上海市黃浦區(qū)2023-2024學年八年級上學期期末數學試題含答案及解析

八年級數學（滿分100分，考試時間90分鐘）一、選擇題（本大題共6題，每題3分，滿分18分）1.下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列方程是關于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.3.在實數范圍內因式分解，下列四個答案中正確的是（）A. B.C. D.4.下列命題中，原命題與其逆命題均為真命題的有（）個①全等三角形對應邊相等；②全等三角形對應角相等；③等腰三角形兩條腰上的高相等；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；⑤兩條平行直線被第三條直線所截，截得同旁內角的角平分線互相垂直．A2 B.3 C.4 D.55.如圖，中，，如果要使用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點P，使，那么符合要求的作圖痕跡是（）A. B.C. D.6.如圖，兩點分別在射線上，點在的內部，且，垂足分別為點，且，若，則的長為（）A.10 B.13 C.15 D.17二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7.若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為_____．8.方程的解是______．9.若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是___________________．10.已知函數，那么_______．11.在正比例函數中，當時，那么_______．12.如果反比例函數的圖像，在的范圍內，隨們增大而減小，那么的取值范圍是_______．13.經過定點的圓的圓心的軌跡是_______．14.如果一個直角三角形的一個內角等于，其中一條較長的直角邊長為，那么斜邊的長為______．15.已知正比例函數和反比例函數的比例系數和互為倒數，且正比例函數的圖象經過點．如果，那么當時，的值是_______．16.如圖，在平面直角坐標系中，已知在中，，點們坐標分別是、，則點的坐標是_______．17.連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.如圖1，中，分別是的中點，則，且.試用三角形中位線的性質解決下列問題：如圖2，函數的圖像經過的頂點和邊的中點，分別過作軸，軸，垂足分別為是的中位線.如果點的橫坐標為，則點的坐標為_________.18.已知等腰中，邊的垂直平分線交直線于點，若，則的度數為_______．三、簡答題（本大題5題，每題6分，滿分30分）19計算：．20.解方程：（3x﹣1）2＝4x2．21.某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，該商店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發(fā)現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品降價多少元時，該商品每天的銷售利潤為1200元？22.據醫(yī)學研究,使用某種抗生素治療心肌炎,人體內每毫升血液中的含藥量不少于4微克時,治療有效.如果一患者按規(guī)定劑量服用這種抗生素,服用后每毫升血液中的含藥量(微克)與服用后的時間(小時)之間的函數關系如圖所示:(1)如果上午8時服用該藥物,到時該藥物的濃度達到最大值微克/毫升;(2)根據圖象求出從服用藥物起到藥物濃度最高時y與t之間的函數解析式;(3)如果上午8時服用該藥物,到時該藥物開始有效，有效時間一共是小時．23.已知點在反比例函數的圖象上，正比例函數的圖象經過點和點．（1）求正比例函數的解析式；（2）求兩點之間的距離；（3）若點在軸上，且，則點的坐標為_______（直接寫出答案）四、解答題（本大題3題，第24題5分，第25題7分，第26題8分，滿分20分）24.如圖，已知在中，，是的中點．求證：．

25.如圖，已知在中，，苦點從點出發(fā)，以每秒速度沿折線運動，設運動時間為秒．（請利用尺規(guī)作圖，不要求寫出作法、證明和結論，但要求保留作圖痕跡并標出點）（1）若點在上，且滿足時，在圖（1）中求作符合要求的點，此時_______；（2）若點恰好在角平分線上（點除外），在圖（2）中求作符合要求的點，此時_______．26.如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點E，DF是△ABD的中線，且CE=2，DE=4，AE=8．（1）求證：；（2）求DF的長．五、綜合題（本大題第（1）小題2分，第（2）小題2分，第（3）小題4分，滿分8分）27.如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形是矩形，且，，．反比例函數（）的圖象分別交、于點E、點F．（1）求反比例函數的解析式；（2）連接、、，求的面積；（3）是否存在x軸上的一點P，使得是不以點P為直角頂點的直角三角形？若存在，請求出符合題意的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

八年級數學（滿分100分，考試時間90分鐘）一、選擇題（本大題共6題，每題3分，滿分18分）1.下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是同類二次根式的定義，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式，據此先化簡二次根式，再根據同類二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：A、與是同類二次根式，符合題意；B、與不是同類二次根式，不符合題意；C、與不是同類二次根式，不符合題意；D、與不是同類二次根式，不符合題意；故選A．2.下列方程是關于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據一元二次方程的定義逐項判斷即可得．【詳解】A、方程中的不是整式，不滿足一元二次方程的定義，此項不符題意；B、方程可整理為，是一元一次方程，此項不符題意；C、方程滿足一元二次方程的定義，此項符合題意；D、當時，方程不是一元二次方程，此項不符題意；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程，熟記一元二次方程的概念是解題關鍵．3.在實數范圍內因式分解，下列四個答案中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】從題中可以看出多項式非一般方法可以解出，可以將式子變成關于x的一元二次方程進行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【詳解】解：令，解得，，所以，故選：C．【點睛】本題主要考查的是利用特殊方法進行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解題的關鍵．4.下列命題中，原命題與其逆命題均為真命題的有（）個①全等三角形對應邊相等；②全等三角形對應角相等；③等腰三角形兩條腰上的高相等；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；⑤兩條平行直線被第三條直線所截，截得的同旁內角的角平分線互相垂直．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】本題主要考查真假命題、逆命題及等腰三角形的性質、實數的性質．本題考查了首先寫出各個命題的逆命題，再進一步判斷真假即可．【詳解】解：①全等三角形對應邊相等，原命題是真命題；逆命題為：對應邊相等的兩個三角形全等，逆命題不是真命題；②全等三角形對應角相等，原命題是真命題；逆命題為：對應角相等的兩個三角形全等，逆命題不是真命題；③等腰三角形兩條腰上的高相等，原命題是真命題；逆命題為：有兩條高相等的三角形是等腰三角形，逆命題是真命題；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等，原命題是真命題；逆命題為：如果兩個實數的平方相等，那么它們相等的平方相等，逆命題不是真命題；⑤兩條平行直線被第三條直線所截，截得的同旁內角的角平分線互相垂直，原命題是真命題；逆命題為：兩條直線被第三條直線所截，截得的同旁內角的角平分線互相垂直，則這兩條直線平行，逆命題是真命題．原命題與其逆命題均為真命題的有③⑤，共2個．故選：A．5.如圖，中，，如果要使用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點P，使，那么符合要求的作圖痕跡是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由和可得，點P在線段的垂直平分線上，因此這道題就轉化成了作線段的垂直平分線，與的交點即為點P．【詳解】∵，而，∴，∴點P在線段的垂直平分線上，即點P為線段的垂直平分線與的交點．故選：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線定理的逆定理以及尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．6.如圖，兩點分別在射線上，點在的內部，且，垂足分別為點，且，若，則的長為（）A.10 B.13 C.15 D.17【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，先證明得到，則，進一步證明得到，則．【詳解】解：，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選B．二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7.若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為_____．【答案】x≥5【解析】【分析】根據二次根式有意義的條件得出x?5≥0，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式．熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．8.方程的解是______．【答案】，【解析】【分析】先移項，再根據因式分解法，可得答案．【詳解】解：移項，得：，因式分解，得：，∴或，解得：，．故答案為：，．【點睛】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程的關鍵是分解因式．9.若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是___________________．【答案】且【解析】【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式列不等式組求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴且，解得且．故答案為：且．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義、一元二次方程根的判別式等知識點，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根是解答本題的關鍵．10.已知函數，那么_______．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了求函數值，分母有理化，根據題意把代入進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．11.在正比例函數中，當時，那么_______．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了求正比例函數解析式，二次根式的除法計算，根據當時，得到，由此可得．【詳解】解：∵在正比例函數中，當時，，∴，∴，故答案為：2．12.如果反比例函數的圖像，在的范圍內，隨們增大而減小，那么的取值范圍是_______．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數圖象的性質，對于反比例函數，當時，其函數圖象經過第一、三象限，在每個象限內y隨x增大而減小，當時，其函數圖象經過第二、四象限，在每個象限內y隨x增大而增大，據此可得，解之即可得到答案．【詳解】解：∵反比例函數的圖像，在的范圍內，隨們增大而減小，∴，∴，故答案為：．13.經過定點的圓的圓心的軌跡是_______．【答案】直線【解析】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，由于該圓圓心到點P和到點Q的距離相等，則到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上，據此可得經過定點的圓的圓心的軌跡是直線．【詳解】解：∵一個圓經過定點，∴該圓圓心到點P和到點Q的距離相等，∴該圓圓心在線段的垂直平分線上，∴經過定點圓的圓心的軌跡是直線，故答案為：直線．14.如果一個直角三角形的一個內角等于，其中一條較長的直角邊長為，那么斜邊的長為______．【答案】【解析】【分析】根據較長的直角邊長為，直角三角形的一個內角等于，可設所對的邊長為x，然后根據勾股定理可得斜邊的長【詳解】∵直角三角形的一個內角等于，其中一條較長的直角邊長為，∴較長的直角邊對應的角度是，∴設所對的邊長為x，則斜邊長為：，根據勾股定理得：，解得：，∴斜邊長為：，故答案為：【點睛】本題主要考查了勾股定理在解直角三角形中的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵15.已知正比例函數和反比例函數的比例系數和互為倒數，且正比例函數的圖象經過點．如果，那么當時，的值是_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了求正比例函數解析式，求反比例函數值和求正比例函數值，利用待定系數法求出，進而求出，則，再把代入中求出y的值即可．【詳解】解：∵正比例函數圖象經過點，∴，∴，∴∵正比例函數和反比例函數的比例系數和互為倒數，∴，∴∵，∴，∴當時，，故答案為：．16.如圖，在平面直角坐標系中，已知在中，，點們坐標分別是、，則點的坐標是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，坐標與圖形．過點作于點，與軸交于點，根據等腰三角形的性質得出，再根據勾股定理可以得出，從而即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，與軸交于點，，點的坐標分別是，，，，，，，，，，點的坐標為：，故答案為：．17.連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.如圖1，中，分別是的中點，則，且.試用三角形中位線的性質解決下列問題：如圖2，函數的圖像經過的頂點和邊的中點，分別過作軸，軸，垂足分別為是的中位線.如果點的橫坐標為，則點的坐標為_________.【答案】【解析】【分析】先求出點B的坐標，根據三角形的中位線得到CE=2即點C的縱坐標為2，再代入中求出點E的橫坐標.【詳解】∵點的橫坐標為，且點B在上，∴將x=3代入，得y=4，∴B(3，4)∴BD=4，∵CE是的中位線,∴=2，∴點C的縱坐標為2，將y=2代入中，得x=6，∴C(6，2).故答案為：.【點睛】此題考查反比例函數的性質，點在反比例圖象上時，點的坐標符合函數關系式，代入解析式即可確定點的橫坐標或是縱坐標，解題中三角形的中位線的利用是解題的關鍵.18.已知等腰中，邊的垂直平分線交直線于點，若，則的度數為_______．【答案】或或【解析】【分析】本題主要考查了等邊對等角，線段垂直平分線的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，分當是銳角三角形時，當是鈍角三角形時，三種情況畫出對應的圖形，根據線段垂直平分線的性質得到，再根據等邊對等角得到，再根據角度之間的關系進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，當是銳角三角形時，且點D在線段上，∵點D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴；如圖所示，當是銳角三角形時，且點D在線段的延長線上，∵點D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴；如圖所示，當是鈍角三角形時，點D在線段的延長線上，∵點D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∴；綜上所述，的度數為或或．故答案為；或或．三、簡答題（本大題5題，每題6分，滿分30分）19.計算：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，熟知二次根式的混合計算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式．20.解方程：（3x﹣1）2＝4x2．【答案】x1＝1，【解析】【分析】利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：由題意可知：3x﹣1＝2x或3x﹣1＝﹣2x，解得x1＝1，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．21.某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，該商店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發(fā)現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品降價多少元時，該商品每天的銷售利潤為1200元？【答案】每件商品降價10元時，該商品每天銷售利潤為1200元．【解析】【分析】設每件商品降價x元，根據“平均每天可售出20件，每件盈利40元，銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出關于x的一元二次方程，解之，根據實際情況，找出盈利不少于25元的答案即可．【詳解】解：設每件商品降價元，根據題意，得解這個方程得，由，得的值答：每件商品降價10元時，該商品每天的銷售利潤為1200元．【點睛】本題考查了一元二次方程應用，正確找出等量關系，列出一元二次方程是解題的關鍵．22.據醫(yī)學研究,使用某種抗生素治療心肌炎,人體內每毫升血液中的含藥量不少于4微克時,治療有效.如果一患者按規(guī)定劑量服用這種抗生素,服用后每毫升血液中的含藥量(微克)與服用后的時間(小時)之間的函數關系如圖所示:(1)如果上午8時服用該藥物,到時該藥物的濃度達到最大值微克/毫升;(2)根據圖象求出從服用藥物起到藥物濃度最高時y與t之間的函數解析式;(3)如果上午8時服用該藥物,到時該藥物開始有效，有效時間一共是小時．【答案】（1）12，8；（2）；（3）10，5.【解析】【分析】（1）根據函數圖象可知，當時，取得最大值，且最大值為8，即可求得本問；（2）根據圖象可得，從服用藥物起到藥物濃度最高時，與之間的函數解析式為圖象中的正比例函數那段，將圖象上代入即可得；（3）由題意，求出時，在正比例函數上的值，即可解；又因時，，所以藥物有效時間總共為小時.【詳解】（1）由函數圖象可知，當時，取得最大值，且最大值為8則如果上午8時服用該藥物，到時該藥物的濃度達到最大值8微克/毫升故答案為：12，8；（2）根據圖象可得，需要求的是時，正比例函數那段，設，將代入得：解得：則所求的與之間的函數解析式為；（3）把，代入題（2）所求函數解析式得，解得從圖象中可得，時，由題意得治療有效則如果上午8時服用該藥物，到時該藥物開始有效，有效時間一共是小時故答案為：10，5.【點睛】本題考查了一元一次函數的實際應用，看懂圖象、理解題意是解題關鍵.23.已知點在反比例函數的圖象上，正比例函數的圖象經過點和點．（1）求正比例函數的解析式；（2）求兩點之間的距離；（3）若點在軸上，且，則點的坐標為_______（直接寫出答案）【答案】23.正比例函數的解析式為；24.、兩點之間的距離為；25.或【解析】【分析】（1）設正比例函數解析式為，把點的坐標代入反比例函數解析式求出的值，從而得到點的坐標，然后代入正比例函數解析式求解即可；（2）把點的坐標代入正比例函數解析式求出，根據兩點間的距離公式即可得到結論；（3）設，根據題意得到，解方程即可求解．【小問1詳解】解：設正比例函數解析式為，點在反比例函數的圖象上，，解得，的坐標為，正比例函數圖象經過點，，解得，正比例函數的解析式為；【小問2詳解】解：正比例函數圖象經過點，，點，、兩點之間的距離為；【小問3詳解】解：設，，，，即，解得或8，或，故答案為：或．【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求自變量函數的解析式，反比例函數的對稱性，兩點間的距離，圖象上點的坐標適合解析式是解題的關鍵．四、解答題（本大題3題，第24題5分，第25題7分，第26題8分，滿分20分）24.如圖，已知在中，，是的中點．求證：．

【答案】見解析【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質．證明，推出，再利用“三線合一”的性質即可求解．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的中點，∴．25.如圖，已知在中，，苦點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設運動時間為秒．（請利用尺規(guī)作圖，不要求寫出作法、證明和結論，但要求保留作圖痕跡并標出點）（1）若點在上，且滿足時，在圖（1）中求作符合要求的點，此時_______；（2）若點恰好在的角平分線上（點除外），在圖（2）中求作符合要求的點，此時_______．【答案】（1）作圖見詳解，（2）作圖見詳解，【解析】【分析】（1）根據中垂線性質可知，作的垂直平分線，與交于點，則滿足，在中，用勾股定理計算出，再用表示出，則，在中，利用勾股定理建立方程求；（2）過作于點，作出的角平分線，由角平分線性質可得，由題意，則，在中，利用勾股定理建立方程求.【小問1詳解】作的垂直平分線，與交于點，與交于點，是的垂直平分線，，，，由題意，，，．【小問2詳解】作的平分線，過作于點，如圖所示，平分，，，在和中，，，由題意，則，在Rt△ABD中，，，．【點睛】本題考查了勾股定理,垂直平分線的性質和角平分線的性質，熟練運用垂直平分線的性質和角平分線的性質，找出線段長度，利用勾股定理建立方程是解本題的關鍵．26.如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點E，DF是△ABD的中線，且CE=2，DE=4，AE=8．（1）求證：；（2）求DF的長．【答案】（1）