）設(shè)法將n表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和；（2）構(gòu)造直角三角形，使直角三角形的兩條直角邊等于第一步得出的兩個(gè)整數(shù)的值，斜邊即為長(zhǎng)為n的線段.【變式4-1】如圖，點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A和B分別對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是﹣1和1．過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，以點(diǎn)B為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是．【分析】根據(jù)勾股定理求出AD，進(jìn)而得到OE的長(zhǎng)，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系解答即可．【解答】解：由題意得，BD＝OB＝1，在Rt△ABD中，AD=AB2+BD2=22∴點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是5?1，故答案為：5【變式4-2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在數(shù)軸上，以B點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)表示的數(shù)是．【分析】利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)度，從而可確定點(diǎn)D表示的數(shù)．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，∴AB=B∵以B點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D，∴BD＝BA=5∴點(diǎn)D表示的數(shù)為：3?5．故答案為：3?【變式4-3】如圖（1）在4×4的方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．（1）求圖（1）中正方形ABCD的面積為；邊長(zhǎng)為．（2）如圖（2），若點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣1，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E表示的數(shù)為．【分析】（1）取小正方形的頂點(diǎn)F，構(gòu)造Rt△ABF，根據(jù)勾股定理求得AB2＝10，則AB=10，S正方形ABCD（2）由OA＝1，AE＝AB=10，得OE=10?1，因?yàn)辄c(diǎn)E在數(shù)軸的正半軸上，所以點(diǎn)E【解答】解：（1）如圖（1），取小正方形的頂點(diǎn)F，∵∠F＝90°，AF＝1，BF＝3，∴AB2＝AF2+BF2＝12+32＝10，∴S正方形ABCD＝AB2＝10，AB=10，故答案為：10，10（2）∵點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，∴OA＝1，∵AE＝AB=10，∴OE=∵點(diǎn)E在數(shù)軸的正半軸上，∴點(diǎn)E表示的數(shù)是10?1，故答案為：10題型五利用勾股定理直接求圖形的面積題型五利用勾股定理直接求圖形的面積【例題5】如圖，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，則陰影部分的面積是（）A．13 B．15 C．18 D．19【分析】利用正方形的面積減去三角形的面積即可求出陰影部分的面積．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=AB2?A∵四邊形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S陰影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故選：D．解題技巧提煉求不規(guī)則圖形的面積的方法：首先通過(guò)添加輔助線，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如直角三角形，長(zhǎng)方形等），然后利用規(guī)則圖形的特殊性質(zhì)，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，最后求出面積.【變式5-1】如圖，求等腰三角形ABC的面積．【分析】求三角形ABC的面積，要先求出BC邊上的高，求高我們可以利用勾股定理解決，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)是8，再利用三角形的面積公式即可求出面積．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC=1在Rt△ABD中，AD=A則等腰三角形ABC的面積S=12BC?AD=【變式5-2】如圖在四邊形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求該四邊形的面積．【分析】延長(zhǎng)DA和CB交于O，求出∠O＝30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出OB和OD，根據(jù)勾股定理求出OA和OC，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【解答】解：延長(zhǎng)DA和CB交于O，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠O＝30°，∵AB＝4，DC＝5，∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10，由勾股定理得：OA=82?42=43∴四邊形ABCD的面積是:S△OCD﹣S△OAB=12×OC×CD?12×OA×AB=12×題型六利用圖形面積之間的關(guān)系求圖形的面積題型六利用圖形面積之間的關(guān)系求圖形的面積【例題6】如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面積＝正方形C的面積+正方形D的面積，正方形E的面積＝正方形A的面積+正方形B的面積，則正方形B的面積＝18﹣6﹣4＝8，故選：A．解題技巧提煉與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上的圖形之和等于斜邊上的圖形的面積.【變式6-1】如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝22，以邊AB、AC、BC為直徑畫(huà)半圓，其中所得兩個(gè)月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．42【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求解AC＝CB＝2，進(jìn)而可求得S△ACB＝2，再利用陰影部分的面積＝以AC為直徑的圓的面積+△ACB的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積計(jì)算可求解．【解答】解：在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝22，∴AC2+BC2＝AB2＝8，∴AC＝CB＝2，∴S△ACB=12AC?∴S陰影＝π（AC2）2+S△ACB?12π（AB2）2＝π+2﹣【變式6-2】如圖，S1、S2、S3分別是以Rt△ABC的三邊為直徑所畫(huà)半圓的面積，其中S1＝10π，S2＝6π，則S3＝．【分析】根據(jù)△ABC是直角三角形，得出AC2＝AB2+BC2，再結(jié)合半圓的面積表達(dá)式可判斷出S1＝S2+S3，從而可得出S3．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，所以AC2＝AB2+BC2，∴π（AC2）2＝（AB2）2+（AB2）2，即S1＝S2+又∵S1＝10π，S2＝6π，所以S3＝10π﹣6π＝4π．故答案為：4π．【變式6-3】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為16cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm2．【分析】如圖根據(jù)勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，等量代換即可求四個(gè)小正方形的面積之和．【解答】解：如右圖所示，根據(jù)勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．故答案為：256．題型七用勾股定理進(jìn)行證明題型七用勾股定理進(jìn)行證明【例題7】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求證：AB＝BC；（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根據(jù)勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，進(jìn)而得出AB＝BC；（2）首先證明CDEF是矩形，再根據(jù)△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，進(jìn)而證明結(jié)論．【解答】證明：（1）連接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）過(guò)C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四邊形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE與△CBF中∴∠AEB=∠BFC∠BAE=∠CBFAB=BC，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+解題技巧提煉證明線段的平方關(guān)系的方法：對(duì)于帶有平方運(yùn)算的問(wèn)題，主要思路是找出或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理并結(jié)合等量代換和代數(shù)中的恒等變形進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【變式7-1】已知AD是△ABC的中線，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，試說(shuō)明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，從而證明結(jié)論．【解答】證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【變式7-2】已知，如圖，△ABC中，AB＞AC，AD為BC邊上的高，M是AD邊上任意一點(diǎn)．求證：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．【分析】利用勾股定理列式表示出AD2、MD2，然后整理即可得證．【解答】證明：在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，所以，AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，所以，AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，在Rt△MBD中，MB2﹣BD2＝MD2，在Rt△MCD中，MC2﹣CD2＝MD2，所以MB2﹣BD2＝MC2﹣CD2，所以MB2﹣MC2＝BD2﹣CD2，所以AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．【變式7-3】（2022秋?金湖縣期中）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c．若∠C為直角，則a2+b2＝c2；若∠C為銳角或鈍角，則a2+b2與c2之間有怎樣的大小關(guān)系呢？我們一起進(jìn)行探究吧．（1）閱讀并填空：如圖1，若∠C為銳角，則a2+b2＞c2．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝，∴．即c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，∴a2+b2﹣c2＝2a?CD．∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2﹣c2＞0，∴a2+b2＞c2．（2）解答問(wèn)題：如圖3，若∠C為鈍角，試推導(dǎo)a2+b2與c2的大小關(guān)系．【分析】（1）作AD⊥BC于D，則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2＝AD2，AC2﹣CD2＝AD2，得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，整理得出a2+b2＝c2+2a?CD，即可得出結(jié)論；（2）作AD⊥BC于D，則BD＝BC+CD＝a+CD，由勾股定理得出AD2＝AB2＝BD2，AD2＝AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，整理即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：作AD⊥BC于D，如圖2所示：則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2+2a?CD∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；故答案為：AC2﹣CD2；AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2；（2）解：a2+b2＜c2.理由如下：作AD⊥BC于D，如圖3所示：則BD＝BC+CD＝a+CD，在△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2﹣2a?CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2．題型八利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題題型八利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題【例題8】如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹(shù)相距8m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛行（）A．6m B．8m C．10m D．18m【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的樹(shù)尖進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【解答】解：兩棵樹(shù)的高度差為8﹣2＝6（m），間距為8米，根據(jù)勾股定理可得：小鳥(niǎo)至少飛行的距離=82+62解題技巧提煉生活中的一些實(shí)際問(wèn)題常常通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（直角三角形）來(lái)求解，勾股定理在生活中應(yīng)用廣泛，建立的模型有時(shí)并不是已知兩邊求三邊，而只是告訴了其中一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問(wèn)題.【變式8-1】如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開(kāi)的美麗的紅蓮，它高出水面3尺．突然一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺，則水深尺．【分析】仔細(xì)分析該題，可畫(huà)出草圖，關(guān)鍵是水深、紅蓮移動(dòng)的水平距離及紅蓮的高度構(gòu)成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面即AC為紅蓮的長(zhǎng)．設(shè)水深h尺，由題意得：Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝（h+3）尺，BC＝6尺，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+3）2＝h2+62，解得：h＝4.5．答：水深4.5尺，故答案為：4.5．【變式8-2】如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【分析】先求出AC的長(zhǎng)，利用平移的知識(shí)可得出地毯的長(zhǎng)度．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=AB2?BC2=【變式8-3】如圖，一棵大樹(shù)被臺(tái)風(fēng)掛斷，若樹(shù)在離地面3m處折斷，樹(shù)頂端落在離樹(shù)底部4m處，則樹(shù)折斷之前高（）A．5m B．7m C．8m D．10m【分析】在折斷的大樹(shù)與地面構(gòu)成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜邊的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出大樹(shù)折斷之前的高度．【解答】解：如圖；．在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，由勾股定理，得：AC=AB2+BC2=5米，【變式8-4】如圖，∠AOB＝90°，OA＝36cm，OB＝12cm，一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向滾向點(diǎn)O，另一小球立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．若兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等，則另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程BC是（）cm．A．13 B．20 C．24 D．16【分析】由題意可知BC＝AC，設(shè)BC＝xcm，則OC＝（36﹣x）cm，然后在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：由題意可知，BC＝AC，設(shè)另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程BC為xcm，則AC＝xcm，∴OC＝OA﹣AC＝（36﹣x）cm，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，即122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，即另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程BC為20cm，故選：B．【變式8-5】如圖，一個(gè)梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，測(cè)得AO＝2m．若梯子的頂端沿墻下滑0.5米，這時(shí)梯子的底端也恰好外移0.5米，則梯子的長(zhǎng)度AB為（）A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m【分析】設(shè)BO＝xm，由勾股定理得AB2＝22+x2，CD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，則22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，求出x＝1.5，即可解決問(wèn)題．【解答】解：設(shè)BO＝xm，依題意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，解得：x＝1.5，∴AB=22+1．52=2.5（m），即梯子的長(zhǎng)度05勾股定理隨堂檢測(cè)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，則AC等于（）A．12 B．8 C．4 D．2【分析】由勾股定理可直接得出結(jié)果．【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝8，故選：B．2.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，c，則下列式子成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．a(chǎn)2+c2＝b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝c2 D．b2+c2＝a2【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A，∠B、∠C的對(duì)應(yīng)邊分別是a、b、c，∴a2+b2＝c2．故選：A．3.如圖，三個(gè)正方形圍成一個(gè)直角三角形，圖中的數(shù)據(jù)是它們的面積，則正方形A的面積為（）A．72 B．64 C．60 D．54【分析】根據(jù)勾股定理和正方形面積的公式直接可得答案．【解答】解：由勾股定理得，圖形A的面積為100﹣36＝64，故選：B．4.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，則CD的長(zhǎng)（）A．4 B．2 C．1 D．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠DAC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°，∴∠DAC＝30°，∵CD是腰AB上的高，∴CD⊥AB，∴CD＝AC＝2，故選：B．5.如圖所示，以數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度線段為邊作一個(gè)正方形，以表示數(shù)1的點(diǎn)為圓心、正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）A．﹣ B．1﹣ C．﹣1+ D．﹣1﹣【分析】利用勾股定理求出正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，從而得出答案．【解答】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為1，∴對(duì)角線長(zhǎng)為＝，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是1﹣，故選：B．6.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，則CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】首先利用勾股定理求出AB，