2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第15講 長度定值問題含解析

2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第15講長度定值問題

一、解答題

1.已知橢圓：—+/=1,過坐標(biāo)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A,B兩點(diǎn).

3-

（1）求證：O到直線AB的距離為定值.

（2）求』0AB面積的最大值.

2.已知直線1的方程為x=-2,且直線I與x軸交于點(diǎn)M,圓O：/+??2=1與乂軸交于人，B兩點(diǎn)（如

（1）過M點(diǎn)的直線h交圓于P、Q兩點(diǎn)，且O點(diǎn)到直線h的距離為42,求直線h的方程；

2

（2）求以1為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且短軸長為圓O的半徑的橢圓方程；

（3）過M點(diǎn)的圓的切線L,交（2）中的一個(gè)橢圓于C、D兩點(diǎn)，其中C、D兩點(diǎn)在x軸上方，求線段CD

的長.

3.已知橢圓。：工+上=1.

63

（1）直線/過點(diǎn)。（1,1）與橢圓C交于產(chǎn),。兩點(diǎn)，若麗=麗，求宜線/的方程；

（2）在圓O:尤2+y2=2上取一點(diǎn)M,過點(diǎn)M作圓。的切線,與橢圓。交于A8兩點(diǎn)，求IMAI用的

值.

22

4.已知耳，工分別是橢圓C:二十二的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)耳的直線/與橢圓C交于A，B

crb~

兩點(diǎn)，點(diǎn)M（、歷,1）在橢圓。上，且當(dāng)直線/垂直于x軸時(shí)，\AB\=2.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）是否存在實(shí)數(shù)義使得|肺|+忸制=力"；|忸制恒成立.若存在,求出/的值：若不存在,說明理由

5.設(shè)橢I員IC：=+與=1（〃＞抗＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1,3分別是橢

7I'

a-b-

圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=一，且過橢圓右焦點(diǎn)B的直線/與橢圓。交于M、N兩點(diǎn).

2

（1）求橢圓。的方程：

（2）是否存在直線/,使得麗.兩=-2.若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

I八

（3）若A8是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)。的弦，MN〃AB,求證：上崇為定值.

\MN\r

6.已知斜率為々的直線/與橢圓C：1+4=1交于A，3兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為例（1，〃。（，〃＞。）.

（1）證明：&＜一一

2

（2）設(shè)廠為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且麗+麗+麗=（）.證明：|咫|，忸?|，|麗|成等差數(shù)歹iJ，

并求該數(shù)列的公差.

7.己知橢圓。：=+與=1（。＞/?＞（））,離心率e=點(diǎn)G（也,1）在橢圓上.

a~b~2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于

點(diǎn)N,求證：為定值.

8.已知橢圓C:4+4=1（。＞8＞0）的離心率為正，且過點(diǎn)（0/）.

a~b~2

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)A、3為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線/：x=2頁與％軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。是橢圓C上異于A、8的動

點(diǎn)，直線AP、3。分別交直線/于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時(shí)，|。石|?|。/|是否為定值？若是，

請求出該定值；若不是，請說明理由.

22

9.如圖，已知橢圓。：工+匕=1,點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線交橢圓C于另一點(diǎn)A（A點(diǎn)在X軸下

124

方），且線段AB的中點(diǎn)E在直線）'=X上.

（1）求直線AB的方程；

（2）若點(diǎn)P為橢圓C上異于A、B的動點(diǎn)，且直線AP,BP分別交直線＞=%于點(diǎn)M、N,證明：OMQN為

定值.

10.已知橢圓E:三過點(diǎn)（0,1）,且離心率為當(dāng).

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/：y=gx+〃?與橢圓E交于A,C兩點(diǎn)，以AC為對角線作正方形A8CO,記直線/與x軸的

交點(diǎn)為M求證：忸N|為定值.

11.已知橢圓C：(a>b>0)經(jīng)過(1,1)與兩點(diǎn).

（2）過原點(diǎn)的直線/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|加4|二|用回.求證：

112

研.畫+所為定值.

12.已知橢圓。：與+￡=1（〃>〃>0）過點(diǎn)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線與橢圓。分別

交于M,N兩點(diǎn).

（1）證明：當(dāng)/+9從取得最小直時(shí)，橢圓。的離心率為走.

2

（2）若橢圓。的焦距為2,是否存在定圓與直線"N總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明

理由.

13.已知橢圓「：二+4=1（?！地?gt;0）在右、上頂點(diǎn)分別為A、4,尸是橢圓「的左焦點(diǎn)，P型、￡

（1）求橢圓「的方程:

（2）設(shè)宜線/與橢圓「相切于點(diǎn)M（M在第二象限），過。作直線/的平行線與直線〃尸相交于點(diǎn)N,

問：線段MV的長是否為定值？若是，求出該定值：若不是，說明理由.

14.已知點(diǎn)尸?為橢圓鼻+*_=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)，［-L5-J在橢圓上，PQ_Lx軸.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線/：y="+〃］與橢圓交于（1,2）,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，ROA1OB,。到直線/的距離是

否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

22

15.已知橢圓C：^-+^-=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,左焦點(diǎn)為R0為原點(diǎn)，點(diǎn)P為

a2b2

3（

橢圓C上不同于A、3的任一點(diǎn)，若直線雨與P8的斜率之積為-一，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).

4k2；

（1）求橢圓C的方程；

（2）若P點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，直線網(wǎng),P8交），軸于M,N兩點(diǎn)，若直線07與過點(diǎn)M,N的圓G相切.切點(diǎn)

為「，問切線長|。刀是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由.

16.已知橢圓+4=1（。〉〃>0）的離心率為立，且過點(diǎn)4（2,1）.

a~b~2

（1）求。的方程；

（2）點(diǎn)/，/7在。,，旦AA/_LAN,A￡>_LMN,D為垂足,問是否存在定點(diǎn)Q,使得為定值，若

存在，求出Q點(diǎn)，若不存在，請說明理由.

第15講長度定值問題

一、解答題

2

1.已知橢圓：三+）,2=1,過坐標(biāo)原點(diǎn)0作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A,B兩點(diǎn).

3

（1）求證：O到直線AB的距離為定值.

（2）求/OAB面積的最大值.

【答案】（1）見解析；（2）走

2

【分析】

（1）設(shè)A（xi,yi）,B（X2,y2）,若k存在，則設(shè)直線AB：y=kx+m,聯(lián)立橢圓方程，由OA_LOB,得

xiX2+yiy2=O,化簡整理，再由點(diǎn)到直線的距離，即可得到定值；若AB的斜率不存在時(shí)，顯然成立；

（2）運(yùn)用弦長公式，化簡整理，再由基本不等式，即可得到最大值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)|AB|V2也

成立即可.

【詳解】

⑴設(shè)A（xi,yi）,B（X2>y2）?

y=kx+in

若AB的斜率k存在，則設(shè)直線AB：y=kx+m.由〈,得（l+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0,

IJ+3y、3

rlll6km3m?-3

貝IJX1+X2=-------------T，X[X,=-------------?

l+3k212l+3k2

由OA_LOB,得X]X2+yiy2=xiX2+(kxi+m)(kxz+m)=(1+k2)xixz+km(xi+x：)+m2=0,

3|m|Q

將①代入，得4m2=3k?+3,即有曲=弓”2+1),則有原點(diǎn)到直線AB的距離d=7----Y

4Ml+k’2

當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，|xi|=|yi|；可得肉|=尊=<1,依然成立.

所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值塞.

2

(2)|AB|2=(l+k2)(xi-X2)2=(1+k2)[(6km)2-4x3lD]

l+3k2l+3k2

3(9&"O/+i)12k23+————?3+—=4

=-^-——-——^=3+—7---2-=Q,2^1/，6+6

9Ar4i6k2il9k4+6k2+l9k+正+6

當(dāng)且僅當(dāng)9k』t，即1<=±4時(shí)等號成立.

k3

當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)|AB|<2.所以SaOABW，x2x立=

222

即有aOAB面積的最大值為近.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考杳點(diǎn)到直線的

距離公式和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題.

2.已知直線1的方程為x=-2,且直線1與x軸交于點(diǎn)M,圓O：/+y2=i與*軸交于A,B兩點(diǎn)（如

圖）.

（1）過M點(diǎn)的直線h交圓于P、Q兩點(diǎn)，且0點(diǎn)到直線h的距離為Y2,求直線h的方程；

2

（2）求以1為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且短軸長為圓0的半徑的橢圓方程；

（3）過M點(diǎn)的圓的切線12,交（2）中的一個(gè)橢圓于C、D兩點(diǎn)，其中C、D兩點(diǎn)在x軸上方，求線段CD

的長.

【答案】（1）y=±—（x+2）;（2）y+y2=1；（3）1也

【解析】

【分析】

（1）可設(shè)直線/1的方程為y=k（x+2）,由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得;

(2)設(shè)橢圓的方程為「+與=1易得4=1或〃=1,分別可得〃和〃值,可得方程;

/b2

(3)可設(shè)直線A的方程為），='二（"2）和橢圓聯(lián)立可得5/+我+2=0,由弦長公式可得.

3

【詳解】

(1)???。點(diǎn)到直線/1的距離為立.

設(shè)4的方程為曠=4(％+2),.??

，4的方程為y=±^y-(x+2).

(2)設(shè)橢圓方程為1+與=1(。>/7>0),半焦距為C,貝以=2.

a2b2V)

b=l,〃+/=2c，??./=〃2+/=2.，所求橢圓方程為工+y2=]

2-

(3)設(shè)切點(diǎn)為N,則由題意得，橢圓方程為N,

在R/AMON中，MO=2,ON=\,則NNMO=30。，

???4的方程為)，=*(1+2)，代入橢圓]+丁=1中，整理得5/+8X+2=0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的

方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用

韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直

接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.

22

3.已知橢圓。：工+上~=1.

63

(1)直線/過點(diǎn)與橢圓。交于RQ兩點(diǎn)，若而=麗,求直線/的方程；

⑵在圓0:/+y2=2上取一點(diǎn)M，過點(diǎn)”作圓。的切線/與橢圓。交于A3兩點(diǎn)，求的

值.

13

【答案】（1）），=一一x+—；（2）2.

22

【分析】

（1）利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題中求直線方程；

（2）分類討論切線，斜率不存在與存在，利用兩向量垂直其向量的數(shù)量積為零，可證明。進(jìn)而在

R/VOAB中，由與aBOM相似，得|加4|-|加8|=|0時(shí)|2求得答案.

【詳解】

解：（1）設(shè)尸（石,）。。（/,%）,?.,戶萬二萬a「.（1一一凹）=（工2-1,、2-1），即，““

1-乂=y2T

解得％+9=2，x+必=2.

???P,Q兩點(diǎn)在橢圓。上，.?.土+豈=1,江+互=1,

6363

兩式相減，得目7）4+?＜（）『％）5+%）*則口=-1

63冊一公2

113

故直線/的方程為3-1=一不（工一1）,即月=一/不.

乙乙乙

（2）當(dāng)切線/斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，的方程為工=血，

由橢圓C的方程可知，4（72,72）^（72,-V2）,

則礪=（正,0｝。豆=（行，一桓），.?.。4.。方=（），即OA_LO3.

當(dāng)切線/斜率存在時(shí)，可設(shè)，的方程為＞=kx+m.A（孫為），回七,居），

-1^-!—=V2,即加2=2（公+1）,

收+i\）

聯(lián)立/和橢圓的方程，得

△=(4公〃尸一4(1+2F)(2/w2-6)>0

4km

(1+2/)d+4kmx+2m2-6=0,則《

2/n2-6

w-2--公----+--1-

?.?。4=（電.必）.。公=（七.乂）,

22

/.OAOB=毛七+y4y3=+（依+in）（Ax4+m）=^\+k+初z（七+/）+m

22

2m2-6.-4km）（1+巧（2病-6）-4km+療（2、+1）

=（1十%”——；+km；——+nr

2代+12k2+\2k2+]

_3病一642—6_3（2/+2）—6尸—6

2/+12父+1

:.OA±OB.

綜上所述，圓。上任意一點(diǎn)M處的切線交橢圓。于點(diǎn)A8,都有OA_LO"

在R/VO45中，由△04例與.BOM相似，得|MA|-|M8|=|0M/=2.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓中利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題，還考查了直線與橢圓的位置關(guān)系中的定值問題，屬于較難題.

22

4.已知后，尸2分別是橢圓c：；?+與=l（Q>b>0）的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)6的直線/與橢圓C交于A,B

a~b~

兩點(diǎn)，點(diǎn)M（夜,1）在橢圓。上，且當(dāng)直線/垂直于x軸時(shí)，|AB|=2.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù)3使得〔A娟+忸國=必用忸國恒成立.若存在，求出/的值；若不存在，說明理由

【分斤】

（1）根據(jù)題意得到關(guān)于。泊的方程組，求解出的值，則橢圓方程可求;

6制+|班|

（2）根據(jù)條件可得r二,當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直接計(jì)算即可；當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),

設(shè)/：），=攵（X+虛），聯(lián)立直線/與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理形式表示出/,由此確定出是否存在/滿足條

件.

【詳解】

|陰=也=2

a

解：（1）由題意可得〈

解得/=4,〃=2.

22

故橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+上=1.

42

（2）由（1）可知￡卜0,0卜丹（&,0）.

2

A|A￡|十|B￡|

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，|A國=忸用=1=1,則/==2.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為匕則直線/的方程為y=Mx+&），A（X，X），B（X2，）’2）?

y=A（％+四）

,整理得（］卜血左工+以

聯(lián)立《222%2+2+422-4=0,

土+匕=1

142

,4揚(yáng)4攵?u而II［（□~：4?2+T

則mi*+毛=_亦］，%々=布］，從而村―%|=｛（玉+毛）一?丙=2.+1

故|AFJ|+忸制=|AB|=JFli苗-司=：：2：：

乙KI1

由題意可得|八胤=+應(yīng)|,忸制="2+11+拉|.

則|A^M凰=（3+1）卜丙+血住+■+2卜坐三）?

4/+4

因?yàn)橥?|%HMM，所以源1焉1=卷｝=2.

2百1

綜上，存在實(shí)數(shù)4=2,使得M制十|%|=必"忸制恒成立.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用宜線與圓錐曲線聯(lián)立求解相關(guān)問題的易錯(cuò)點(diǎn)：

（1）假設(shè)直線方程的時(shí)候，要注意分析直線的斜率是否存在；

（2）利用公式+一小或j+（￡|.加一司不僅可以求解弦長,同時(shí)還可以求解兩點(diǎn)之間的距

離.

5.設(shè)橢圓C：；+==1沆>0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：<=46）,的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)i,乃分別是橢圓

cTb-

的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=!，且過橢圓右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓C交于M、N兩點(diǎn).

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線/,使得麗.西=-2.若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

（3）若46是橢圓。經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MN//AB,求證:的為?

22

【答案】(1)?+與=1(2)y=JI(x-l)或)，=-血(工-1)(3)定值4

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)確定橢圓的頂點(diǎn)，結(jié)合離心率，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題可知，橢圓的

右焦點(diǎn)為（1,0）,直線/與橢圓必相交.分兩種情況討論：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意；②

設(shè)存在直線/為y=k（x-I）（后0）,與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量條件，即可求得直線/的

方程；（3）設(shè)M（XI,>'I）,N（X2,>,2）>A（X3,y3）,B（XI,54）,求出|MN|與|AB|的長，從而可證結(jié)論.

【詳解】

（1）拋物線C:工2=46）,的焦點(diǎn)為（（）,、萬）

???橢圓C：三十千=1（心心0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：f=4島的焦點(diǎn)重合

???橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，百），即0=6

..cJ一廬1._0

a\a22

22

???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三十匕=1

43

（2）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1,0）,直線/與橢圓必相交.

qo_______3、Q5

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M（1,—）,N（l,----）,OMON=1,--■=-T=~~7?不合題

22I2八2J44

意.

②設(shè)存在直線/為），=A（x-I）（40）,且M（xi,yi）,N（K2,”）.

“V2

,-----1-----=I

由<43得（3+4R）f-女力+軟2?12=0,

8k24￡-12

“尸2=訴中工2=

3+U2

xx

OMON=xAx2+,必=\i+k?[與%一(X+%)+1]

竺E+M竺七/三十啟土菱

3+4公(3+4-3+4/J3+4公

所以Z=±5/2?

故直線/的方程為y=&（x—1）或），二一夜（親—1）

（3）證明：設(shè)M（xi,y\）,N（12,以），A（xi,2），B（心，/）

由(2)可得：|MM="+女[尤1-司=J(1+〃)[(X+%2『-4//2

12儼十1)

3+4公

三+乙=112

由,47一消去」，并整理得：-

H同=11+k?|x3-x4|=4.

3+4左

3+4/

【點(diǎn)睛】

本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審

題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

6.已知斜率為攵的直線/與橢圓G1+三=1交十A,B兩點(diǎn),線段A3的中點(diǎn)為河（1，"樞機(jī)》。）.

（1）證明：k<一一；

2

⑵設(shè)尸為C的右焦點(diǎn)，f為C上一點(diǎn)，且戶A+而+RS=O.證明：|/叫|閉，成等差數(shù)列,

并求該數(shù)列的公差.

【答案】（1）k<--

（2）返或也

2828

【詳解】

分析：（1）設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明.

（2）解出m,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得至“方卜再由兩點(diǎn)間距離公式表示出|同而得到直1的方程，聯(lián)

立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解.

詳解：⑴設(shè)4（%/）,3（%,%），則立+至=1,立+五=1.

4*33

兩式相減，并由入二&=%得

由題設(shè)知裝至=1,入歲■=機(jī)，于是

22

k=------

由題設(shè)得0＜相＜3,故％＜一」.

22

（2）由題意得尸（1,0）,設(shè)「（￡、%），則

（玉-1,%）+（%-1，乂）+（馬-1，%）=（。，0）?

由（1）及題設(shè)得七=3—（％+9）=1,%=一（y+%）=-2"＜0-

又點(diǎn)P在C上,所以加=1,從而尸（1，-|），忸戶卜今

于是

I可|二j&T）2+y2=34一1）2+31—點(diǎn)=2-^.

同理閥=2-/.

所以.|+|麗卜4_g（x+8）=3.

故2府卜|FA\+\而|,即|列FP\]FB\成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為4則

2同=||而卜|麗卜;不一看二;J（1+々『一44q?②

將加=2代入①得A=—1.

7I

所以/的方程為丁二一工+一,代入。的方程，并整理得7/-14工+—=0.

44

故王+￡=2,%W二[，代入②解得同二色也.

所以該數(shù)列的公差為土叵或-生包

點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)，第?問利用點(diǎn)差法，設(shè)而不求可減小計(jì)算

量，第二問由已知得到而+麗=0,求出m得到直線方程很關(guān)鍵，考查了函數(shù)與方程的思想，考察學(xué)生的

計(jì)算能力，難度較大.

7.已知橢圓C:二十==1（。>8>0）,離心率6=①，點(diǎn)G（JI1）在橢圓上.

crb“2

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于

點(diǎn)N,求證：|ANHBW|為定值.

【答案】（1）二+二=1：（2）見解析.

42

【解析】

試題分析?：（1）根據(jù)橢圓C的離心率6=亞，點(diǎn)G（友,1）在梢圓上，結(jié)合性質(zhì)/=〃+/,列出關(guān)于

2

。、b、c的方程組，求出。、。、。，即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)夕（毛,%）,根據(jù)三點(diǎn)共線

斜率相等，可分別求出的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可將用/,為表示，結(jié)合點(diǎn)

2（馬，然）在橢圓°上消去小，）'。即可得結(jié)果?

試題解析：（1）依題意得￡=立，設(shè)c則4=2加力=&,

a2

由點(diǎn)在橢圓上，有三+±二1,解得也=1,則〃=2.b=JL

a發(fā)

橢圓c的方程為：—+22=i

42

設(shè)P（毛Jo）,MIO,wLV（w,0）,A（-2,0）^10,72），則Q&JJ由APM三點(diǎn)共線，則有3=%,

即上產(chǎn)三，解得物=士、，則刈0,生,

4+22/+21耳+2,

由BPN三點(diǎn)共線，有即」：一"二二,解得〃=二^

*天〃＞0-

則（0,^^|4|.小1|=|^^-2|.|二一百=一正￡”21丐.戶「金「走

k〉o-J-,>o_v2々_2y0-v2七-2

=4yo：+24一4氐0比—4舛2yo-石飛）+8

xo>o-V2x0+2y0-2VI

又點(diǎn)P在橢圓上，滿足爭+*1=1，有2改/+4〉/=8,

,，…一E.—40%1―4012底一、氏）+16

代人上式得ANI-BM=—?”?C-~r—|

x0y0--V2^+2v0-2v2

I4巫飛汽-4或（2%-1-16nr

二”07y「岳下瓏=地’

可知AN-BM為定值40".

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、直線的斜率公式以及圓錐曲

線的定值問題以及點(diǎn)在曲線上問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，

先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中

消去變量，從而得到定值.

8.已知橢圓C:二十《=1（。＞力＞0）的離心率為且，且過點(diǎn)（°，1）?

a~b-2

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)A、3為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線/：x=20與4軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是橢圓。上異于A、8的動

點(diǎn)，直線AP、8。分別交直線/于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓。上運(yùn)動時(shí)，|。石|“。/|是否為定值？若是，

請求出該定值；若不是，請說明理由.

2

【答案】（1）—+/=1：（2）為定值I

4/

【分析】

（1）由題意可知〃=l,e=￡=@，結(jié)合/=〃+/,可求出橢圓方程.

a2

（2夜+2）聞

%

(2)設(shè)2(/，%)，則直線的方程為y=(x+2),求出口國=同理得出

%+2ko+Z

,將點(diǎn)尸在橢圓上這個(gè)條件代入，可得到答案.

【詳解】

(1)由題意可知人=1

又因?yàn)閑=￡=Y3且/n6+c?,解得。=2,

a2

所以橢圓C的方程為二+9=］；

4.

(2)|?，?|。尸I為定值1.

由翅意口J得：A(-2,0),6(2,0),設(shè)尸(與,治)，由超意可得：-2vx°v2,

所以直線AP的方程為y=』4；a+2),令x=2&，則)，=(2夜+?治

%+2%+2

同理：直線臺產(chǎn)的方程為y=%2),令工=2&，則尸(2員？為

不。一2x0-2

即好”

(2逝+2)閭(2及-2)閭二4y；=4立

所以斗|。「|二

卜。+2||%-2|忖一4|4一片

而亨+y；=l,即4需=4一工3

代入上式得。耳耳=1,

所以|。石|?］。/|為定值1.

【點(diǎn)睛1

本題考查利用窩心率求橢圓方程和橢圓中的定值問題，考查運(yùn)算能力，屬于難題.

9.如圖，已知橢圓。：工+匕=1,點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線交橢圓C于另一點(diǎn)A（A點(diǎn)在工軸下

124

方），且線段AB的中點(diǎn)E在直線）'=工上.

（1）求直線AB的方程；

（2）若點(diǎn)P為橢圓C上異于A、B的動點(diǎn)，且直線AP,BP分別交直線），=%于點(diǎn)M、N,證明：OMQN為

定值.

【答案】（1）x+3y+6=0（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）兩點(diǎn)確定一條直線，所以只需再確定A點(diǎn)坐標(biāo)即可，這可利用A在橢圓上及AB中點(diǎn)在直

線=x上聯(lián)立方程組解得：A（-3,-1）,從而根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線AB的方程為x+3y+6=0.

（2）本題涉及的條件為坐標(biāo)，所以用戶（%,先）分別表示M點(diǎn)、N點(diǎn)坐標(biāo)就是解題方法：由A,P,M三點(diǎn)

3y-x

共線，又點(diǎn)M在直線y=x上，解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)王,二一-n-----n-,由B,P,N三點(diǎn)共線，點(diǎn)N在直線

%一為+2

y=x上，，解得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)4=-----.所以O(shè)M.ON=、傷

-0|-V2|XN-0=2|XW|-|XV|=2

廝一）‘0一2

3yo一3|I-2x0

%-%+2|-2

2/2_6/%2/2-6七)兒x（）—3x（）Y）

=2,又為2="(所以O(shè)M.ON==2=2=6.

(%一)'O)2-4V

為2-2/%一2「打

J

試題解析：解：(1)設(shè)點(diǎn)E(m,m),由B(0,-2)得A(2m,2m+2).

代入橢圓方程得替誓L，吟+（…2小

3

解得〃2=或〃2=0(舍).3分

2

所以A(—3,-1),

故直線AB的方程為x+3y+6=0.6分

222

(2)設(shè)P(x°,y°),則互+近=1,即),2=4-至

124°3

設(shè)〃（如，加）,由A,P,M三點(diǎn)共線，即行||而,

J(%+3)()%+l)=(y0+l)(xw+3),

3y-%

又點(diǎn)M在直線y=x上，解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)4,二一0—、，9分

玉）一為+2

設(shè)N（/，yN），由B,P,N三點(diǎn)共線，即麗||兩，

，工0(%+2)=(%+2)%,

點(diǎn)N在直線y=x上，，解得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)—二了.一i時(shí)分

%一）'（）—」

3%一天||-2廝

所以O(shè)M.ON=V^^-。,&4-。=2除卜|/1=2

/一)'0+2||毛—)，0_2

2X()22/2-6%%天）-340尤

=2=2=2=6.16分

(工0-)’0)2-4x2-2xy-^-?V

000?7°為

考點(diǎn)：直線與橢圓位置關(guān)系

io.已知橢圓七：￡+±

2=l（a>b>0）過點(diǎn)（0,1）,且離心率為旦

crb~2

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

=！X+機(jī)與橢圓E交于A,兩點(diǎn),以AC為對角線作正方形A8CQ,記直線/與x軸的

（2）設(shè)直線/:yC

2

交點(diǎn)為N,求證:忸N|為定值.

【答案】（1）—F_/=]；（2）證明見解析.

4

【分析】

（1）由題意可知b=i,e=-=.C5=—，即可求得。的值，求得橢圓方程;

a\（T2

（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式求得|AC|,|MN|及

|BAf=|BM『+|MN『=；k€f+|MN『，由此即可求證忸叫為定值.

【詳解】

（1）由題意知，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸且6=1,

2

cIb6.

eU=卜滔F-4=2.

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4-

（2）設(shè)A（x，x）、。（&,%），線段AC的中點(diǎn)為M,

1

y=-x+m,

2

聯(lián)立《,，消去,v?得產(chǎn)+2nvc+2m2-2=0-

x).

—+y-=1

4

由A=(2m)2-4(2/n2-2)>0,解得-72<m<42

2

M+%=_2m,xix2=2m-2,

(I

y+y=—(x+x)+2/w=zw,二M-ni,—m

2(2I2

???\AC\=J(1+/)[(%+%)2-4中2

4m2-4(2〃/-2)]=V10-5AH2.

又直線I與x軸的交點(diǎn)N（—2m,0）,

:.|MN|=J(一"z+2〃?

??.|BN『=|BM|2=；aq2+|MN『=|,

故|BN|為定值.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算

能力，屬于中檔題.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過原點(diǎn)的直線/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|"4|=|加到?求證:

112

研.所+所為定直

【答案】（1）3A2+4/=7；<2）證明見解析

【分析】

（1）橢圓。過（1,1）與兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求a?、"即可得橢圓方程；（2）根據(jù)直線/的斜

率情況分類討論，當(dāng)斜率不存在或A=0時(shí)易證定值，當(dāng)斜率存在且AW0時(shí)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)

,,,,112

合|M4|=上必叫有定值，整合結(jié)論值［++7陷2為定值即得證

【詳解】

（1）橢圓。過（1,1）與兩點(diǎn)，則

解得

13

彳+赤

???橢圓。的方程為3/+”2=7

(2)過原點(diǎn)的直線/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)：IOAROBI

1[2_22

當(dāng)直線/的斜率不存在或％=0時(shí)，有+|08『+|0例|2~a2+b2

當(dāng)直線/的斜率存在且ZwO時(shí)，令直線/：y=kx,代入橢圓方程有x=±

若A（+3），B（-一J展),即Q『■即

又橢圓。上一點(diǎn)M滿足|喇=阿卻，知：OW垂直平分AS,可令直線OM：y=-j-

702+1）

3k2+4

1122（4公+3）2（3/+4）。

故-------T+--------TH-----------T=---;----+;----=2