理論力學(xué)課件-第10章

第10章動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用10.1動(dòng)量矩的計(jì)算10.2動(dòng)量矩定理10.3剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量10.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程10.5質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理及

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程思考題習(xí)題

10.1動(dòng)量矩的計(jì)算

10.1.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M某瞬時(shí)的動(dòng)量是mv，質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的矢徑是r，類似于空間問題中力對點(diǎn)之矩，如圖10-1所示，我們將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv對O點(diǎn)之矩，稱為質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的動(dòng)量矩，記為

mO(mv)=r×mv

(10-1)

質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的動(dòng)量矩是矢量，其方位垂直于r和mv所決定的平面，指向按右手法則來確定。圖10-1類似于力對點(diǎn)之矩和力對通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系，可以得到質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mv對固定軸x，y，z之矩的表達(dá)式為

(10-2)

在國際單位制中，動(dòng)量矩的單位是kg·m2/s。10.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，任取固定點(diǎn)Ｏ，質(zhì)點(diǎn)系對O點(diǎn)的動(dòng)量矩LO定義為各質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)動(dòng)量矩的矢量和，即

LO=∑LOi=∑ri×mivi

(10-3)

質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對任一軸矩的代數(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動(dòng)量矩，即

Lz=∑Lzi

(10-4)10.1.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩

設(shè)剛體以角速度ω繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖10-2所示。剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)Mi的質(zhì)量為mi，與轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為ri，速度為vi。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，vi在垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸z的平面內(nèi)，大小為vi=riω，于是質(zhì)點(diǎn)Mi對z軸的動(dòng)量矩為

Lzi=miviri=mir2iω圖10-2而整個(gè)剛體對z軸的動(dòng)量矩等于所有質(zhì)點(diǎn)對z軸動(dòng)量矩之和，即

Lz=∑Lzi=∑miviri

=ω∑mir2i

令Jz=∑mir2i，稱為剛體對軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則有

Lz=Jzω

(10-5)

即做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩，等于剛體對于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度之乘積。因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量是正標(biāo)量，所以動(dòng)量矩Lz的符號與角速度ω的符號相同。

10.2動(dòng)量矩定理

10.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對固定點(diǎn)O的矢徑為r，動(dòng)量為mv，其上的作用力是F(如圖10-3所示)。質(zhì)點(diǎn)M對O點(diǎn)的動(dòng)量矩為

mO(mv)=r×mv

將此式對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，有圖10-3由于，再由動(dòng)量定理有，因此上式可寫成

而v×(mv)=0，r×F=MO(F)，于是得

(10-6)即質(zhì)點(diǎn)對于任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點(diǎn)的矩。這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。將方程(10-6)投影到固定坐標(biāo)系Oxyz的各軸上，得

(10-7)

即質(zhì)點(diǎn)對于某固定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用力對該軸之矩。10.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分為外力和內(nèi)力，它們的合力分別用Fi(e)與Fi(i)表示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有

這樣的方程共有n個(gè)，相加后得因?yàn)閮?nèi)力總是大小相等、方向相反、成對出現(xiàn)的，所以它們對于任一點(diǎn)之矩的矢量和必等于零，即上式右端第一項(xiàng)

左端為于是得

(10-8)

這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對于同一點(diǎn)取矩的矢量和。將式(10-8)投影到固定坐標(biāo)系Oxyz的各軸上，得

(10-9)

即質(zhì)點(diǎn)系對任一固定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對同一軸之矩的代數(shù)和。這是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的投影形式。

例10-1卷揚(yáng)機(jī)鼓輪質(zhì)量為m，半徑為r，可繞經(jīng)過鼓輪中心Ｏ的水平軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖10-4所示。鼓輪上纏繞一繩，繩的一端掛一質(zhì)量為m1的物體。在鼓輪上作用一矩為M的常力偶，以提升重物，求重物上升的加速度。鼓輪可視為均質(zhì)圓柱體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，繩的質(zhì)量及各處摩擦忽略不計(jì)。圖10-4

解：研究鼓輪與重物構(gòu)成的系統(tǒng)，作用于該質(zhì)點(diǎn)系的外力有：已知的重力m1g、mg及矩為M的力偶；輪軸處的未知約束力F0。約束力F0通過輪軸Oz，因此，如以O(shè)z為矩軸，應(yīng)用動(dòng)量矩定理求解時(shí)，方程中將不包含未知力F0，可直接求

得加速度。

設(shè)重物上升的速度為v，鼓輪的角速度為ω，則整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對于ｚ軸的動(dòng)量矩為因?yàn)棣?v/r，所以

外力對ｚ軸的矩為由動(dòng)量矩定理有

由此可得重物上升的加速度

例10-2水輪機(jī)受水流沖擊繞著通過中心Ｏ的鉛直軸(

垂直于圖平面)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖10-5(a)所示。設(shè)總體積流量為Ｑ，水密度為γ；入口水的流速為v1，出口水的流速為v2，方向分別與輪緣切線成角θ1及θ2(v1和v2都是絕對速度)。假設(shè)水流是恒定的，求水流對水輪機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。圖10-5

解：取兩葉片之間的流體(圖中的陰影部分)作為質(zhì)點(diǎn)系來研究。水在葉片間流動(dòng)時(shí)，由于葉片的作用，各質(zhì)點(diǎn)的速度以及與轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離都隨時(shí)間而變，因而質(zhì)點(diǎn)系對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩也隨時(shí)間而變。求出動(dòng)量矩對時(shí)間的改變率，也就求得水輪機(jī)葉片對質(zhì)點(diǎn)系作用的力矩(重力沿鉛直方向，對動(dòng)量矩沒有影響)。根據(jù)作用與反作用定律，與該力矩轉(zhuǎn)向相反的

力矩就是該質(zhì)點(diǎn)系作用于水輪機(jī)的力矩。所有葉片間的水流作用于水輪機(jī)的力矩之和，就是全部水流作用于水輪機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。設(shè)在瞬時(shí)t，兩葉片間的流體為ABDC(如圖10-5(b)所示)，在瞬時(shí)t+Δt，流體位移至abdc。用Ｌ代表這部分流體的動(dòng)量矩，則兩瞬時(shí)的動(dòng)量矩之差為

ΔLi=Labdc-LABDC

因?yàn)樗魇嵌ǔ５?，abDC部分水流情況沒有改變，從而

ΔLi=LCDdc-LABba

設(shè)轉(zhuǎn)輪有n個(gè)葉片，兩葉片間的流量為Q/n，則ABba與CDdc兩部分流體的體積都是Vi=(QΔt)/n,質(zhì)量都是(γQΔt)/n,而對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩分別是及,

于是由動(dòng)量矩定理得兩葉片間流體所受的力矩為

該部分流體作用于水輪機(jī)的力矩為Mi′=-Mi，全部水流作用于水輪機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩則是10.2.3動(dòng)量矩守恒定律

如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對于某定點(diǎn)O的矩恒等于零，則由式(10-6)可知，質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變，即

mO(mv)=恒矢量

如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對于某定軸的矩恒等于零，則由式(10-7)可知，質(zhì)點(diǎn)對該軸的動(dòng)量矩保持不變(例如Mz(F)=0)，則

mz(mv)=恒量

以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律。由式(10-8)可知，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。同時(shí)由式(10-9)可知，如果,則LO=常矢量(或Lz＝常量)。也就是說，如果質(zhì)點(diǎn)系所受的外力對某一固定點(diǎn)(或固定軸)的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持為常量。這一結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律。

例10-3圖10-6為摩擦離合器的示意圖。在離合器接合之前，飛輪1以角速度ω1轉(zhuǎn)動(dòng)，而輪2靜止不動(dòng)。求：(1)離合器接合以后，兩輪共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。(2)如果經(jīng)過t秒，兩

輪的轉(zhuǎn)速相同，離合器應(yīng)有多大的摩擦力矩？設(shè)輪1和輪2對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2。圖10-6

解：(1)研究飛輪與離合器組成的質(zhì)點(diǎn)系。整個(gè)系統(tǒng)在離合器接合前、后的動(dòng)量矩分別為J1ω1及(J1+J2)ω。因?yàn)檎麄€(gè)系統(tǒng)不受外力矩作用(軸承處的摩擦不計(jì))，所以對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩應(yīng)守恒，于是有

J1ω1=(J1+J2)ω

由此可得

(2)研究飛輪1，有

兩邊取定積分得

代入(1)的結(jié)果中，得

負(fù)號說明飛輪受到的阻力偶矩的轉(zhuǎn)向與ω1的轉(zhuǎn)向相反。

10.3剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

10.3.1剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義

在研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩時(shí)，已經(jīng)得到剛體對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式為

(10-10)

如果剛體的質(zhì)量連續(xù)分布，則可將式(10-10)寫成積分的形式。由此式可見，剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體質(zhì)量的大小及其分布情況，而與剛體的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位為kg·m2。10.3.2常見剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1.均質(zhì)細(xì)長桿對于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

如圖10-7所示的均質(zhì)細(xì)長桿，質(zhì)量為m,其長度是l，單位長度的質(zhì)量是ρ，現(xiàn)在計(jì)算它對通過桿的一端并垂直于直桿的軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在桿上任取一微段dx，其質(zhì)量是dm=ρdx,由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知，直桿對軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(10-11)

其中,m=ρl是直桿的質(zhì)量。圖10-7

2.均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

圖10-8所示的均質(zhì)薄圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量是m，單位長度的質(zhì)量為ρ，在環(huán)上任取一微段，其質(zhì)量是dm，則圓環(huán)對軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

(10-12)圖10-8

3.均質(zhì)薄圓盤對于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

圖10-9所示的均質(zhì)薄圓盤半徑為R，質(zhì)量為m。把圓盤分成許多同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的半徑為r，寬度為dr，則薄圓環(huán)的質(zhì)量為

dm=2πrdrρ

其中，ρ是圓盤單位面積的質(zhì)量。因此圓盤對于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

(10-13)

常見幾何形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量見表10-1。圖10-910.3.3回轉(zhuǎn)半徑(或慣性半徑)

剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以寫成統(tǒng)一的形式：

Jz=mρ2z

(10-14)

其中,m是剛體的質(zhì)量，ρz具有長度量綱，稱為剛體對z軸的

回轉(zhuǎn)半徑(或慣性半徑)，即物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于物體的質(zhì)量與回轉(zhuǎn)半徑的平方的乘積。

由式(10-14)，有

(10-15)

常見幾何形狀均質(zhì)物體的慣性半徑見表10-1。10.3.4平行軸定理

定理：剛體對任何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸之間距離平方的乘積，即

Jz=JzC+md2

(10-16)

證明：取坐標(biāo)系Oxyz和Cx1y1z1，如圖10-10所示，C是剛體的質(zhì)心。由圖可知圖10-10其中有x=x1，y=y1+d，于是有

由于∑mi(x21+y21)=JzC，∑miy1=myC1,yC1=0,∑mi=m,于是得

Jz=JzC+md2

定理證畢。由平行軸定理式(10-16)可知，在所有相互平行的各軸中，剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。

作為平行軸定理的例子，如圖10-11所示，質(zhì)量為m，長度為l的均質(zhì)細(xì)長桿，由式(10-11)知

再由平行軸定理式(10-16)可得，對于zC軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(10-17)圖10-11

例10-4鐘擺簡化模型如圖10-12所示，已知均質(zhì)細(xì)桿和

均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別是m1和m2，桿長為l，圓盤直徑為d，求擺對于通過懸掛點(diǎn)O的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解：擺對于水平軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圖10-12

10.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用有主動(dòng)力F1,F2,…,Fn和軸承的約束力FN1、FN2，如圖10-13所示，這些力都是外力。剛體對轉(zhuǎn)動(dòng)軸ｚ的動(dòng)量矩是Lz=Jzω，設(shè)作用于剛體的所有外力對ｚ軸之矩的和為，根據(jù)動(dòng)量矩定理式(10-9)可得圖10-13考慮到剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不隨時(shí)間而變，又

，所以上式可以寫成

或(10-18)

這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。從這個(gè)方程可以看出，對于不同的剛體，假設(shè)作用于它們的外力對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的矩相同，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz愈大的剛體α就愈小，即愈不容易改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。可見，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。

式(10-18)與質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的微分方程完全相似，因此，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程與質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程的求解方法是相似的。

例10-5為了測定飛輪A對于通過其中心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，采用圖10-14所示的裝置。測得重物由靜止下落一段距離h所需的時(shí)間為τ，試求飛輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。繩子的質(zhì)量以及各處的摩擦忽略不計(jì)，并假定繩子是不可伸長的。飛輪半徑為r，重物的質(zhì)量為m。圖10-14

解：分別研究重物與輪A。

作用于重物的力有重力P＝mg及繩子張力F。

作用于輪A上的力有繩子張力F′、輪A的重力及軸承處的約束力。設(shè)輪A的角加速度為α，物體下落的加速度為a，取通過輪A中心的水平軸為z軸，則

Jzα=F′r=Fr

ma=mg-F從以上兩式中消去F，并注意rα=a，解得

可見物體B勻加速下降，于是由勻加速直線運(yùn)動(dòng)路程公式可得

解得

例10-6圖10-15中的物理擺(或稱為復(fù)擺)的質(zhì)量是m,

C為質(zhì)心，擺對懸掛點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。求擺做微小擺動(dòng)的

周期。

解：假定φ角以逆時(shí)針方向?yàn)檎?。?dāng)φ角為正時(shí)，重力對點(diǎn)O之矩為負(fù)。因此，擺的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為

圖10-15剛體做微小擺動(dòng)，有sinφ≈φ，于是上述轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程改寫成

或該方程的通解為

其中φ0、θ是積分常數(shù)，可由運(yùn)動(dòng)初始條件確定，它們分別稱為角振幅和初相位。擺動(dòng)周期為工程中應(yīng)用該式通過測定零件(例如曲柄、連桿等)的擺動(dòng)周期，以計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例如，欲求曲柄對于軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可將曲柄在軸O處懸掛起來，并且使其做微幅擺動(dòng)，如圖10-16所示。通過測定mg、l和擺動(dòng)周期T，則曲柄對于軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(10-19)

另外，欲求圓輪對于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以用單擺扭振(如圖10-17(a)所示)、三線懸掛扭振(如圖10-17(b)所示)等方法測定扭振周期，根據(jù)各自周期與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖10-16圖10-17

10.5質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理及

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

10.5.1質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

在前面推導(dǎo)動(dòng)量矩定理時(shí)，特別指明矩心(或矩軸)是定點(diǎn)(或定軸)。對于一般的動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)軸，動(dòng)量矩定理的形式較為復(fù)雜。但可以證明，對于質(zhì)心或過質(zhì)心的動(dòng)軸，動(dòng)量矩定理的形式不變。

任取一固定點(diǎn)Ｏ，如圖10-18所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C的矢徑為rC。圖10-18選動(dòng)坐標(biāo)系Cx′y′z′隨同質(zhì)心C做平動(dòng)。將質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)視為隨同質(zhì)心C的平動(dòng)與相對于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的合成結(jié)果。根據(jù)速度合成定理以及質(zhì)點(diǎn)系對于固定點(diǎn)Ｏ的動(dòng)量矩的表達(dá)式，可以推得

LO=rC×mvC+LC

(10-20)

此式表明，質(zhì)點(diǎn)系對任意一點(diǎn)O的動(dòng)量矩，等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)量mvC對于點(diǎn)O的動(dòng)量矩加上此系統(tǒng)對于質(zhì)心C的動(dòng)量矩(矢量和)?，F(xiàn)在應(yīng)用對固定點(diǎn)Ｏ的動(dòng)量矩定理，有

即展開上式，經(jīng)過化簡，最后可得

(10-21)

即質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對質(zhì)心的主矩。這就是質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。它在形式上與質(zhì)點(diǎn)系對于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理完全相同。10.5.2剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

下面應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來研究剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題。

設(shè)剛體在力F1、F2、…、Fn作用下做平面運(yùn)動(dòng)(如圖10-19所示)。圖10-19將平面運(yùn)動(dòng)視為隨同質(zhì)心的平動(dòng)與繞通過質(zhì)心且垂直于平面圖形的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。于是，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可得

(10-22)

其中,m是剛體的質(zhì)量，aC是質(zhì)心的加速度，而MC(Fi(e))是外力對于質(zhì)心的矩。將式(10-22)中第一式投影于x、y軸,可得設(shè)剛體繞Cz′轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，與計(jì)算做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩相似，可以得到剛體對Cz′軸的動(dòng)量矩等于

LC=JCω

其中，JC是剛體對Cz′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。于是，上式可寫為

(10-23)

這就是剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程。應(yīng)用該方程可以求解剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題。

例10-7均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿傾角為θ的斜面滾下，如圖10-20所示。設(shè)輪與斜面間的摩擦因數(shù)為f，試求輪心Ｃ的加速度及斜面對于輪子的約束力。

解：取Oxy坐標(biāo)系如圖所示，作用于輪的外力有重力mg、法向反力FN及摩擦力FS。方向如圖10-20所示。圖10-20輪子的平面運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為

maC=mgsinθ-FS (a)

0=mgcosθ-FN (b)

JCα=FSR (c)

由式(b)可得

FN=mgcosθ下面分兩種情況來討論：

(1)假定輪子與斜面間無滑動(dòng)，這時(shí)FS是靜摩擦力，大小、方向都未知，且

(d)

解式(a)~(d)組成的方程組，可得

FS為正值，表明假設(shè)方向正確，如圖10-20所示。，

(2)假定輪子與斜面間有滑動(dòng)，這時(shí)FS是動(dòng)摩擦力。因輪子與斜面接觸點(diǎn)向下滑動(dòng)，故FS向上，大小為

FS=fFN=mgfcosθ(e)

于是，解由式(a)~(e)組成的方程組，可得要輪子只有滾動(dòng)而無滑動(dòng)，必須FS≤fFN，所以由(1)的結(jié)論有

即f≥

tanθ。

如果f≥

tanθ，表示摩擦力未達(dá)到極限值，輪子只滾不滑，則(1)的解答適用；如果f<

tanθ，表示輪子既滾且滑，則(2)的解答適用。

例10-8均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)

后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖10-21所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解：圓輪在曲面上做平面運(yùn)動(dòng)，受到的外力有重力mg、圓弧表面的法向約束力FN和摩擦力FS。圖10-21假定θ角逆時(shí)針方向?yàn)檎∏芯€軸的正向如圖10-21所示，并設(shè)圓輪以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，在自然軸系中，剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程為

(a)

(b)

(c)由于圓輪只滾不滑，因此角加速度的大小為

(d)

取s為圓輪質(zhì)心的弧坐標(biāo)，則

s=(R-r)θ

因?yàn)?，，?dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，聯(lián)立式(a)、(c)、(d)，可以求得令，則上式改寫為

此方程的解為

s=s0sin(ωnt+β)

式中,s0、β是兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。如t=0時(shí)，s=0，初速度為v0，可以求出最后得質(zhì)心沿著軌跡的運(yùn)動(dòng)方程為

同時(shí)由式(b)可以求得圓輪在滾動(dòng)時(shí)對地面的壓力為

式中右端第一項(xiàng)為附加動(dòng)反力，其中

例10-9汽車沿水平直線軌道行駛時(shí)(如圖10-22(a)所示)，每只后輪(主動(dòng)輪)受一驅(qū)動(dòng)力矩M的作用，驅(qū)動(dòng)力矩是發(fā)動(dòng)機(jī)汽缸內(nèi)的氣體壓力通過傳動(dòng)系統(tǒng)傳到后輪軸上而得到的。已知：車輪半徑為r，每只車輪的質(zhì)量是m1，對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的回轉(zhuǎn)半徑為ρ；車輪對地面的靜摩擦因數(shù)為fS，滾動(dòng)摩阻系數(shù)為δ；車身(連同載貨)的質(zhì)量是m2；空氣阻力為F，試分析車身和車輪的運(yùn)動(dòng)，并確定為使車輪不致滑動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力矩M應(yīng)滿足的條件。圖10-22

解：汽車行駛時(shí)，車身做直線平動(dòng)，車輪做平面運(yùn)動(dòng)。

以整個(gè)汽車作為研究對象，分析其受力情況。除已知的重力m2g、4m1g及空氣阻力F外，還有地面作用于車輪的法向反力2FN1、2FN2，摩擦力2FS1、2FS2及滾動(dòng)摩阻力偶2Mf1、2Mf2。在這里應(yīng)當(dāng)特別注意：由于驅(qū)動(dòng)力矩使后輪(主動(dòng)輪)繞著轉(zhuǎn)動(dòng)軸向前方轉(zhuǎn)動(dòng)，輪子與地面接觸點(diǎn)有向后滑動(dòng)的趨勢，所以摩擦力向前(如圖10-22(b)所示)。前輪是從動(dòng)輪，是后輪的向前滾動(dòng)推動(dòng)著前輪運(yùn)動(dòng)的。前輪與地面接觸點(diǎn)有向前滑動(dòng)的趨勢，所以前輪受的摩擦力向后(如圖10-22(c)所示)。假設(shè)汽車向前運(yùn)動(dòng)的加速度是a，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，應(yīng)有

(m2+4m1)a=2FS1-2FS2-F

2FN1+2FN2-m2g-4m1g=0

第二個(gè)式子只表示鉛直方向的合力等于零，而第一個(gè)式子則明顯告訴我們，使得汽車產(chǎn)生加速度的力是2FS1-2FS2-F。如果汽車原來是靜止的(這時(shí)阻力F＝０)，必須FS1-FS2＞0才能開動(dòng)?？梢?，不論引擎功率多大，要是主動(dòng)輪胎與地面的摩擦力比較小，汽車將無法開動(dòng)。現(xiàn)在分析一只后輪的運(yùn)動(dòng)情況。

后輪的受力圖如圖10-22(b)所示，其中M是驅(qū)動(dòng)力矩，F(xiàn)y1及Fx1是由傳動(dòng)軸傳至后輪的鉛直力及水平力，假定是已知的?，F(xiàn)在寫出車輪的平面運(yùn)動(dòng)微分方程為

(a)

(b)

(c)

其中,Mf1=δFN1。根據(jù)車輪不滑動(dòng)的條件，應(yīng)有

a=rα(d)

將式(d)及Mf1=δFN1代入式(a)及(c)，可解得

(e)

要使車輪沒有滑動(dòng)，必須使FS1≤fSFN1=fS(Fy1+m1g)。于是，由式(e)可得

(f)

這就是為了使車輪不滑動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力矩M所應(yīng)滿足的條件。思考題

10-1一根不可伸長的繩子繞過不計(jì)重量的定滑輪，繩的一端懸掛物塊，另一端有一個(gè)與物塊重量相等的人，如思10-1圖所示，人從靜止開始沿繩子往上爬，其相對速率為u。試問物體動(dòng)還是不動(dòng)？為什么？思10-1圖

10-2兩相同的均質(zhì)滑輪各繞以細(xì)繩，如思10-2圖所示。(a)圖中繩的末端掛一重為mg的物塊；(b)圖中繩的末端作用鉛直向下的力F，設(shè)F＝mg。問兩滑輪的角加速度α是否相同？為什么？思10-2圖

10-3一根細(xì)繩跨過滑輪，繩的兩端分別系一物塊A、B，如思10-3圖所示。設(shè)圓盤對Ｏ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，是否可根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立關(guān)系式Jα=(mA-mB)Rg？為什么？思10-3圖

10-4小球沿傾斜的粗糙桌面滾下(設(shè)無滑動(dòng))，試問：小球在斜桌面上滾動(dòng)時(shí)，是否具有角加速度？小球離開斜桌面后將如何運(yùn)動(dòng)？試做定性說明。

10-5質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，平放在光滑水平面上。若受力情況分別如思10-5(a)、(b)、(c)圖所示，且R＝２r，試問圓盤各做什么運(yùn)動(dòng)？思10-5圖習(xí)題

10-1圓輪質(zhì)量為m，外徑為R，內(nèi)徑為r；輪輻為6根均質(zhì)桿，質(zhì)量各為m′。一繩跨過圓輪，兩端懸掛質(zhì)量分別為m1、m2的重物。設(shè)該瞬時(shí)圓輪以角速度ω繞Ｏ中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求整個(gè)系統(tǒng)對Ｏ的動(dòng)量矩。

10-2如題10-2圖所示，某剛體做平面運(yùn)動(dòng)，圖示平面為其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)平面。已知運(yùn)動(dòng)方程為xC=3t2,yC=4t2,φ=

t3,其中長度以m計(jì)，角度以rad計(jì)，時(shí)間以ｓ計(jì)。設(shè)剛體質(zhì)量為10kg，對于通過質(zhì)心Ｃ且垂直于圖面的慣性半徑ρ＝0.5m，求當(dāng)ｔ＝2s時(shí)，剛體對坐標(biāo)原點(diǎn)的動(dòng)量矩。題10-2圖

10-3如題10-3圖所示，通風(fēng)機(jī)風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)部分對于其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，以初角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣阻力矩M=kω2，

k為比例系數(shù)，問經(jīng)過多少時(shí)間角速度減少為初角速度的一半？在此時(shí)間內(nèi)風(fēng)扇轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？題10-3圖

10-4如題10-4圖所示，均質(zhì)桿AB長l，質(zhì)量為m1，B端附近有一質(zhì)量為m2的小球(小球可視為質(zhì)點(diǎn))，桿上D點(diǎn)系一個(gè)彈簧系數(shù)為k的彈簧，使桿在水平位置保持平衡。設(shè)給小球B一個(gè)微小初位移δ0，而v0=0，試求AB桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。題10-4圖

10-5如題10-5圖所示，已知圓輪的質(zhì)量是40kg，懸掛于扭轉(zhuǎn)剛度為58N·m/rad的鋼桿上，測得周期為2s，求該輪的回轉(zhuǎn)半徑。題10-5圖

10-6一個(gè)半徑為r、質(zhì)量為m1的均質(zhì)水平圓形轉(zhuǎn)臺，可繞通過中心Ｏ并垂直于臺面的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m2的物塊Ａ，按s=at2/2的規(guī)律沿臺的邊緣運(yùn)動(dòng)。開始時(shí)，圓臺是靜止的。求物塊運(yùn)動(dòng)以后，圓臺在任一瞬時(shí)的角速度與角加速度。

10-7如題10-7圖所示，兩摩擦輪質(zhì)量各為m1、m2，半徑分別是R1、R2，在同一平面內(nèi)分別以角速度ωo1與