遼寧省部分高中2023-2024學年高二上學期期末考試 數(shù)學 含解析

2023—2024學年度上學期期末考試高二試題數(shù)學命題人：本溪高中陳靜盤錦高中黃簡審題人：本溪高中陳靜盤錦高中黃簡考試時間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題，共60分）一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求）1.己知隨機變量，則（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.72.二項式展開式的常數(shù)項為（）A. B.70 C. D.3.下列有關(guān)回歸分析的說法正確的是（）A.樣本相關(guān)系數(shù)越大，則兩變量相關(guān)性就越強.B.回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線.C.回歸直線方程不一定過樣本中心點.D.回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)，則兩變量是負相關(guān)關(guān)系.4.直三棱柱中，，則直線與夾角的余弦是（）A. B. C. D.5.已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線兩條漸近線的夾角為（）A. B. C. D.6.2023年杭州亞運會志愿者第一小組有5人，需要分配到擊劍?拳擊?柔道比賽場館，每個場館至少1人，至多2人，則不同的分配方法有多少種（）A.90種 B.150種 C.180種 D.240種7.小張?小王兩家計劃國慶節(jié)期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個景點中隨機選擇一個游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風凰山”，事件B：“兩家選擇景點不同”.則概率（）A. B. C. D.8.某商場進行有獎促銷活動，滿500元可以參與一次擲飛鏢游戲，有7只飛鏢，采取積分制，擲中靶盤，得1分，不中得0分，連續(xù)擲中2次額外加1分，連續(xù)擲中3次額外加2分，以此類推，連續(xù)擲中7次額外加6分.小明購物滿500元，參加了一次游戲，假設(shè)他每次擲中的概率是，且每次投擲之間相互獨立，則小明在此次游戲中得7分的概率是（）A. B. C. D.二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.已知的展開式的各二項式系數(shù)的和為128，則（）A.B.展開式中的系數(shù)為280C.展開式中所有項的系數(shù)和為D.展開式中的第二項為10.已知正方體的棱長為為棱中點，為棱上的動點（包括端點），下面說法正確的是（）A.平面截正方體截得多邊形是正方形B.長度的最大值為6C.存在點，使得D.當為棱中點時，點到直線的距離為11.已知拋物線的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，點在準線上的射影分別為點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若為線段的中點且，則點到軸的距離為4C.若，則直線的斜率為D.12.有款小游戲，規(guī)則如下：一小球從數(shù)軸上的原點0出發(fā)，通過扔骰子決定向左或者向右移動，扔出骰子，若是奇數(shù)點向上，則向左移動一個單位，若是偶數(shù)點向上，則向右移動一個單位，則扔出次骰子后，下列結(jié)論正確的是（）A.第二次扔骰子后，小球位于原點0的概率為B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個隨機變量，則這個隨機變量的期望是C.第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.設(shè)隨機變量的方差，則的值為__________.14.某同學在一次考試中，8道單選題中有6道有思路，2道沒思路，有思路的有的可能性能做對，沒思路的有的可能性做對，則他在8道題中隨意選擇一道題，做對的概率是__________.15.現(xiàn)有7本不同的書，2本文學類，2本理科類，3本語言類，把它們排成一排，同一類的書相鄰的排法有__________種.16.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長?短半軸的平方和的算術(shù)平方根，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓，則其蒙日圓方程為__________，若為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于?兩點，則面積的最大值為__________.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.某市為了了解學生體育運動的時間長度是否與性別因素有關(guān)，從某幾所學校中隨機調(diào)查了男?女生各100名的平均每天體育運動時間，得到如下數(shù)據(jù)：分鐘性別女生10305010男生5205025根據(jù)學生課余體育運動要求，平均每天體育運動時間在內(nèi)認定為“合格”，否則被認定為“不合格”.根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“學生體育運動時間與學生性別因素有關(guān)聯(lián)”不合格合格合計女生男生合計附：，（其中.0.150100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87918.如圖，在三棱柱中，在底面的射影為的中點為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的大小.19.某學校高一，高二，高三三個年級的學生人數(shù)之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學生來了解學生的睡眠情況.（1）應從高一?高二?高三三個年級的學生中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學生人數(shù)，求隨機變量X的分布列：②將這7名學生中“睡眠不足”的頻率視為該學校學生中“睡眠不足”的概率，若從該學校全體學生（人數(shù)較多）中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學生的人數(shù)，求Y的期望和方差：20.在平面直角坐標系中，已知點，直線，動直線垂直于于點，線段的垂直平分線交于點，設(shè)點的軌跡為.（1）求曲線方程；（2）直線與交于兩點，求過兩點且與直線相切的圓的方程.21.某旅游城市推出“一票通”景區(qū)旅游年卡，持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市所有簽約景區(qū).為了解市民每年旅游消費支出情況（單位：百元），相關(guān)部門對已游覽某簽約景區(qū)的游客進行隨機問卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)列成如表所示的頻數(shù)分布表：旅游消費支出頻數(shù)1238845213810（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認為市民的旅游費用支出服從正態(tài)分布，若該市總?cè)丝跒?00萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7000元以上；（2）若年旅游消費支出在40（百元）以上的游客一年內(nèi)會繼續(xù)來該簽約景區(qū)游玩.現(xiàn)從游客中隨機抽取3人，一年內(nèi)繼續(xù)來該簽約景區(qū)游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，求3人總得分為4分的概率.（參考數(shù)據(jù)：）22.過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，且.（1）求雙曲線C標準方程；（2）若動直線的斜率存在，且與雙曲線相切，切點為與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，設(shè)原點O關(guān)于點的對稱點為，求四邊形的面積.2023—2024學年度上學期期末考試高二試題數(shù)學命題人：本溪高中陳靜盤錦高中黃簡審題人：本溪高中陳靜盤錦高中黃簡考試時間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題，共60分）一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求）1.己知隨機變量，則（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】C【解析】【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可得.【詳解】由，，則，故.故選：C.2.二項式展開式的常數(shù)項為（）A. B.70 C. D.【答案】D【解析】【分析】由，令得出后代入計算即可得.【詳解】，令，即，故，即展開式的常數(shù)項為.故選：D.3.下列有關(guān)回歸分析的說法正確的是（）A.樣本相關(guān)系數(shù)越大，則兩變量的相關(guān)性就越強.B.回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線.C.回歸直線方程不一定過樣本中心點.D.回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)，則兩變量是負相關(guān)關(guān)系.【答案】D【解析】【分析】由知識點：兩變量的相關(guān)性就越強，則相關(guān)系數(shù)越接近或，當相關(guān)系數(shù)時兩個變量正相關(guān)，時兩個變量負相關(guān)；回歸直線方程一定過樣本中心點；回歸直線是基于樣本數(shù)據(jù)使殘差平方和最小的擬合直線，可得正確答案.【詳解】由知識點：兩變量的相關(guān)性就越強，則相關(guān)系數(shù)越接近或可知A不正確；由回歸直線是基于樣本數(shù)據(jù)使殘差平方和最小的擬合直線可判斷B不正確；由回歸直線方程一定過樣本中心點可知C不正確；由當相關(guān)系數(shù)時兩個變量正相關(guān)，時兩個變量負相關(guān)可得D正確.故選:D4.直三棱柱中，，則直線與夾角的余弦是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算公式,利用坐標法即可求解.【詳解】由，得，所以，三棱柱是直棱柱，所以平面，以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示直角坐標系，由，可得，，，，所以，，設(shè)直線與夾角，則，因為，，，所以，所以直線與夾角的余弦是.故選：B.5.已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線兩條漸近線的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用離心率求出的關(guān)系，再求出漸近線方程，進而求出雙曲線兩條漸近線的夾角.【詳解】雙曲線的離心率為，解得，，所以.雙曲線兩條漸近線方程分別是和，它們傾斜角分別是和，從而雙曲線兩條漸近線的夾角為.故選：B6.2023年杭州亞運會志愿者第一小組有5人，需要分配到擊劍?拳擊?柔道比賽場館，每個場館至少1人，至多2人，則不同的分配方法有多少種（）A.90種 B.150種 C.180種 D.240種【答案】A【解析】【分析】現(xiàn)將第一小組5人分層組，為一組1人兩組2人，再將其分分配到擊劍?拳擊?柔道比賽場館即可得出答案.【詳解】現(xiàn)將第一小組5人分層組，為一組1人兩組2人，所以有種，再將其分分配到擊劍?拳擊?柔道比賽場館種，所以共有種.故選：A.7.小張?小王兩家計劃國慶節(jié)期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個景點中隨機選擇一個游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風凰山”，事件B：“兩家選擇景點不同”.則概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算事件的概率，再利用條件概率計算即可.【詳解】由題意可知兩家都沒選擇丹東鳳凰山，即，所以，而有一家選擇丹東鳳凰山，另一家選別的景點，則，所以.故選：D8.某商場進行有獎促銷活動，滿500元可以參與一次擲飛鏢游戲，有7只飛鏢，采取積分制，擲中靶盤，得1分，不中得0分，連續(xù)擲中2次額外加1分，連續(xù)擲中3次額外加2分，以此類推，連續(xù)擲中7次額外加6分.小明購物滿500元，參加了一次游戲，假設(shè)他每次擲中的概率是，且每次投擲之間相互獨立，則小明在此次游戲中得7分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分為連中4次，額外加3分，剩余3次不中、連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒投中，且兩次投中不連續(xù)和有兩次連中兩回，三類情況，結(jié)合獨立重復試驗的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解．【詳解】在游戲中恰好得7分可分為三類情況：①若連中4次，額外加3分，剩余3次不中，滿足要求，此時將連中4次看作一個整體，與其他三次不中排序，共有種選擇，故概率為，②若連中3次，額外加2分布，剩余4次，兩次投中，兩次沒投中，且兩次投中不連續(xù)，故兩次不中之間可能為一次中，也可能是三次中，有以下情況：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，則概率為，③若有兩次連中兩回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，滿足要求，則概率為，綜上，該生在比賽中恰好得7分概率為．故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得小明在游戲中得7分的三種情況，從而得解.二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.已知的展開式的各二項式系數(shù)的和為128，則（）A.B.展開式中的系數(shù)為280C.展開式中所有項的系數(shù)和為D.展開式中的第二項為【答案】AC【解析】【分析】利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)、二項展開式的通項公式、賦值法逐一進行判斷.【詳解】由二項式系數(shù)性質(zhì)，可得：.故A正確；展開式通項為，令，則的系數(shù)為：，故B錯誤；令可得所有項的系數(shù)和為，故C正確；展開式的第二項為：，故D錯誤.故選：AC10.已知正方體的棱長為為棱中點，為棱上的動點（包括端點），下面說法正確的是（）A.平面截正方體截得的多邊形是正方形B.長度的最大值為6C.存在點，使得D.當為棱中點時，點到直線的距離為【答案】BCD【解析】【分析】先建立空間直角坐標系后求出所需各點坐標，對A：求出長度后可得；對B：表示出長度即可得，對C：借助向量數(shù)量積即可得；對D：借助空間向量求點線距即可得.【詳解】以為原點建立空間直角坐標系，則、、、、、，則，，，由，故，故A錯誤；可設(shè)，則，由，故長度的最大值為，故B正確；，，故，則當時，有，即存在點，使得，故C正確；當為棱中點時，，，有，則，故D正確.故選：BCD.11.已知拋物線的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，點在準線上的射影分別為點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若為線段的中點且，則點到軸的距離為4C.若，則直線的斜率為D.【答案】ABD【解析】【分析】首先根據(jù)拋物線的幾何意義，求出拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義可判斷A；設(shè)、，由焦點弦的性質(zhì)判斷B、C；首先證明，再利用基本不等式判斷D.【詳解】因為拋物線：的焦點到準線的距離為4，所以，則拋物線：，所以焦點，準線為，對于A，由拋物線的定義可知，，，所以，又因為軸，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故A正確；對于B，依題意過點的直線的斜率不為，設(shè)過點的直線為，由，消去得，顯然，所以，，則，，則，解得，又為線段的中點，則，所以點到軸的距離為，故B正確；對于C，過點作交點，由于，不妨設(shè)，則，，由拋物線的定義可知，，，則在直角中，，此時的傾斜角為，根據(jù)拋物線的對稱性可知，的傾斜角為或，則直線的斜率為或，故C錯誤；對于D，所以，所以，所以，當且僅當，即時取得等號，故D正確.故選：ABD.12.有款小游戲，規(guī)則如下：一小球從數(shù)軸上的原點0出發(fā)，通過扔骰子決定向左或者向右移動，扔出骰子，若是奇數(shù)點向上，則向左移動一個單位，若是偶數(shù)點向上，則向右移動一個單位，則扔出次骰子后，下列結(jié)論正確的是（）A.第二次扔骰子后，小球位于原點0的概率為B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個隨機變量，則這個隨機變量期望是C.第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率【答案】AD【解析】【分析】計算出小球每次向左向右的概率后，結(jié)合概率公式與期望算法逐個計算即可得.【詳解】扔出骰子，奇數(shù)點向上的概率為，偶數(shù)點向上的概率亦為；對A：若兩次運動后，小球位于原點，小球在兩次運動之中一定一次向左一次向右，故其概率為，故A正確；對B，設(shè)這個隨機變量為，則的可能取值為、、、，其中，，故其期望，故B錯誤；對C：第一次扔完骰子小球位于，即第一次向左移動，且第五次位于1，則后續(xù)中小球向右3次，向左1次，故其概率為，故C錯誤；對D：第五次扔完骰子，小球位于1，即兩次向左，三次向右，故其概率，小球位于3，則四次向右，一次向左，故其概率，有，故D正確.故選：AD.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.設(shè)隨機變量的方差，則的值為__________.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)公式求解.【詳解】故答案為：1214.某同學在一次考試中，8道單選題中有6道有思路，2道沒思路，有思路的有的可能性能做對，沒思路的有的可能性做對，則他在8道題中隨意選擇一道題，做對的概率是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件表示“考生答對”，設(shè)事件表示“考生選到有思路的題”則小明從這道題目中隨機抽取道做對的概率為：.故答案為：.15.現(xiàn)有7本不同的書，2本文學類，2本理科類，3本語言類，把它們排成一排，同一類的書相鄰的排法有__________種.【答案】144【解析】【分析】相鄰問題用捆綁法計算即可得.【詳解】采用捆綁法，將同一類的書放在一起后排列可得.故答案為：144.16.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長?短半軸的平方和的算術(shù)平方根，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓，則其蒙日圓方程為__________，若為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于?兩點，則面積的最大值為__________.【答案】①.②.7【解析】【分析】根據(jù)半徑為蒙日，即可得圓的方程，由定義可知，于是為蒙日圓的直徑，過點，利用面積公式可將面積轉(zhuǎn)化為蒙日圓半徑，即可求解最值.【詳解】橢圓方程為：，蒙日圓半徑為，由題可知，所以蒙日圓方程為，由于為其蒙日圓上一動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交?兩點，根據(jù)蒙日圓定義可知，于是為蒙日圓直徑，過點，，可知，所以的面積為：，當且僅當取等號，故答案為：，7.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.某市為了了解學生體育運動的時間長度是否與性別因素有關(guān)，從某幾所學校中隨機調(diào)查了男?女生各100名的平均每天體育運動時間，得到如下數(shù)據(jù)：分鐘性別女生10305010男生5205025根據(jù)學生課余體育運動要求，平均每天體育運動時間在內(nèi)認定為“合格”，否則被認定為“不合格”.根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“學生體育運動時間與學生性別因素有關(guān)聯(lián)”不合格合格合計女生男生合計附：，（其中.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】表格見解析，有的把握認為學生體育運動時間與學生性別因素有關(guān)聯(lián)【解析】【分析】根據(jù)卡方的計算，與臨界值比較即可求解.【詳解】列聯(lián)表：

不合格合格合計女生4060100男生2575100合計65135200因為，所以有的把握認為學生體育運動時間與學生性別因素有關(guān)聯(lián).18.如圖，在三棱柱中，在底面的射影為的中點為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）連接由題意可得平面，即可得，結(jié)合題目條件可得，由線面垂直的判定定理即可得平面；（2）建立空間直角坐標系后得出各點坐標，分別計算出平面與平面的法向量，借助向量即可得二面角的平面角的大小.【小問1詳解】為的中點，連接，由題意得平面，又平面，所以，因為，所以，又平面，所以平面；【小問2詳解】以的中點為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，由題意知各點坐標如下：，由故，，故，因此，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由，即，令，可取，由，即，令，可取，于是，由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角的平面角為.19.某學校高一，高二，高三三個年級的學生人數(shù)之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學生來了解學生的睡眠情況.（1）應從高一?高二?高三三個年級的學生中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學生人數(shù)，求隨機變量X的分布列：②將這7名學生中“睡眠不足”的頻率視為該學校學生中“睡眠不足”的概率，若從該學校全體學生（人數(shù)較多）中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學生的人數(shù)，求Y的期望和方差：【答案】（1）3人，2人，2人.（2）①答案見解析；②，【解析】【分析】（1）根據(jù)各組人數(shù)和抽樣比,即可求得各組抽取的人數(shù).（2）①本小問符合超幾何分布可以根據(jù)超幾何分布公式求隨機變量X的分布列.②本小問符合二項分布可以根據(jù)二項分布公式求Y的期望和方差.【小問1詳解】由已知選取的三個年級的人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從高一?高二?高三三個年級的學生中分別抽取3人，2人，2人.【小問2詳解】①隨機變量X符合超幾何分布，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3.則所以，隨機變量的分布列為0123②取一個學生就是一次試驗，有“睡眠不足”和“睡眠充足”兩個結(jié)果，抽3個學生相當于3次獨立重復抽一個學生的試驗，于是符合二項分布，所以20.在平面直角坐標系中，已知點，直線，動直線垂直于于點，線段的垂直平分線交于點，設(shè)點的軌跡為.（1）求曲線的方程；（2）直線與交于兩點，求過兩點且與直線相切圓的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）借助拋物線定義即可得；（2）聯(lián)立直線與拋物線可得與交點橫坐標有關(guān)韋達定理，該圓過兩點，故圓心在線段的垂直平分線上，與相切，故半徑與圓心到直線的距離相等，設(shè)出該圓方程，借助待定系數(shù)法計算即可得.【小問1詳解】由題意得，點到直線的距離等于它到定點的距離，點的軌跡是以