數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義下冊(cè)（適合藝術(shù)生、基礎(chǔ)生一輪復(fù)習(xí)）第47講離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差含答案及解析

第47講離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，常用字母，…表示．離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的概念設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為，，…，，X取每一個(gè)值(i＝1，2，…，n)的概率，則下表稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列.…………有時(shí)也用等式表示X的分布列．（2）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①(i＝1，2，…，n)；②．3．必記結(jié)論（1）隨機(jī)變量的線性關(guān)系若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．（2）分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用①利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．②隨機(jī)變量所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為：…………（1）稱(chēng)為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．（2）稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．5．均值與方差的性質(zhì)若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且；6．二項(xiàng)分布的期望、方差：若，則,.【題型一：離散型隨機(jī)變量分布列】1．（黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.20.10.10.3若隨機(jī)變量，則等于（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.72．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是（）A． B．C．[－3，3] D．[0，1]3．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，…，10，且，則的值為（）A． B． C．110 D．554．（全國(guó)）袋中裝有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量，則ξ所有可能取值的個(gè)數(shù)是（）A．25 B．10 C．15 D．95．（全國(guó)）拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為，則“”表示試驗(yàn)的結(jié)果為（）A．第一枚為5點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)B．第一枚大于4點(diǎn)，第二枚也大于4點(diǎn)C．第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)D．第一枚為4點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)6．（全國(guó)）若為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量的分布列為012則的最大值為（）A．1 B． C． D．27．（全國(guó)高二單元測(cè)試）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：123則的充要條件是（）A． B． C． D．8．（河南高二期末（理））若隨機(jī)變量的分布列如下表，則的最大值是（）A． B． C． D．9．（黑龍江哈爾濱三中高二月考）已知隨機(jī)變量的概率分布如下：12345678910則（）A． B． C． D．10．（全國(guó)）已知隨機(jī)變量的分布列如表所示.0123若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型二：離散型隨機(jī)變量的均值和方差】1．（全國(guó)高二單元測(cè)試）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為123則的數(shù)學(xué)期望（）A． B．2 C． D．32．（全國(guó)高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的方差為（）A． B． C． D．3．（黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考）已知一組數(shù)據(jù)的方差是1，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，，的方差是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的方差，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．55．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為，.則等于（）A．6 B．9C．3 D．46．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足，則＝（）A．6 B．8C．18 D．207．（天津市薊州區(qū)擂鼓臺(tái)中學(xué)）為了展示中華漢字的無(wú)窮魅力，傳遞傳統(tǒng)文化，提高學(xué)習(xí)熱情，某校開(kāi)展“中國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)”的活動(dòng)為響應(yīng)學(xué)校號(hào)召高二9班組建了興趣班，根據(jù)甲、乙兩人近期8次成績(jī)所得數(shù)據(jù)分別為甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);（2）現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加比較合適?8．（四川南充·（理））隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上一面的點(diǎn)數(shù)為.（1）求的分布列；（2）求和.9．（福建省永春第二中學(xué)高二期末）設(shè)隨機(jī)變量具有分布列：12345求這個(gè)隨機(jī)變量的與10．（浙江麗水·高二課時(shí)練習(xí)）為降低霧霾等惡劣氣候?qū)用竦挠绊?，某公司研發(fā)了一種新型防霧霾產(chǎn)品．每一臺(tái)新產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前都必須進(jìn)行兩種不同的檢測(cè)，只有兩種檢測(cè)都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售．已知該新型防霧霾產(chǎn)品第一種檢測(cè)不合格的概率為，第二種檢測(cè)不合格的概率為，兩種檢測(cè)是否合格相互獨(dú)立．（1）求每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品不能銷(xiāo)售的概率；（2）如果產(chǎn)品可以銷(xiāo)售，則每臺(tái)產(chǎn)品可獲利40元；如果產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每臺(tái)產(chǎn)品虧損80元（即獲利元）．現(xiàn)有該新型防霧霾產(chǎn)品3臺(tái)，隨機(jī)變量表示這3臺(tái)產(chǎn)品的獲利，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．11．（浙江麗水·高二課時(shí)練習(xí)）某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：89100．40．40．2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為．（1）求該運(yùn)動(dòng)員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．12．（甘肅城關(guān)·蘭州一中高三月考（理））現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（Ⅲ）用，分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

第47講離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，常用字母，…表示．離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的概念設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為，，…，，X取每一個(gè)值(i＝1，2，…，n)的概率，則下表稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列.…………有時(shí)也用等式表示X的分布列．（2）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①(i＝1，2，…，n)；②．3．必記結(jié)論（1）隨機(jī)變量的線性關(guān)系若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．（2）分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用①利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．②隨機(jī)變量所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為：…………（1）稱(chēng)為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．（2）稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．5．均值與方差的性質(zhì)若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且；6．二項(xiàng)分布的期望、方差：若，則,.題型一：離散型隨機(jī)變量分布列1．（黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為012340.20.10.10.3若隨機(jī)變量，則等于（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【詳解】因?yàn)椋曰?故選：A2．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是（）A． B．C．[－3，3] D．[0，1]【答案】B【詳解】解：由題意得：設(shè)隨機(jī)變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，由，解得.所以公差的取值范圍是.故選：B3．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，…，10，且，則的值為（）A． B． C．110 D．55【答案】B【詳解】∵隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝故選：B.4．（全國(guó)）袋中裝有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量，則ξ所有可能取值的個(gè)數(shù)是（）A．25 B．10 C．15 D．9【答案】D【詳解】由題意得：兩個(gè)球的號(hào)碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個(gè).故選：D5．（全國(guó)）拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為，則“”表示試驗(yàn)的結(jié)果為（）A．第一枚為5點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)B．第一枚大于4點(diǎn)，第二枚也大于4點(diǎn)C．第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)D．第一枚為4點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)【答案】C【詳解】拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為X，所以“X>4”即“X=5”，表示試驗(yàn)的結(jié)果為第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)，故選：C6．（全國(guó)）若為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量的分布列為012則的最大值為（）A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】由題分布列的性質(zhì)，可得且，解得，又由，所以的最大值為.故選：B.7．（全國(guó)高二單元測(cè)試）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：123則的充要條件是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由離散型隨機(jī)變量X的分布列知：當(dāng)EX=2時(shí)，，解得P1=P3，當(dāng)P1=P3時(shí)，P1+P2+P3=2P1+P2=1.EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2.∴EX=2的充要條件是P1=P3.故選：C.8．（河南高二期末（理））若隨機(jī)變量的分布列如下表，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由分布列的性質(zhì)，得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選：.9．（黑龍江哈爾濱三中高二月考）已知隨機(jī)變量的概率分布如下：12345678910則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，可知，所以.故選：C.10．（全國(guó)）已知隨機(jī)變量的分布列如表所示.0123若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由隨機(jī)變量的分布列知，的可能取值為0，1，4，9，且，，，，∵，∴實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.故選：B.題型二：離散型隨機(jī)變量的均值和方差1．（全國(guó)高二單元測(cè)試）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為123則的數(shù)學(xué)期望（）A． B．2 C． D．3【答案】A【詳解】.故選：A.2．（全國(guó)高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的方差為（）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)?，所?故選：D.3．（黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考）已知一組數(shù)據(jù)的方差是1，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，，的方差是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D設(shè)，依題意得，則，即另一組數(shù)據(jù)，，，，，的方差是.故選：D4．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的方差，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C.故選：C.5．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為，.則等于（）A．6 B．9C．3 D．4【答案】A由題意得,.故選：A.6．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足，則＝（）A．6 B．8C．18 D．20【答案】C【詳解】∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.故選:C.7．（天津市薊州區(qū)擂鼓臺(tái)中學(xué)）為了展示中華漢字的無(wú)窮魅力，傳遞傳統(tǒng)文化，提高學(xué)習(xí)熱情，某校開(kāi)展“中國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大會(huì)”的活動(dòng)為響應(yīng)學(xué)校號(hào)召高二9班組建了興趣班，根據(jù)甲、乙兩人近期8次成績(jī)所得數(shù)據(jù)分別為甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);（2）現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加比較合適?【答案】（1）甲、乙的平均數(shù)、中位數(shù)分別為{75，73}、{75，74}；（2）甲成績(jī)穩(wěn)定.【詳解】（1）甲的平均數(shù)為=(68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位數(shù)為(72+74)÷2=73，乙的平均數(shù)為=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位數(shù)為(73+75)÷2=74.（2）甲的方差為s12=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+(72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+(85-75)2]÷8=35.5，乙的方差為s22=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2]÷8=41，∵s12<s22，∴甲成績(jī)穩(wěn)定.8．（四川南充·（理））隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上一面的點(diǎn)數(shù)為.（1）求的分布列；（2）求和.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）3.5；2.92.【詳解】（1）由題意，的可能取值為且各點(diǎn)面的概率均為，∴的分布列為123456（2）；.9．（福建省永春第二中學(xué)高二期末）設(shè)隨機(jī)變量具有分布列：12345求這個(gè)隨機(jī)變量的與【答案】3，27【詳解】，因?yàn)?，，所以?0．（浙江麗水·高二課時(shí)練習(xí)）為降低霧霾等惡劣氣候?qū)用竦挠绊?，某公司研發(fā)了一種新型防霧霾產(chǎn)品．每一臺(tái)新產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前都必須進(jìn)行兩種不同的檢測(cè)，只有兩種檢測(cè)都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售．已知該新型防霧霾產(chǎn)品第一種檢測(cè)不合格的概率為，第二種檢測(cè)不合格的概率為，兩種檢測(cè)是否合格相互獨(dú)立．（1）求每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品不能銷(xiāo)售的概率；（2）如果產(chǎn)品可以銷(xiāo)售，則每臺(tái)產(chǎn)品可獲利40元；如果產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每臺(tái)產(chǎn)品虧損80元（即獲利元）．現(xiàn)有該新型防霧霾產(chǎn)品3臺(tái)，隨機(jī)變量表示這3臺(tái)產(chǎn)品的獲利，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為【詳解】（1）設(shè)事件表示“每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品不能銷(xiāo)售”事件表示“每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品能銷(xiāo)售”所以所以（2）根據(jù)（1）可知，“每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品能銷(xiāo)售”的概率為“每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品不能銷(xiāo)售”的概率為所有的可能取值為：，，，則所以的分布列為所以則11．（浙江麗水·高二課時(shí)練習(xí)）某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：89100．40．4