廣東省茂名市2024屆高三上學(xué)期第一次綜合測(cè)試（一模）數(shù)學(xué) 含解析

絕密★啟用前2024年茂名市高三年級(jí)第一次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.82.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.從6名女生3名男生中選出2名女生1名男生，則不同的選取方法種數(shù)為（）A.33 B.45 C.84 D.904.曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.25.橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作垂直于軸的直線，交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.6.函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（）A. B. C.0 D.27.若，，則（）A. B. C. D.8.數(shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C.3 D.410.過拋物線：的焦點(diǎn)作直線，交于，兩點(diǎn)，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切C.若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為D.若，則直線有且只有一條11.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）A.直線與所成的角為60°B.過空間中一點(diǎn)有且僅有兩條直線與所成的角都是60°C.過，，三點(diǎn)的平面截該正方體，所得截面圖形的周長為D.過直線的平面截正方體，所得截面圖形可以是五邊形12.從標(biāo)有1，2，3，…，10的10張卡片中，有放回地抽取兩張，依次得到數(shù)字，，記點(diǎn)，，，則（）A.是銳角的概率為 B.是銳角的概率為C.是銳角三角形的概率為 D.的面積不大于5的概率為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則______.14.如圖，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人為了實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化而努力奮斗的真實(shí)寫照.被托舉的四個(gè)球堆砌兩層放在平臺(tái)上，下層3個(gè)，上層1個(gè)，兩兩相切.若球的半徑都為，則上層的最高點(diǎn)離平臺(tái)的距離為______.15.動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為______.16.函數(shù)（）在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（10分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求的值；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最小值.18.（12分）已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取了50個(gè)軟籽石榴，按質(zhì)量（單位：）將它們分成5組：，，，，得到如下頻率分布直方圖.（1）用樣本估計(jì)總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）按分層隨機(jī)抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的石榴中抽取7個(gè)石榴進(jìn)行檢測(cè)，再從中抽取3個(gè)石榴作進(jìn)一步檢測(cè).（ⅰ）已知抽取的3個(gè)石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；（ⅱ）記這3個(gè)石榴中質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19.（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：，.20.（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）證明：；（2）點(diǎn)在線段上，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.21.（12分）已知雙曲線：（）的左焦點(diǎn)為，，分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與直線：交于點(diǎn)，的角平分線交直線于點(diǎn)，證明：是的中點(diǎn).22.（12分）若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.（1）若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；（2）若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.

2024年茂名市高三年級(jí)第一次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案一、單選題題號(hào)12345678答案CABCAACD二、多選題題號(hào)9101112答案CDBCDACDACD1.【答案】C【解析】集合，，則，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選C.2.【答案】A【解析】解不等式得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.3.【答案】B【解析】.故選B.4.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所?故選C.5.【答案】A【解析】因?yàn)?，因?yàn)橹本€垂直于軸，令，代入橢圓方程可得，解得，所以，因?yàn)椋?，即，即，所以，解?故選A.6.【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的周期為4，所以.故選A.7.【答案】C【解析】令，，得，則，即，即，且，那么，則.故選C.8.【答案】D【解析】由題意，，兩邊取倒數(shù)可化為，所以，，，由累加法可得，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，故，即，整理可得，，因?yàn)?，，所以，?故選D.9.【答案】CD【解析】由題意，，故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或或解得或或，即或.故選CD.10.【答案】BCD【解析】因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以，準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；過，和的中點(diǎn)分別做準(zhǔn)線的正線，，，則，連接，，因?yàn)椋?，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，B正確；拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，由拋物線的焦半徑公式可知，若，又因?yàn)?，此時(shí)，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，C正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)等號(hào)成立，所以，若，則這樣的直線有且只有一條，此時(shí)軸，D正確.故選BCD.11.【答案】ACD【解析】與所成的角即為與所成的角，為60°，A正確；因?yàn)橹本€，所成角是90°，所以過空間一點(diǎn)與兩直線所成角為60°的直線有4條，B錯(cuò)誤；易知平面為過，，三點(diǎn)的截面，該截面為梯形，周長為，C正確；對(duì)于D，如圖所示，取，的靠近，的三等分點(diǎn)，，連接，，，，易知，，故點(diǎn)，，，，共面，該截面圖形為五.邊形，D正確.故選ACD.12.【答案】ACD【解析】易知，不共線，若是銳角，，易知共有100種情況，其中共有10種，與有相同種情況，即45種，所以是銳角的概率為，A正確；若是銳角，恒成立，所以是銳角的概率為1，B錯(cuò)誤；若是銳角三角形，則即所以，共有9種情況，所以是銳角三角形的概率為，C正確；若，則，易知該不等式共有組正整數(shù)解，所以的面積不大于5的概率為，D正確.故選ACD.13.【答案】【解析】∵，∴.14.【答案】【解析】依次連接四個(gè)球的球心，，，，則四面體為正四面體，且邊長為，所以到底面的距離為，所以最高點(diǎn)到平臺(tái)的距離為.15.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為點(diǎn)到的距離加上圓的半徑，故最大值為.16.【答案】【解析】由于在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，即，由得，，，∵，∴，∴或解得或，所以的取值范圍是.17.解：（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，∴，∴，即，又，∴.（2）由及，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.18.解：（1）該品種石榴的平均質(zhì)量為，所以該品種石榴的平均質(zhì)量為.（2）由題可知，這7個(gè)石榴中，質(zhì)量在，，上的頻率比為，所以執(zhí)取們質(zhì)量在，，上的石榴個(gè)數(shù)分別為2，2，3.（ⅰ）記“抽取的3個(gè)石榴不完全來自同一區(qū)間”，“這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間”，則，，所以，即這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間的概率為.（ⅱ）由題意的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123所以.19.（1）解：由于，則，當(dāng)時(shí)，，則，；當(dāng)時(shí)，符合上式，則，.（2）證明：由于，那么，∵，∴，那么，即證.20.（1）證明：由于平面平面，平面平面，過點(diǎn)作的嚴(yán)線交的延長線于點(diǎn)，則平面.連接交于，連接，∵，，∴，∴，又，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，即，又平面，平面，∴，又，∴平面，又∵平面，∴.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由于在上，設(shè)，則，∴，又平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，∴，解得或（舍去），∴，∴，，，設(shè)平面的法向共，平而的法向共，則即，取，得，，∴，故平面與平面夾角的余弦值為.21.（1）解：因?yàn)?，所以，雙曲線的一條漸近線為，因?yàn)殡p曲線的右頂點(diǎn)為，設(shè)右頂點(diǎn)到浙近線的距離為，由題意得解得則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：①當(dāng)，即時(shí)，設(shè)點(diǎn)，代入雙曲線方程得，，解得，取第二象限的點(diǎn)，則，因?yàn)椋灾本€的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，即，因?yàn)橹本€是的角平分線，且.，所以直線的斜率為，直線的方程為，令，解得，即，此時(shí)，即是的中點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程消去得，由韋達(dá)定理得，，又因?yàn)椋?，，點(diǎn)，又因?yàn)椋?，由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線：，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，即，即，得或，由題意知和異號(hào)，所以，所