2023-2024學年八年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題157 分式章末題型過關卷（人教版）含解析

2023-2024學年八年級數(shù)學上冊舉一反三系列第15章

分式章末題型過關卷

【人教版】

考試時間：60分鐘:滿分：100分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋

面廠，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2022?河北?一模）只把分式『中的m,八同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，則

5n

此時Q的值可以是下列中的（）

A.2B.mnC.-D.

3

2.（3分）（2022?全國?八年級單元測試）計算學（一鴻門的結果是（)

次

A.-xB.--C.-D.

yyy

3.（3分）（2022?全國?八年級專題練習）若分式方程上+2=寫有增根，貝丸的值是（）

x-2x-2

A.1B.-1C.2D.-2

4.（3分）（2022?山東威海?期中）設口=-、一3，q=二，一士，則p,q的關系是（）

ra+lb+11a+1b+1r1

A.p=qp>q

C.p=-qD.p<q

5.（3分）（2022?浙江?杭州市文瀾中學七年級期中）一件工程，甲單獨做需要。小時完成，乙單獨做需要

物小時完成.若甲、乙一人合作完成此項工作，需要的時間是（）

A.匕心小時B.0+工）小時C.二一小時D.0■小時

2\ab/a+ba+b

6.（3分）（2022?廣西貴港?八年級期中）已知乙一乙二3,則分式型出3的值為（）

xyx-xy-y

A.8B.-C.-D.4

27

7.（3分）（2022?甘肅?臨澤縣第三中學九年級期中）《九章算術》中記載：“今有兔先走一百步，犬追之

二百五十步，不及三十步而止.問犬不止，復行幾何步及之？〃大意是說：兔子先出發(fā)100步，然后狗出發(fā),

狗跑了250步后，距離兔子還有30步，問：如果狗不停的話，再跑多少步可以追到兔子？若設如果狗不停

的話，再跑“步可以追到兔子，則可列方程為（）

250X、250x-30-250X+30仁250X

AA.—=---B.—=---C.—=---D.—=---

180X+30180X180X180X-30

>2y+l

8.（3分）（2022?重慶巴蜀中學九年級階段練習）若關于y的不等式組12&的解集為）《一4,且

關干x的分式方程=+4=二的解是非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）

x-33-x

A.12B.14C.19D.21

9.（3分）（2022?山東?濟南外國語學校九年級）設xWO,yWO,zWO,則三數(shù)%+匕y+Lz+"|」（）

yzx

A.都不大于一2B.都不小于一2

C.至少有一個不大于2D,至少有一個不小于2

10.（3分）（2022?湖南?衡陽市成章實驗中學八年級階段練習）三知函數(shù)/?（%）=指，其中/（a）表示％=。時

對應的函數(shù)值，如/（。二后，/'（2）=展，則/?（/）+f（/）+./G）+f（l）+f（2）+...+f（2021）+f（2022）

的值為（）

A.2022B.2021C.4043D.4042

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2022?遼寧大連?八年級期末）已知彳=5=9則2*=

234yz----

12.（3分）（2022?浙江舟山?七年級期末）在分式汽中，當_________時，分式有意義；當％=___________,

3X-5

分式的值為零.

13.（3分）（2022?遼寧?本溪滿族自治縣教師進修學校八年級期末）若關于x的分式方程？+工=0的解

xx-a

為《二4,則常數(shù)〃的值.

14.（3分）（2022?湖南?邵陽市第六中學八年級階段練習）若關于x的分式方程汽=:無解，則Q=_______.

ZX—43

15.（3分）（2。22?湖南長沙?七年級階段練習）已知叫黑=妥+^其中兒B,C,。為常數(shù),

則4+8+C+。=.

16.（3分）（2022?吉林?九年級專題練習）設a,b,c,d都是正數(shù)，且s=—+高七匕+高,

那么S的取值范圍是

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2022?山東?龍口市教學研究室八年級期中）（1）化簡：土蕓------；

x2-lx-1

（2）先化簡，再求值：竺等+G+2-三），其中％=-1.

x-2X-2’

18.（6分）（2022?天津東麗?八年級期末）解分式方程

（1）-=--3

x-22-x

（2）—=-----

2-xx-23/_12

19.（8分）（2022?山東?招遠市教學研究室八年級期中）關于上的分式方程三+尸與==3;

x-2（x+l）（x-2）x+1

⑴若方程的增根為％=2,求機的值：

⑵若方程有增根，求〃?的值；

⑶若方程無解，求〃?的值.

20.（8分）（2022?湖南?永州市冷水灘區(qū)京華中學八年級階段練習）永州市萬達廣場籌建之初的一項挖土

工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，每施工一天，需付甲工程隊工程款2.4萬元，付乙工程隊工

程款1.8萬元，工程領導小組根據甲、乙兩隊的投標書測算，可有三種施工方案：

（方案一）甲隊單獨完成這項工程，剛好按規(guī)定工期完成；

（方案一）乙隊單獨完成這項工程要比規(guī)定工期多用6天：

（方案三）若由甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好按規(guī)定工期完工.

⑴請你求出完成這項工程的規(guī)定時間；

⑵如果你是工程領導小組的組長，為了節(jié)省工程款，同時又能如期完工，你將選擇哪一種方案?說明理由.

21.（8分）（2022?福建?福州日升中學八年級期末）閱讀：

對于兩個不等的非零實數(shù)。，b,若分式（x-a）@-b）的值為零,則x=Q或x=b.又因為空色空處=

XX

X"了）"。匕=X+B-（Q+匕）,所以關于X的方程X+B=Q+b有兩個解，分別為=6.

應用上面的結論解答下列問題：

⑴方程％+￡=6有兩個解，分別為=2,x2-.

（2）關于x的方程％+探="累茨的兩個解分別為%=2,外=.

⑶關于x的方程2%+￡—二2幾的兩個解分別為力,不（*1〈?。?，求竽1的值.

22.（8分）（2022?全國?八年級專題練習）我們定義：如果兩個分式力與8的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù),

則稱4是B的“雅中式〃,這個常數(shù)稱為4關于B的“雅中值

如分式力=與，昨三,力一8二三一三二爺=幺等=2,則4是B的“雅中式”，4關于B的“雅中值”

x+1x+1x+1X+lx+lX+1

為2.

（1）已知分式。=空當，判斷C是否為。的“雅中式"，若不是，請說明理由：若是，請證明并

X+2/+以+4

求出C關于。的“雅中值〃；

（2）己知分式P二芻，Q=三，P是Q的“雅中式〃，且尸關于Q的“雅中值〃是2,x為整數(shù)，且“雅中式”P的

值也為整數(shù)，求E所代表的代數(shù)式及所有符合條件的％的值之和；

（3）已知分式M=（""）（"%一=--5）,（麻氏c為整數(shù)），M是N的“雅中式"，且M關于N的“雅中

XX

值〃是1,求Q-b+C的值.

23.（8分）（2022?江蘇省新海高級中學七年級期中）有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：

第一個數(shù)是名；第二個數(shù)是白；第三個數(shù)是七；

對任何正整數(shù)九，第n個數(shù)與第（n+1）個數(shù)的和等于就不

（1）經過探究，我們發(fā)現(xiàn)：士二：-j^=1-1

1X2122X3233x434

設這列數(shù)的第5個數(shù)為a,那么①②③則________________正確（填序號）.

565656

（2）請你觀察第1個數(shù)、第2個數(shù)、第3個數(shù)，猜想這列數(shù)的第九個數(shù)可表示（用含幾的式子表示），

并且證明：第九個數(shù)與第（九+1）個數(shù)的和等于益而：

（3）利用上述規(guī)律計算：--—+—-—+—-—+???+」-的值.

2020x20182018x20162016x20144x2

第15章分式章末題型過關卷

【人教版】

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2022?河北?一模）只把分式當中的m，n同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，則

5n

此時Q的值可以是下列中的（）

A.2B.mnC.—D.m￡

3

【答案】c

【分析】根據分式的性質，分子分母的m，71同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，則Q為含血或71的

一次單項式，據此判斷即可.

【詳解】解：喈^中的血，幾同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，

瞅為含m或n的一次單項式，故只有C符合題意.

故選C.

【點睛】本題考查了分式的性質，掌握分式的性質是解題的關鍵.

2.（3分）（2022?全國?八年級單元測試）計算學（一，（乎的結果是（）

A.-xB.——C.-D.—

yyy

【答案】A

【分析】分式的運算首先要分清運算順序，在這個題目中，首先進行乘方運算，然后統(tǒng)一成乘法運算，最

后進行約分運算.

【詳解】原式=-乙，?馬=7.

yyx2

故選A

【點睛】在計算過程中需要注意的是運算順序.分式的乘除運算實際就是分式的約分.

3.（3分）（2022?全國?八年級專題練習）若分式方程七+2二號有增根，貝味的值是（）

x-2x-2

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】使分母等于0的未知數(shù)的值是分式方程的增根，即x=2,將x=2代入化簡后的整式方程中即可求出

k的值.

【詳解】1+2=kx-l

x-2

去分母得：1+2(x-2)=kx-l,

整理得:2x-2=kx,

團分式方程有增根,

Bx=2,

將x=2代入2x-2=kx,

2k=2,

k=l,

故選：A.

【點睛】此題考查分式方程的增根，正確理解增根的意義得到未知數(shù)的值是解題的關鍵.

4.（3分）（2022?山東威海?期中）設2二言7-57，Q=^77—^77,則P，q的關系是（）

A.p=qB.p>q

C.p=—qD.p<q

【答案】C

【分析】判斷p,q的關系，可以計算（p+q）的結果，由此即可求解.

【詳解】解：根據題意得，

ab,11a+1b+1.__

P+O=---------------1---------------=--------------=1—1=0>

lfa+1a+1a+1b+1a+1b+1

（3p,q的關系是互為相反數(shù)，

故選：C.

【點睛】本題主要考查分式的加減混合運算，掌握分式加減法法則是解題的關鍵.

5.（3分）（2022?浙江?杭州市文瀾中學七年級期中）一件工程，甲單獨做需要。小時完成，乙單獨做需要

》小時完成.若甲、乙二人合作完成此項工作，需要的時間是（）

A.竺^小時B.0+工）小時C.」-小時D.a小時

2\ab/a+ba+b

【答案】D

【分析】由題意可得甲單獨做每小時完成工程的L乙單獨做每小時完成工程的:，然后根據工作時間=工作

ab

總量+工作效率列式計算即可.

【詳解】解：團甲單獨做每小時完成工程的2,乙單獨做每小時完成工程的3

ab

（3甲、乙二人合作完成此項工作需要的小時數(shù)是由=懸（小時）；

故選：D.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式，讀懂題意，找到題目中隱含的數(shù)量關系是解本題的關鍵.

6.（3分）（2022?廣西貴港?八年級期中）已知工一工=3,則分式空吆型的值為（）

xyx-xy-y

A.8B.-C.-D.4

27

【答案】B

【分析】把己知整理成％-y=-3xy,再整體代入求解即可.

【詳解】解送\=3,即丁=3,

0y-x=3xy,即％-y=-3%y,

p+xy-5y5(x-y)+xy_5x(-3xy)+「y_-14xy7

",

x-xy-y(x-y)-xy(-3xy)-xy-4xy2

故選：B.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，在本題中能理解整體思想并且將x-y=-3xy整體代入是解題關鍵.

7.（3分）（2022?甘肅?臨澤縣笫三中學九年級期中）《九章算術》中記載："今有兔先走一百步，犬追之

二百五十步，不及三十步而止.問犬不止，復行幾何步及之？〃大意是說：兔子先出發(fā)100步，然后狗出發(fā),

狗跑了250步后，距離兔子還有30步,問：如果狗不停的話，再跑多少步可以追到兔子？若設如果狗不停

的話，再跑x步可以追到兔子，則可列方程為（）

A啊=」B啊=2C型=2D型=上

*180X+301807.'180X■180X-30

【答案】D

【分析】根據題意可得狗與繚子的速度比為250：180,設狗再跑x步，可追上兔子，此時免子跑的步數(shù)為:

（A-30）步，根據題意列出方程，即可求解.

【詳解】解：兔子先出發(fā)100步，狗跑了250步后距兔子30步，

團兔子跑了250-100+30=180（步），

即狗與兔子的速度比為250：180,

設狗再跑x步，可追上兔子，此時兔子跑的步數(shù)為：（x-30）步，根據題意得：

250x

180X-30

故選:D

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，根據題意得到狗與兔子的速度比為250：180是解題的關鍵.

（芽>2y+l

2

8.（3分）（2022?重慶巴蜀中學九年級階段練習）若關于y的不等式組y_a的解集為戶一4,且

----<1

3

關于x的分式方程M+4=F的解是非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是（）

X-33-X

A.12B.14C.19D.21

【答案】C

【分析】先解分式方程得%=4-手，再由題意可得竽W0,且手工3,可求得H11且分2而且1+Q為3的

倍數(shù)，；再解不等式組，結合題意可得。>-7,則可得所有滿足條件的整數(shù)a有-4,-1,5,8,11,求和

即可.

【詳解】解：=+4=2，

x-33-X

（l-x）+4（x—3）=-a?

3x=ll-a>

ll-a.1+a

X=——=4.....-

33

???方程的解為非負整數(shù),

.Ml-a>0,手為整數(shù),

???aWll，而且1+a為3的倍數(shù),

又：為⑶

---黃3,

二。=2,

.?。411且a學2,而且1+Q為3的倍數(shù),

‘華N2y+1①

"〈I②’

由①得y-4,

由②得yVa+3,

???不等式組的解集為A—4,

0a-3>-4,

：.a>-7

.?.符合條件a的整數(shù)有-4,-1,5,8,11,

符合條件的所有整數(shù)a的和為=(-4)+(-1)+5+8+11=19,

故選：C.

【點睛】本題考查分式方程的整數(shù)解，一元一次不等式組的解集，熟練掌握一元一次不等式組的解集取法,

分式方程的解法，注意分式方程增根的情況是解題的關鍵.

9.(3分)(2022?山東?濟南外國語學校九年級)設xWO,yWO,zW0,則三數(shù)%+:，y+Jz+3中()

A.都不大于一2B.都不小于一2

C.至少有一個不大于一2D.至少有一個不小于一2

【答案】C

【分析】首先把三個數(shù)相加，得到(％+?+('+；)+1+3,由己知可知之+：工-2,y+：W—2,z+^<

-2,可得％+L+y+」+z+工工一6,據此即可判定.

yyzx

【詳解】解：％+j+y+；+z+3=(X+3)+(y+m+(z+3),

x<0,y<0,z<0,

Ax+-<-2,y+-<-2,z+-<-2,當且僅當為=y=z=—1時，取等號

xyz

???x+-+y+-+z+-<—6>

y'zx

當這三個數(shù)都大于-2時，這三個數(shù)的和?定大于-6,這與%+工+、+工+Z+24-6矛盾，

yzx

.?.這三個數(shù)中至少有一個不大于-2，

故選：C.

【點睛】本題考查了利用不等式的取值及反證法，判定命題的真假，難度比較大.

10.(3分)(2022?湖南?衡陽市成章實驗中學八年級階段練習)三知函數(shù)f(x)-后，其中f(a)表示x-a時

對應的函數(shù)值，如f(l)=忘，f(2)=11r則/(/)+/(/)+jG)+/(l)+/(2)+...+/(202l)+f(2022)

的值為()

A.2022B.2021C.4043D.4042

【答案】C

【分析】首先根據已知條件把所求的式子進行化簡，再代入相關數(shù)值，計算即可.

【詳解】解：0/(i)=A=

31+-a+l

則有：

/島)+/島)+…+，&)

4044?4042.4040..4

I十???+一,

2023202220213

f⑴+f⑵+…+/(2020)+f(2021)+f(2022)

=i+V+戰(zhàn)+島

則原式二+翳+瑞+…+>1+|+?+盛+短

/42\/6240442\

=1+(3+3)+(4+4.

+???+2023+20237

=1+(2023-2)x2

=4043,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)值的計算，計算的關鍵是理解已知條件中的關系式，對每個式子進行化簡.

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11.(3分)(2022?遼寧大連?八年級期末)已知彳=^=3，則―=

234yz-----

【答案】:

O

【分析】設;=；=：=匕則有x=2k,產3Az=4上代入即可求解.

【詳解】設：=：=：=%根據題意有，心0，

則有x=2匕y=3k,z=4匕

,q.xy-x2_(2k)(3k)-(2k)2_6k2_\2_i

yz(3k)(4k)12k26'

故答案為：

o

【點睛】本題考查為了分式的求值，設;=(=：=k是解答本題的關鍵.

12.(3分)(2022?浙江舟山?七年級期末)在分式汽中，當時，分式有意義；當％=

分式的值為零.

【答案】X；X=

*5/

【分析】要使分式有意義，則需要滿足分式的分母不為零，即右-5H0；要使分式的值為零，則需要滿足

分式的分子為零，分母不為零，即〃+1=0,3x-5^0.

【詳解】解：分式有意義，則3X—5H0,即%中豆

分式的值為零，則解得％=-3

故答案為"H1X=~2

【點睛】本題考查分式有意義的條件以及分式值為零的條件，解題的關鍵是掌握分式的分母不為0時分式

有意義，分式的分子為0分母不為。時，分式的值為0.

13.（3分）（2022?遼寧?本溪滿族自治縣教師進修學校八年級期末）若關于x的分式方程三+/-=0的解

xx-a

為%=4,則常數(shù)〃的值.

【答案】10

【分析】根據分式方程的解的定義把44代入原分式方程得到關于。的方程，然后求解即可.

【詳解】解：把》=4代入分式方程々+3=0,得

xx-a

一2二0,

44-a

解得:用10,

經檢驗4=10是方程的解，

故答案為：10.

【點睛】此題考查了分式方程的解和解分式方程，解題的關鍵是注意分式方程分母不能為0.

14.（3分）（2022?湖南?邵陽市第六中學八年級階段練習）若關于工的分式方程會為=就解，則Q=.

【答案】2

【分析】先去分母，將原方程化為整式方程，根據一元一次方程無解的條件看能否得出一類〃值，再根據

分式方程無解的條件看能否得出另外一類。值即可.

【詳解】解：汽=：,

去分母得：3（x-a）=2x-4,

整理得：x=3a-4,

由于此方程未知數(shù)的系數(shù)是1不為0,故無論。取何值時，3（%-a）=2無-4都有解，故此情形下無符合題

意的a值；

由分式方程無解即有增根，可得2A-4=0,得42

把x=2代入％=3a-4,

解得：。=2,故此情形下符合題意的。值為2；

綜上，若要關于x的分式方程三=；無解，。的值為2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了分式力程的解，熟練掌握分式方程及整式方程無解的條件是解題的關鍵.

15.（3分）（2022?湖南長沙?七年級階段練習）已知字要=妾三+鏟々，其中A,B,C,。為常數(shù),

x4+x2+lx2+x+lx2-x+l

則W+8+C+。=.

【答案】6

【分析】由于/+%2+1=（X2+I）2-X2=（X2+1+x）（x2+1-X）?利用這個等式首先把已知等式右邊

通分化簡，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到關于A、8、C、。的方程組,

解方程組即可求解.

6X3+10XAX+B,Cx+D且一/

【詳解】解:--------------=--------------+-------------+/+1=(%2+1)2=(X2+1+x)(x2+1-x),

x4+x2+l--x2+x+lx2-x+l

.6x3+1OX_(Ax+8)(%2+ir)+(cx+D)a2+i+x)

**x*+x2+lx4+x2+l

6x3+10%=(Ax+5)(x2+1-x)+(Cx+D)(x2+1+x)

.?.當x=0時，B+D=0①

當x=1時，A+B+3(C+D)=16(2)

當％=-1時，3(8-4)+。一。二-16③

06x3+10x=(/lx3+Bx2)+(Ax+B)(l-x)4-(Cx3+Dx2)+(Cx+0)(1+x),

即6-+10x=(4+C)%3+Bx2+(Ax+8)(1-x)+Dx2+(Cx+D)(l+x)

出1+C=6④

聯(lián)立①②③④解之得

A=C=3.B=-2、D=2,

二4+B+C+O=6.

故答案為：6.

【點睛】此題主要考查了部分分式的計算，題目比較復雜，解題時首先正確理解題意，然后根據題意列出

關于4、B、C、。的方程組即可解決問題.

16.（3分）（2。22?吉林?九年級專題練習）設a，b,c,d都是正數(shù)，且$=扁+高—

a+c+d'

那么S的取值范圍是

【答案】1<S<2

【分析】根據分式的性質，分別將分母擴大、縮小，通過分式加減，計算即可得到結論.

【詳解】0a,b,c,d都是正數(shù)

a,bc,d.a,bc,aa+b+c+a

=------1------+------1------>--------1--------h--------F-------=-------

a+b+da+b+cb+c+da+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d

bc,d.a,bc,da+bc+d

-----1-----d------<——+---1---F——=---h——=

s=淅+a+b+cb+c+da+c+da+ba+bc+dc+da+bc+d

回1<SV2

故答案為：1<S<2.

【點睛】本題考查了分式的知識：解題的關鍵是熟練掌握分式加減運算的性質，從而完成求解.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2022?山東?龍口市教學研究室八年級期中）（1）化簡：一+2：+1—3：

x2-lx-1

（2）先化簡，再求值：空%+fx+2--）,其中％=-1.

X-2X-2，

【答案】（1）々

X-1

（2）三，

x+32

【分析】（1）根據分式的減法法則計算即可；

（2）根據分式的混合運算法則計算，將分式化簡，再把％=-1代入化簡式計算即可.

(X+1)2

【詳解】解:（1）原式=x

(X-l)(X41)X-l

X+1X

x-l~x-l

X-l

⑵原式=誓+q等

3x(x—3)x—2

x-2(x+3)(x-3)

3x

x+3"

當《二-1時，原式=堇七？=一3

【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則是解題的關鍵.

18.（6分）（2022?天津東麗?八年級期末）解分式方程

（1）-=--3

X-22-X

（2）工=工一^^

2-XX-23*2-12

【答案】⑴無解；（2）尸-，

【分析】（1）兩邊同時乘以x-2化為整式方程，解得x=2后檢驗即可；

（2）先去分母化為一元一次方程，解方程得到再檢驗即可.

【詳解】（1）去分母得：1=^-1-3X+6.

解得：x=2,

經檢驗x=2是增根，分式方程無解：

（2）去分母得：-3（x+2）=3Lv+2）-6+x,

去括號得：-3A-6=3X+6-6+x,

移項合并得：7x=-6,

解得：L、，

經檢驗x=-,是分式方程的解.

【點睛】此題考查解分式方程，按照去分母化為整式方程，再去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的

步驟解方程，得到解后必須代入最簡公分母中檢驗，當未知數(shù)的值使分母為0,則該解不是分式方程的解,

如果不等于0,則該解是原分式方程的解.

19.（8分）（2022?山東?招遠市教學研究室八年級期中）關于工的分式方程

x-27（xT+l）（x-2）x+1

⑴若方程的增根為％=2,求/〃的值；

（2）若方程有增根，求〃?的值；

⑶若方程無解，求〃，的值.

【答案】⑴-3

⑵9或-3

（3）1或9或一3

【分析】（1）根據分式方程的性質先去分母，再移項并合并同類項，結合題意，通過求解一元一次方程,

即可得到答案；

（2）根據分式方程增根的性質，首先得方程的增根為%=-1或乂=2,再通過計算即可得到答案：

（3）結合（1）的結論，根據分式方程和一元一次方程的性質計算，即可得到答案.

【詳解】⑴壬+，，比

x-2（x+l）（x-2）x+1

去分母得：2（%+1）+m無=3（%-2）,

移項并合并同類項，得：（m-l）x+8=U,

當方程的增根為％=2時，（m-l）x2+8=0,

回m=-3；

（2）當方程有增根時，方程的增根為%=-1或%=2,

當%=2時,m=—3,

當《=-1時，（m-l）x（-l）+8=0,

解得：m=9,

0m=9或m=-3；

（3）0（m-l）x+8=0

當方程無增根，且m—1=0時，方程無解，

團得m=1,

當方程有增根，且%=-1時，771=9,方程無解，

當方程有增根，且欠=2時，m=-3,方程無解，

（3當zn=1或m=9或m=—3時，方程無解.

【點睛】本題考查了分式方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握分式方程的性質，從而完成求解.

20.（8分）（2022?湖南?永州市冷水灘區(qū)京華中學八年級階段練習）永州市萬達廣場籌建之初的一項挖土

工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，每施工一天，需付甲工程隊工程款2.4萬元，付乙工程隊工

程款1.8萬元，工程領導小組根據甲、乙兩隊的投標書測算，可有三種施工方案：

（方案一）甲隊單獨完成這項工程，剛好按規(guī)定工期完成；

（方案二）乙隊單獨完成這項工程要比規(guī)定工期多用6天；

（方案三）若由甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好按規(guī)定工期完工.

⑴請你求出完成這項工程的規(guī)定時間；

⑵如果你是工程領導小組的組長，為了節(jié)省工程款，同時又能如期完工，你將選擇哪一種方案？說明理由.

【答案】（1）30天；

⑵選擇方案三，理由為既節(jié)省了工程款且又能如期完工.

【分析】（1）設完成這項工程的規(guī)定時間為X天,則甲隊單獨完成這項工程為X天，乙隊單獨完成這項工程

為a+6）天，然后根據"甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好按規(guī)定工期完工"列分

式方程求解即可；

（2）根據題意可知有方案一和方案三符合條件，然后分別求出方案一和方案三的工程款，然后比較即可解

答.

（1）

解:設完成這項工程的規(guī)定時間為A-天,則甲隊單獨完成這項工程為x天，乙隊單獨完成這項工程為（％+6）天

由題意得：（-+-X5H---x（x—5）=1>解得：x=30

XX+6X+6

經檢驗：％=30是原分式方程的解.

答:完成這項工程的規(guī)定時間為30天.

（2）

解：如期完工時，只有方案一和方案三符合條件

方案一工程款:30X2.4=72（萬元）

方案三工程款:5x（2.4+1.8）+（30-5）x1.8=66（萬元）

（372>66

團選擇方案三.

答:選擇方案三,理由為既節(jié)省了工程款且又能如期完工.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用、列代數(shù)式計算等知識點，靈活運用分式方程解決實際問題是解

答本題的關鍵.

21.（8分）（2022?福建?福州日升中學八年級期末）閱讀：

對于兩個不等的井零實數(shù)a，b,若分式的值為零,貝或％-兒又因為竺吆上處一

XX

〃弋）"?！??—伍+匕）,所以關于X的方程x+B=Q+b有兩個解，分別為%i=a$2=b.

應用上面的結論解答卜列問題：

⑴方程％+1=6有兩個解，分別為勺=2,&=.

（2）關于x的方程”+/=巴黑'的兩個解分別為與=2,x2=.

⑶關于X的方程2x+T=2〃的兩個解分別為勺,&（與＜%2），求竽1的值.

ZX—1ZX2

【答案】（1）4.

(2)—.

2mn

⑶3?

【分析】（1）方程變形后，利用題中的結論確定出方程的解即可;

（2）方程變形后，根據利用題中的結論，確定出心與2的值即可;

（3）方程變形后，根據利用題中的結論表示出為內、X2,代入原式計算即可得到結果.

⑴

解：02x4=8,2+4=6,

團方程”+2=6的兩個解分別為工尸2,m=4.

故答案為：4.

(2)

解：方程變形得：“+學=流+2,

由題中的結論得：方程有一根為2,另一個根為掾

m-n

貝X2=-2mn'

故答案為：巖

⑶

解：方程整理得：2.1+甯2=幾+”1,

得2X一1=〃-1或2x-l=n,

可得力甘，*=等

則原式受.

【點睛】此題考查了分式方程的解，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵.

22.（8分）（2022?全國?八年級專題練習）我們定義：如果兩個分式4與5的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù),

則稱A是8的“雅中式”，這個常數(shù)稱為A關于B的“雅中值〃.

如分式力=衽，B=—,力一8二①一三"=2=空辿=2,則力是B的"雅中式"，力關于B的"雅中值"

x+1x+1x+1x+lX+lX+1

為2.

（1）已知分式。=2，。=奈1判斷C是否為。的“雅中式〃，若不是，請說明理由；若是，請證明并

x+2x2+4X+4

求出C關于D的"雅中值"；

（2）已知分式「二喜，Q=急，P是Q的“雅中式〃，月.P關于Q的“雅中值〃是2,%為整數(shù)，且“雅中式〃P的

值也為整數(shù)，求E所代表的代數(shù)式及所有符合條件的x的值之和；

（3）已知分式M=（"-）（"%N=（。、氏c為整數(shù)），M是N的“雅中式"，且M美于N的“雅中

XX

值''是1，求Q-b+C的值.

【答案】（1）不是，利用見解析；（2）E=18+6居27；（3）16或8或一4或4.

【分析】（1）先化簡D,再計算C-D,再根據"雅中值''的定義可得答案；

（2）由定義可得：&-言=2,整理可得：E的表達式，再化簡P,根據“為整數(shù)，且〃雅中式"P的值也為

整數(shù)，得到：3-%是6的因數(shù)，從而可得答案；

（3）由定義可得：絲但包一絲但父=1,整理可得：（_/,一。+。+4）%+兒一5a=0,從而可得:

T再消去。，結合因式分解可得”c—5）-5（-5）=5,結合a、氏c為整數(shù)，分類討論

后可得答案.

【詳解】解：⑴3蕓筌=篝竽x+3c1

x——+2,C=x——+2

x,1X+3x+2《

:?C-Dn=-------=----=-1,

x+2X+2x+2

二C不是。的“雅中式〃.

（2）P關于Q的"雅中值”是2,

:.P-Q=2,

=?

9-x23-x'

：,E—2x(3+x)=2(9—x2),

:，E=18+6x,

18+6x_6(3+x)6

.%P=

9-x2(3+x)(3-x)3-x

???X為整數(shù)，且"雅中式〃P的值也為整數(shù),

3-%是6的因數(shù)，

二3一％可能是：±1,±2,±3,±6,

???》的值為：一3,0,1,2,4,5,6,9.

???xH±3,

???%的值為：0,1,2,4,5,6,9.

???0+1+2+4+5+6+9=27.

(3)???M是N的"雅中式”，且M關于N的“雅中值”是1,

(x-b)(x-c)(x-a)(x-5)_1

XX

整理得：(-b—c+a+4)x+be-5a=0,

由上式恒成立：

.r-b—c+a+4=0

Ybe—Sa=0

消去a可得：be-5b-5c+20=0,

???be—5b—5c+25=5,

???b(c-5)-5(c-5)=5,

:.(b-5)(c-5)=5,

???a、6、c為整數(shù)

.??b-5,c-5為整數(shù)，

當6—5=1,c—5=5時?b=6,c=10,

止匕時：a=12,

???a—b+c=12-6+10=16,

當6-5=5,c-5=1時，b=10,c=6,

此時：a=12,

Q—b+c=12—10+6=8,

當6—5=-l,c—5=-5時，,匕=4,c=0,

此時：a=0,

:.a—b+c=0—4+0=-4,

當6—5=-5,6:-5=-1時，,匕=04=4,

此時：a=0,

:.a—b+c=0—0+4=4,

綜上：a-b+c的值為：16或8或一4或4.

【點睛】本題考查的是新定義情境下的分式的運算:，分式的化簡，分式的值，解分式方程，因式分解的應

用，方程的整數(shù)解問題，代數(shù)式的值，掌握以上知識是解題的關鍵.

23.（8分）（2022?江蘇省新海高級中學七年級期中）有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：

第一個數(shù)是3；第