安徽高中教科研聯(lián)盟2025屆高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

安徽高中教科研聯(lián)盟2025屆高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，則的極大值點為()A． B． C． D．2．已知，，，，．若實數(shù)，滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)（）A．有最大值，無最小值 B．有最大值，有最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值3．已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個相異的實數(shù)根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．4．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為（）A．2 B．4 C．5 D．65．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．6．若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．在正方體中，點，，分別為棱，，的中點，給出下列命題：①；②；③平面；④和成角為.正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．9．甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④10．若函數(shù)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．11．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．12．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承，普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟(jì)，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從編號為，，，的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.14．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為__________．15．在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_______．16．現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.19．（12分）某單位準(zhǔn)備購買三臺設(shè)備，型號分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品，提供設(shè)備的商家規(guī)定：可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設(shè)備使用過程中，隨時單獨(dú)購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺，調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率，各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立.（1）求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件還是21件易耗品？20．（12分）2019年6月，國內(nèi)的運(yùn)營牌照開始發(fā)放.從到，我們國家的移動通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對的消費(fèi)意愿，2019年8月，從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類用戶分布情況如下：用戶分類預(yù)計升級到的時段人數(shù)早期體驗用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級時間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較，可得出下圖的關(guān)系（例如早期體驗用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗用戶的）.（1）從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級到的概率；（2）從樣本的早期體驗用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中愿意為升級多支付10元或10元以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐，能否認(rèn)為樣本中早期體驗用戶的人數(shù)有變化？說明理由.21．（12分）2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時，求的值．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個零點，且；（2）若當(dāng)時，不等式恒成立，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點即可.【詳解】因為，故可得，令，因為，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點為.故選：A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

判斷直線與縱軸交點的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【詳解】由，，所以可得.，所以由，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖所示：由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選：B【點睛】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.3、A【解析】=,當(dāng)時時,單調(diào)遞減，時,單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),

當(dāng)時，恒成立，時,單調(diào)遞增且,方程R)有四個相異的實數(shù)根.令=則,,即.4、B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得：的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足，可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關(guān)系如圖所示，可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5、B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo)，利用求得參數(shù)m，再用計算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.6、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由題意得出，進(jìn)而可求得實數(shù)的值，并對的值進(jìn)行檢驗，即可得出結(jié)果.【詳解】，則，，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點不為，則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.所以，，即，解得或.①當(dāng)時，令，得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：此時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，不合乎題意；②當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出，在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進(jìn)行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、C【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長為，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，，.①，，所以，故①正確.②，，不存在實數(shù)使，故不成立，故②錯誤.③，，，故平面不成立，故③錯誤.④，，設(shè)和成角為，則，由于，所以，故④正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8、D【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運(yùn)行，即可求出答案.【詳解】運(yùn)行程序，，

，，，，，結(jié)束循環(huán)，故輸出，故選：D.【點睛】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，條件分支結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.9、A【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯誤；,,則,故②錯誤,③正確；顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).10、B【解析】因為對A不符合定義域當(dāng)中的每一個元素都有象，即可排除；對B滿足函數(shù)定義，故符合；對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對D因為值域當(dāng)中有的元素沒有原象，故可否定．故選B．11、B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項和公式得【詳解】解：因為，由等差數(shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項和，則．故選：．【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應(yīng)用，如.12、D【解析】

先求得名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，由此能求出概率.【詳解】解：從編號為，，，的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，分別為：，，，，，，，.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】試題分析：根據(jù)題意，記白球為A，紅球為B，黃球為，則一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點：古典概型概率15、【解析】

先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進(jìn)而可得球的面積.【詳解】取的外心為，設(shè)為球心，連接，則平面，取的中點，連接，，過做于點，易知四邊形為矩形，連接，，設(shè)，.連接，則，，三點共線，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半徑；二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.16、【解析】

由題意容積，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析即得解.【詳解】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點也是最大值點，此時.故答案為：【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號即可，由此證明出所證不等式成立.【詳解】（1）.當(dāng)時，由，解得，此時；當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）要證，即證，因為，，所以，，，.所以，.故所證不等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解，同時也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類討論思想以及推理能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為，求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析：（I）當(dāng)時，化為，當(dāng)時，不等式化為，無解；當(dāng)時，不等式化為，解得；當(dāng)時，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設(shè)可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為．由題設(shè)得，故．所以a的取值范圍為19、（1）（2）應(yīng)該購買21件易耗品【解析】

（1）由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨(dú)立事件概率公式進(jìn)而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費(fèi)用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設(shè)該單位一個月中三臺設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.（2）以題意知,X所有可能的取值為；；；由（1）知,,若該單位在購買設(shè)備的同時購買了20件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,；；；；；若該單位在肋買設(shè)備的同時購買了21件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,；；；；,所以該單位在購買設(shè)備時應(yīng)該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨(dú)立事件的概率,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.20、（1）（2）詳見解析（3）事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗用戶沒有發(fā)生變化，詳見解析【解析】

（1）由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級到，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨(dú)立事件的概率計算公式，分別求得相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級到的概率估計為樣本中早期體驗用戶和中期跟隨用戶的頻率，即.（2）由題意的所有可能值為，記事件為“從早期體驗用戶中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生愿意為升級多支付10元或10元以上”，事件為“從中期跟隨用戶中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生愿意為升級多支付10元或10元以上”，由題意可知，事件，相互獨(dú)立，且，，所以，，，所以的分布列為0120.180.490.33故的數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”，那么.回答一：事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗用戶沒有發(fā)生變化.回答二：事件發(fā)生概率小，所以可以認(rèn)為早期體驗用戶人數(shù)增加.【點睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望的求解及應(yīng)用，對于求離散型隨機(jī)變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可能取值，計算得出概率，列出離散型隨機(jī)變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計算出數(shù)學(xué)期望，其中列出離散型隨