(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)寒假講義07 勾股定理綜合問題+隨堂檢測(cè)（教師版）

第第頁(yè)07勾股定理綜合問題考向一勾股定理與弦圖問題【例1】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若ab=24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．13 B．10 C．15 D．9【答案】D【分析】根據(jù)小正方形的面積=大正方形的面積-4個(gè)直角三角形的面積，求得小正方形的面積，再計(jì)算其算術(shù)平方根即可．【詳解】因?yàn)樾≌叫蔚拿娣e=129?12ab×4=129?48=81【點(diǎn)睛】本題考查了弦圖的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)D形的面積分割法計(jì)算，會(huì)求算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．【例2】如圖所示的正方形圖案是用4個(gè)全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列三個(gè)結(jié)論：①xA．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算公式及勾股定理解答即可．【詳解】解：∵△ABC為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理得：x2由圖可知，x?y=EF，即為小正方形的邊長(zhǎng)，∵正方形EFGH的面積為1∴EF=1，∴x?y=1，故②正確；由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，即4×1∴xy=12，故③正確．∵x+y2=x2+∴正確結(jié)論有①②③．故選：A．【變式1】如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC=6,BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（

）A．52 B．68 C．72 D．76【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，然后利用外圍周長(zhǎng)=4×(BD+AD)即可求解．【詳解】由題意可知CD=2AC=12∵∠BCD=90°,BC=5∴BD=C∴風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76故選：D．【變式2】中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀(jì)我國(guó)漢代的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個(gè)全等的直角三角形可以圍成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則a+b2【答案】49【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到a2+b2=c2，c2=25，a?b2=1然后變形即可得到ab【詳解】解：由圖可得，a2+b2=∵小正方形的面積是1，∴a?b2=1，∴a2∴(a+b)2=a2+2ab+b【變式3】我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來(lái)探究下列兩個(gè)問題：(1)如圖①是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)用它驗(yàn)證勾股定理；(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD(3)如圖①，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求a+b2【答案】(1)見解析；(2)CD=125【分析】（1）分別用兩種方法求出大正方形的面積，根據(jù)面積相等列等式，即可證明；（2）先根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)等面積法即可求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，可得c2=a2+【詳解】（1）∵S大正方形=c2，又∵S大正方形∴c2=2ab+b?a（2）由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，∵S△ABC=12×AC×BC=6∵AB=5，∴CD=6×2（3）根據(jù)（1）有：S大正方形=c2，又∵S大正方形=c∴c2=a∴a2∴a+b2考向二勾股定理與網(wǎng)格問題【例1】如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點(diǎn)上，則C點(diǎn)到AB的距離為（

）A．31010 B．2105 C．【答案】D【分析】連接AC、BC，利用割補(bǔ)法求出S△ABC=4，根據(jù)勾股定理求出AB=10，設(shè)C點(diǎn)到AB的距離為h，根據(jù)S【詳解】解：如圖，連接AC、BC，S△ABC=3×3?1設(shè)C點(diǎn)到AB的距離為h，∵S△ABC=1【變式1】如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（

）A．3?1 B．3?5 C．5 【答案】B【分析】如圖，連接AD，利用勾股定理求得DE即可求解．【詳解】解：如圖，連接AD，則AD=AB=3，∵∠E=90°，AE=2，∴在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=AD【變式2】如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長(zhǎng)為1．網(wǎng)格內(nèi)有△PAB，則∠PAB+∠PBA的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】B【分析】延長(zhǎng)PC到點(diǎn)C，使得PC=AP，連接BC，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△PCB為等腰直角三角形，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AP到點(diǎn)C，使得PC=AP，連接BC，如下圖：由勾股定理得：PC=AP=12+22∴PC=BC，BP2=PC2∴∠PAB＋【變式3】如圖，在8×8的方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，下列結(jié)論正確的有_____（填寫序號(hào)）．①△ABC的形狀是直角三角形；②△ABC的周長(zhǎng)是35③點(diǎn)B到AC邊的距離是2；④若點(diǎn)D在格點(diǎn)上（不與A重合），且滿足S△BCD=S【答案】①②③【分析】根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，即可判斷②，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷①，根據(jù)三角形面積公式即可判斷③和④．【詳解】由勾股定理得：AB=22+12=5，AC=32+42∴AB2+BC2△ABC的周長(zhǎng)是5+5+2設(shè)點(diǎn)B到AC邊的距離是h，由三角形面積公式得：12∴h=AB?BCAC∵S△BCD=S△BCA，∴D點(diǎn)到BC的距離等于A點(diǎn)到BC的距離，如圖所示，D點(diǎn)可以是直線m、n上的任意一點(diǎn)，又∵點(diǎn)D在格點(diǎn)上（不與A故答案為：①②③．考向三勾股定理的應(yīng)用【例1】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是﹣1，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是1，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB．使BC＝1，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是（）A．﹣1 B．+1 C． D．【分析】根據(jù)勾股定理即可算出AC的長(zhǎng)，根據(jù)據(jù)題意可得AC＝AD，由點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是﹣1，即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝，根據(jù)題意可得，AC＝AD，點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是．故選：A．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，，則四邊形ABCD的面積是（）A． B．4 C． D．【分析】連接AC，然后根據(jù)勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ACD的形狀，從而可以求得四邊形ABCD的面積．【解答】解：連接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝，∵CD＝2，，∴CD2+AC2＝（2）2+（）2＝17，AD2＝（）2＝17，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四邊形ABCD的面積是：AB?BC+AC?CD＝×1×2+××2＝1+．故選：D．【例2】為加強(qiáng)疫情防控，云南某中學(xué)在校門口區(qū)域進(jìn)行入校體溫檢測(cè)．如圖，入校學(xué)生要求沿著直線AB單向單排通過(guò)校門口，測(cè)溫儀C與直線AB的距離為3m，已知測(cè)溫儀的有效測(cè)溫距離為5m，則學(xué)生沿直線AB行走時(shí)測(cè)溫的區(qū)域長(zhǎng)度為（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】連接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分別求出AF、CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB的長(zhǎng)．【解答】解：連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，因?yàn)闇y(cè)溫儀的有效測(cè)溫距離為5m，所以AC＝BC＝5m，又測(cè)溫儀C與直線AB的距離為3m，在Rt△ACF中，據(jù)勾股定理得：AF＝＝＝4（m），同理得BF＝4m，所以AB＝8m，即學(xué)生沿直線AB行走時(shí)測(cè)溫的區(qū)域長(zhǎng)度為8m．故選：D．【變式1】如圖，是蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．繩長(zhǎng)BA＝2m，當(dāng)秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得∠ABD＝60°．當(dāng)秋千從A處擺動(dòng)到A′時(shí)，A′B⊥AB，則A′到地面的距離是（﹣）m．【分析】作A'F⊥BD，垂足為F，根據(jù)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2m，∴BC＝AB＝1（m），∵BD＝2.5m，∴CD＝1.5m，如圖，作A'F⊥BD，垂足為F，過(guò)A作AE⊥DH于E．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB和△BFA'中，∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC∵AC∥DE，CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5m；∴A'F＝BC＝1m，∵△ACB≌△BFA'，∴BF＝AC＝AB＝m，作A'H⊥DE，垂足為H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，∴A'H＝BD﹣BF＝（﹣）m，即A'到地面的距離是（﹣）m，故答案為：（﹣）．【變式2】一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路AB以200m/min的速度從A行駛到B，點(diǎn)C為一所學(xué)校，AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，距離拖拉機(jī)250m以內(nèi)會(huì)受噪音影響．（1）學(xué)校C會(huì)受到拖拉機(jī)的噪音影響嗎？為什么？（2）學(xué)校C受到拖拉機(jī)的噪音影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出學(xué)校C是否會(huì)受噪聲影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間．【解答】解：（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響，理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝＝240（m），∵距離拖拉機(jī)250m以內(nèi)會(huì)受噪音影響，∴學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．（2）當(dāng)EC＝250m，F(xiàn)C＝250m時(shí)，正好影響C學(xué)校，∵ED＝＝＝70（m），∴EF＝140（m），∵拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，∴140÷200＝0.7（分鐘），即拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有0.7分鐘．考向四勾股定理與折疊問題【例1】在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．現(xiàn)將△ABC按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則AE的長(zhǎng)是（

A．152 B．254 C．4【答案】B【分析】先利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，再設(shè)AE=x，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出BE=x，CE=8?x，再根據(jù)勾股定理求出x的值．【詳解】解：設(shè)AE=x，則CE=8?x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴BE=x，在RtΔBCE中，BE2=B【變式1】如圖，在等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對(duì)折后，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D處，CE=1，AC=4，則下列結(jié)論：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE與△BDF的周長(zhǎng)相等．一定正確的是（A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】由CE=1，AC=4，得AE=3，由折疊得DE=AE=3，根據(jù)勾股定理得CD的長(zhǎng)，據(jù)此求解可判斷①正確；因?yàn)锽D=4?22，CE=1，所以BD>CE，可判斷②正確；由∠EDF=∠A=∠B=45°，得2∠EDF=90°，再推導(dǎo)出∠CDE=135°?∠BDF，則∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，據(jù)此求解可判斷③正確；根據(jù)勾股定理求得AB【詳解】解：∵CE=1，AC=4，∴AE=AC?CE=3，由折疊得DE=AE=3，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴CD=D∵BD=4?22，CE=1，且4?2∵∠EDF=∠A=∠B=45°，∴2∠EDF=90°，∵∠CDE=180°?∠EDF?∠BDF=135°?∠BDF，∠DFB=180°?∠B?∠BDF=135°?∠BDF，∴∠CDE=∠DFB，∴∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，∴∠CED+∠DFB=2∠EDF，故③正確；∵AB=AC2∴BF+DF+BD=BF+AF+BD=AB+BD=42∵CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=22+4，∴∴△DCE與△BDF的周長(zhǎng)相等，故④正確，綜上，①②③④均正確，故選：D．【變式2】如圖，等腰直角三角形紙片ABC中，∠C=90°，把紙片沿EF對(duì)折后，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D處，點(diǎn)CE=1，AC=4，則下列結(jié)論：①BD>CE；②BC=2CD；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】在等腰Rt△ABC中，可得AC=4=BC，即AB=AC2+BC2=42，由折疊可得，DE=AE=3，即CD=DE2?CE2=22，則有BD=BC?DC=4?22＞1，可判斷①正確；根據(jù)BC=4，【詳解】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴∠A=∠B=45°，AC=4=BC∴AB=AC2+BC2=∴在Rt△CDE中，CD=DE2?CE2∵BC=4，CD=22，∴BC=4，2CD=4，∴BC=2∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=42，∵△DCE的周長(zhǎng)為：CE+DE+CD=1+3+2由折疊可得，DF=AF，∴△BDF的周長(zhǎng)為：DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=42+4?22=4+22，∴【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)F為直角邊AC上一點(diǎn)，連接DF，將△ADF沿DF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，則AF【答案】7【分析】先求出AC，再由翻折可得∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，從而可證∠FEC=90°，設(shè)AF=EF=x，則CF=AC?AF=8?x，用勾股定理即可得答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A由翻折可知：∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，∵∠A+∠B=90°，∴∠DEF+∠DEC=90°，即∠FEC=90°，∴EF設(shè)AF=EF=x，則CF=AC?AF=8?x，∴x2+62=故答案為：74【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A0，4、B6，0．現(xiàn)將ΔACD折疊，使點(diǎn)A落在OB邊的中點(diǎn)A′處，折痕為CD，其中點(diǎn)C在【答案】0，【分析】由A0，4、B6，0，A′是OB邊的中點(diǎn)，可得OA′【詳解】解：∵A0，4、B6，0，∴OA=4，OB=6，∵∵ΔACD折疊得到ΔA′CD，∴AC=A′C，AD=∴AC=OA?OC=4?m，在RtΔA′OC中由勾股定理可得，故答案為：0，【變式2】如圖，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，點(diǎn)M、N分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠A，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P始終落在邊【答案】2或2【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)∠CMB=90°時(shí)，由題意可知點(diǎn)P與C重合，如圖2中，當(dāng)∠【詳解】解：如圖1中，當(dāng)∠CMB=90°時(shí)，由題意可知點(diǎn)P與C在Rt△ACM中，∵∠A=45°，AC=2，∴AM=CM=在Rt△BCM中，∵∠B=30°，CM=2，∴BM=3如圖2中，當(dāng)∠MPB=90°由翻折可知，AM=PM，在Rt△PMB中，∵∠B=30°，∴BM=2PM=2AM∴3AM=AB，∴AM=2+63．綜上所述，滿足條件的AM的值為故答案為：2或2+勾股定理綜合問題課堂檢測(cè)1.利用如圖所示的方法驗(yàn)證了勾股定理，其中兩個(gè)全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC【答案】B【分析】利用梯形面積等于3個(gè)三角形面積之和解答即可．【詳解】解：由題意可得：S△EDA2.如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長(zhǎng)為（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【分析】利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)少走的路長(zhǎng)為AC+BC﹣AB，計(jì)算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），∴少走的路長(zhǎng)為AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故選：D．3.如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大的正方形，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．5 B．13 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)大正方形面積等于4個(gè)三角形面積與小正方形面積和即可求解．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，∴S△=12大正方形的面積為：4S△+小正方形面積=4×3＋1＝13，所以大正方形的邊長(zhǎng)為13．故選B．4.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，若A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC度數(shù)為（

）A．60° B．45° C．30° D．20°【答案】B【分析】在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到AB，BC，AC的長(zhǎng)度，繼而可得出∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：AC=BC=22+∵(5)2+(5故選：B．5.如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則BC邊長(zhǎng)的高為（

）A．152 B．855 C．4【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：∵S△ABC=3×4?∴BC邊長(zhǎng)的高=2×46.如圖，有一個(gè)直角三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為（

）A．3 B．103 C．154【答案】B【分析】設(shè)CD=x，則BD=12?x，根據(jù)折疊可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根據(jù)勾股定理求出AB=13，得出BE=8，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理列出x【詳解】解：設(shè)CD=x，則BD=12?x，根據(jù)折疊可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根據(jù)勾股定理可知，AB=AC2在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得，BD2=BE7.我們知道，三個(gè)正整數(shù)a、b、c滿足a2+b2＝c2，那么，a、b、c成為一組勾股數(shù)；如果一個(gè)正整數(shù)m能表示成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)x、y的平方和，即m＝x2+y2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的結(jié)論：①7是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)；⑤若x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，其中x，y，z，m，n是正整數(shù)，則x，y，z是一組勾股數(shù)．其中正確的結(jié)論是（）A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤【分析】根據(jù)廣義勾股數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①∵7不能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，∴7不是廣義勾股數(shù)，故①結(jié)論錯(cuò)誤；②∵13＝22+32，∴13是廣義勾股數(shù)，故②結(jié)論正確；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和不一定是廣義勾股數(shù)，如5和10是廣義勾股數(shù)，但是它們的和不是廣義勾股數(shù)，故③結(jié)論錯(cuò)誤；④∵5＝12+22，13＝22+32，65＝5×13，65是廣義勾股數(shù)，兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)，如2和2都是廣義勾股數(shù)，但2×2＝4，4不是廣義勾股數(shù)，故④結(jié)論正確；⑤∵x2+y2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+2m2n2+n4，z2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，∴x2+y2＝z2，又知x，y，z，m，n是正整數(shù)，則x，y，z是一組勾股數(shù)．故⑤結(jié)論正確；∴依次正確的是②④⑤．故選：D．8.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC各頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為_____．【答案】2【分析】由勾股定理可求AC,BC,AB的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可證∠ACB=90°，由面積法可求解．【詳解】解：由題意可得：AC=12+22∵AC2+BC2∵S△ABC=12×AB?CD=9.如圖，是臺(tái)階的示意圖，已知每個(gè)臺(tái)階的寬度都是30cm，每個(gè)臺(tái)階的高度都是15cm，連接AB，則AB等于195cm．【分析】作出直角三角形后分別求得直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)，再由勾股定理求得斜邊AB的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖，由題意得：AC＝15×5＝75（cm），BC＝30×6＝180（cm）由勾股定理得：AB＝＝＝195（cm），故答案為：195cm．10.在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖，如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，下列四個(gè)說(shuō)法：①a2+b2=49,②a?b=4,