吉林省“BEST”合作體六校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含解析

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期吉林省“BEST”合作體高三年級(jí)六校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題本試卷分主觀題和客觀題兩部分，共19題，共150分，共2頁.考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，只交答題卡.第I卷客觀題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和四則運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，繼而得的虛部.【詳解】由，則，的虛部為2.故選：D.2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，則a7+a8+a9=（）A.5 B.4 C.9 D.7【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)求解即可.【詳解】由數(shù)列{an}是等差數(shù)列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等差數(shù)列，所以a7+a8+a9=，故選：A3.已知集合，集合，如果命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意得到命題“”為真命題，討論和兩種情況可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}“”為假命題，所以，命題“”為真命題，因?yàn)榧希?，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，由“”得，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.4.已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【詳解】，在上的投影向量為，故選：C5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換得到，得到平移后的解析式，即，整體法求出函數(shù)的值域.【詳解】，圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，上，，則在上的值域?yàn)?故選：C.6.已知數(shù)列滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用累加法可得通項(xiàng)公式，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】因?yàn)椋杂蛇f推公式可得當(dāng)時(shí)，等式兩邊分別相加，得，因?yàn)?，則，而滿足上式，所以，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以的最小值?故選：A.7.已知函數(shù)，若恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，解得和，分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)不等式恒成立得到，從而求出的最大值，得到答案.【詳解】由，解得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；所以，即，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,的最大值為.故選：C.8.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則線段CD長度的最小值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】本題通過正弦定理得到，再通過余弦定理得到，對向量式整理得，通過平方，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系即，利用基本不等式即可求解.【詳解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，兩邊平方，得即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，∴線段CD長度的最小值為．故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象求周期，然后可判斷A；根據(jù)正切函數(shù)定義域可判斷B；代入驗(yàn)證可判斷C；判斷關(guān)于點(diǎn)對稱，然后由圖象的對稱變換可判斷D.【詳解】對A，由圖可知，的最小正周期，則，A正確；對B，由圖象可知時(shí)，函數(shù)無意義，故，由，得，即，B錯(cuò)誤；對C，，C正確；對D，由，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，由圖象對稱變換可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列正確的是（）A.的極小值為B.在單調(diào)遞增C.有三個(gè)實(shí)根D.，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)后可得單調(diào)性，結(jié)合極值定義可知AB正誤；作出圖象，根據(jù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得C正確；將D中問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，由，采用分離參數(shù)的方式可求得D正確.【詳解】由題意知：定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為；對于A，的極小值為，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對于C，的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，由此可得圖象如下圖所示，由圖象可知：與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)根，C正確；對于D，由當(dāng)時(shí)，恒成立可得：，令，則在上單調(diào)遞增，在上恒成立，在上恒成立；在上的最大值為，，D正確.故選：ACD.11.定義在的函數(shù)滿足，且，都有，若方程的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，則下列說法中正確的是（）A.B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為6C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合周期性運(yùn)算求解；對于B：根據(jù)題意結(jié)合圖象分析判斷；對于B：整理可得，結(jié)合圖象分析判斷；對于D：根據(jù)圖象結(jié)合對稱性分析可得數(shù)列是以首項(xiàng)為7，公差為12的等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列知識(shí)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槎加校吹膱D象關(guān)于對稱，令，則，即，可知在內(nèi)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，根據(jù)題意作出在內(nèi)的圖象，如圖所示：對于選項(xiàng)A：因?yàn)槎x在的函數(shù)滿足，則，故A正確；對于選項(xiàng)B：由圖象可知：若數(shù)列為等差數(shù)列，則，此時(shí)與在內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，則，所以公差為6，故B正確；對于選項(xiàng)C：若，則，可得，則，即與在內(nèi)有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若，則與在內(nèi)有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，且，因?yàn)?，則，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為7，公差為12的等差數(shù)列，可得，所以，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)思想確定方程解的個(gè)數(shù)的兩種方法（1）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解；（2）分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．第II卷主觀題三?填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分.12.已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,則的值為______.【答案】##【解析】【分析】對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),代入得出切線斜率.曲線在處的切線傾斜角為可得出斜率.構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】曲線的導(dǎo)數(shù),∵曲線在處的切線的傾斜角為,∴,∴,∴故答案為:.13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)是遞增數(shù)列以及解析式，可得的范圍，又，代入求解，即可求得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，又，所以，解得或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案：.14.如圖1點(diǎn)，我們知道復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示.一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角（以非負(fù)半軸為始邊，所在射線為終邊的角），我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.由復(fù)數(shù)的三角形式可得出，若，則.其幾何意義是把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?如圖2，已知在復(fù)平面的上半平面內(nèi)有一個(gè)菱形，其邊長為，點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為.若，以為邊作正方形，點(diǎn)在下方，若長度為，則復(fù)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，先相繼求出、、對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再求，由條件列方程求，由此可得結(jié)論；【詳解】設(shè)，設(shè)對應(yīng)復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則，，設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以，所以，由已知可得，所以，又，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，解決對于此類問題的關(guān)鍵是對新定義的透徹理解，解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進(jìn)行解決.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為．（1）求的值；（2）若的面積為，且，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡求得，進(jìn)而得到的值；（2）由若的面積為，求得，再由余弦定理，求得，進(jìn)而求得的周長.【小問1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，可得，即，因?yàn)?，可得，所以，即，所?【小問2詳解】解：由（1）知，因?yàn)槿舻拿娣e為，可得，即，解得，又因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，解得，所以，所以的周長為.16.已知函數(shù)．（1）若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明:．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意導(dǎo)函數(shù)在0,+∞（2）根據(jù)題意可得是方程的兩個(gè)不同的根，所以再代入化簡，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值，進(jìn)而可證明不等式.【小問1詳解】在0,+∞上恰有兩個(gè)不同的解，令，所以解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】證明：由（1）知是方程的兩個(gè)不同的根，所以所以，令，令在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．17.已知數(shù)列中，，且，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，數(shù)列是等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為.【解析】【分析】（1）由關(guān)系證明數(shù)列為等差數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)數(shù)列的公比為，由條件列方程求，，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)論.（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】由已知當(dāng)，時(shí)，，，所以，又，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，又，所以，所以當(dāng)，時(shí)，，又，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，【小?詳解】由（1），所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，所以.18.已知函數(shù).（1）若的定義域?yàn)?，求的取值范圍；?）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意轉(zhuǎn)化為在R上恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，需使即得；（2）先判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得對任意恒成立，即對任意恒成立，則需使，就參數(shù)的取值分類討論函數(shù)的最小值即得的范圍.【小問1詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)镽，可得，在R上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，需使，解得，即的取值范圍為；【小問2詳解】設(shè)，則在定義域內(nèi)是增函數(shù)，因，,故對任意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，，依題意，對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則需使，因函數(shù)圖象的對稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故由，解得，不合題意，舍去；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，因，故.綜上，的取值范圍是.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍：（ⅱ）若滿足，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）（i）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論參數(shù)和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）（?。├脜?shù)分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，數(shù)形結(jié)合即可；（ⅱ）由已知，設(shè)，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可求額，再利用的單調(diào)性可求得，進(jìn)而求得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】（?。┯?，得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而當(dāng)時(shí)，恒成立，且，由有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的正根，亦即直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，因