2023年上海市各地區(qū)中考一模試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）

上海市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試卷按題型難易度分層分類匯編?03

解答題（較難題）

目錄

--二次函數(shù)綜合題（共10小題）...................................................2

二.三角形綜合題（共1小題）.....................................................6

三.直的梯形（共1小題）.........................................................7

四.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）...........................................7

五.相似形綜合題（共6小題）.....................................................8

六.解直角三角形（共I小題）....................................................10

一.二次函數(shù)綜合題（共10小題）.................................................11

二.三甭形綜合題（共1小題）....................................................35

三.直帶梯形（共1小題）........................................................37

四.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）..........................................41

五.相似形綜合題（共6小題）....................................................45

六.解直角三角形（共1小題）....................................................60

一.二次函數(shù)綜合題(共10小題)

1.(2023?寶山區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系宜力中，已知拋物線y=-r+成+’經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、6(2,0),

將該拋物線位于x軸上方的部分沿1軸翻折，得到的新圖象記為“圖象U”，“圖象U”與)，軸交于點(diǎn)C.

(1)寫出“圖象U”對應(yīng)的函數(shù)解析式及定義域；

(2)求N4C8的正切值；

(3)點(diǎn)尸在x軸正半軸上，過點(diǎn)P作)，軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)E,交“圖象U”于點(diǎn)F,如果/與

△ABC相似，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

嚇

1.

O

2.(2023?徐匯區(qū)一模)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ad+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、8(4,0),

與)，軸相交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2〕點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線軸，垂足為點(diǎn)。，直線廣。與直線3c相交

于點(diǎn)E.

①當(dāng)CP=C￡時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②聯(lián)結(jié)AC,過點(diǎn)夕作直線AC的平行線，交x軸于點(diǎn)R當(dāng)N8P〃=NC84時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

￥

1-

O1.

3.(2023?虹口區(qū)一模)如圖，在平面宜角坐標(biāo)系X。)，中，已知拋物線)，=-/+2h-4A(&V0)的頂點(diǎn)為P,拋物

線與)，軸交于點(diǎn)A.

(1)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)3(-3,〃力在拋物線上，聯(lián)結(jié)A反

①求頂點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②過拋物線上點(diǎn)。作。M_Lx軸，垂足為M,OM交線段/W于點(diǎn)石，如果。求點(diǎn)/)的坐標(biāo)；

(2】聯(lián)結(jié)OP,如果OP與x軸負(fù)半軸的夾角等于NAPO與/尸。4的和，求人的值.

4.(2023?崇明區(qū)一模)如圖，在直角坐標(biāo)平面/0)，中，對稱軸為直線文=3的拋物線)，=/+公+2經(jīng)過點(diǎn)A(4,

2

0)、點(diǎn)用(1,加)，與y軸交于點(diǎn)B.

(I)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)A3、AM、BM,求SMBM的面積；

(3)過M作x軸的垂線與48交于點(diǎn)P,。是直線MP上點(diǎn)，當(dāng)△8MQ與△AMP相似時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

5.(2023?金山區(qū)一模)已知拋物線y=o?+取-3經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),8(-2,-3),頂點(diǎn)為點(diǎn)P,與y軸交于

點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式以及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)將拋物線向上平移機(jī)(w>0)個單位后，點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,若此時MB〃AC,求/〃的值；

(3)設(shè)點(diǎn)。在拋物線『=/+/狀-3上，且點(diǎn)。在直線3C上方，當(dāng)NQ8C=N84c時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

6.（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，拋物線尸af+/zr+3的對稱軸為直線尸2,頂點(diǎn)為4,

與x軸分別交于點(diǎn)8和點(diǎn)。（點(diǎn)8在點(diǎn)C的左邊），與），軸交于點(diǎn)Q,其中點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,0）.

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點(diǎn)記為￡聯(lián)結(jié)

①如果。石〃AC,求四邊形4COE的面積；

②如果點(diǎn)E在直線。C上，點(diǎn)。在平移后拋物線的對稱軸上，當(dāng)NDQE=NCDQ時,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

7.（2023?松江區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中（如圖），已知拋物線）=aF+c（?^0）經(jīng)過點(diǎn)A（2,0）和點(diǎn)

B（-I,3）.

（I）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）平移這條拋物線，所得新拋物線的頂點(diǎn)為尸（加，〃）.

①如果尸0=%，且新拋物線的頂點(diǎn)在aAOB的內(nèi)部，求〃?+〃的取值范圍；

②如果新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且NP0A=N08A,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

yI

5-

4-

B?3

2-

1-

A

IIIII_____________]劣

-5-4-3-2-10123451

—1-

—2-

一3-

-4-

—5-

8.（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ad+/u+2與x軸交于點(diǎn)A--1,0）和點(diǎn)B

（2,0）,與y軸交于點(diǎn)C.

（I）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)P（1,m）與點(diǎn)Q都是拋物線上的點(diǎn).

①求tan/PBC的值：

②如果NQ8P=45°,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

9.（2023?楊浦區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系直力中，拋物線y=q/+"x+c與x軸交于點(diǎn)4（一%0）和點(diǎn)8,

與），軸交于點(diǎn)。（0,3）,拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D

（1）求拋物線的表i大式：

⑵點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作?GJ_x軸，垂足為點(diǎn)G,PG與直線AC交于點(diǎn)如果P"

=AH,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)AP,試問點(diǎn)B關(guān)于直線CZ）對稱的點(diǎn)七是否恰好落在直線4P上？請說明

理由.

yM

5-

4-

3

2

1

12345x

-2

-3

-4

10.（2023?長寧區(qū)一模）已知拋物線y=o?+&+c（。＞0）與x軸交于點(diǎn)A（1,0）和8（4,0）,與y軸交于點(diǎn)

C,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且O8=OC.

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）如圖1,點(diǎn)P是線段8c上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。重合），過點(diǎn)尸作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)。聯(lián)結(jié)

OQ.當(dāng)四邊形OCPQ恰好是平行四邊形時，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

（3）如圖2,在（2）的條件下，。是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)￡且NOQ"=2NOQQ,在

直線QE上是否存在點(diǎn)凡使得七廠與/XADC相似？若存在，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

二.三角形綜合題（共1小題）

II.（2023?長寧區(qū)一模）已知：在A/WC中，AB=AC=\0,BC=16,點(diǎn)、P、。分別在射線CB、射線AC上，且

滿足N4PO=NABC.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，如圖1.

①如果CQ=4.8,求研的長;

②設(shè)8、P兩點(diǎn)的距離為x,AP=y,求），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

（2）當(dāng)3P=1時，求△CPO的面積.（直接寫出結(jié)論，不必給出求解過程）

圖1備用圖

三.直角梯形（共1小題）

12.（2023?松江區(qū)一模）已知梯形4BCD中，AD//BC,ZABC=W,AB=4,BC=6,E是線段CD上一點(diǎn),

聯(lián)結(jié)BE.

（1）如圖1,如果AD=1,且CE=3QE,求NA8E的正切值;

（2）如圖2,如果8E_LCO,且CE=2OE,求A。的長;

（3）如果8E_LCD,且△ABE是等腰三角形，求AABE的面積.

圖1

四.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

13.（2023?楊浦區(qū)一模）已知在正方形ABCO中，對角線BD=4,點(diǎn)E、尸分別在邊4力、CD±,DE=DF.

（1）如圖，如果NEB尸=60。，求線段力E的長;

（2）過點(diǎn)E作EGLBF,垂足為點(diǎn)G,與BD交于點(diǎn)H.

①求證:黑嗡

②設(shè)B。的中點(diǎn)為點(diǎn)。，如果0，=1,求效的值.

GF

AD

BCBC

備用圖

五.相似形綜合題（共6小題）

14.（2023?普陀區(qū)一模）如圖，在矩形A8C。中，tanNAB￡>=旦，E是邊。C上一動點(diǎn)，尸是線段OE延長線上一

4

點(diǎn)，且N￡Ar=NA3。，AF與矩形對角線3。交于點(diǎn)G.

（1）當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)C重合時，如果AO=6,求。七的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在線段。。的延長線上，

①求幽的值；

AE

②如果r>E=3CF,求/A兄Q的余切值.

15.（2023?徐匯區(qū)一模）如圖1,已知菱形A8CQ,點(diǎn)E在邊8C上，ZBFE=ZABC,AE交對角線BD于點(diǎn)F.

（1）求證：△A8/；s△。/^；

（2）如圖2,聯(lián)結(jié)CF.

①蘭ZXCE尸為直角三角形時，求NABC的大?。?/p>

②如圖3,聯(lián)結(jié)。￡當(dāng)DE_LFC時，求cos/ABD的值.

e圖2圖3

16.（2023?金山區(qū)一模）已知平行四邊形A3CO中，AB=3氓,cot/A8C=LBC=5,點(diǎn)P是對角線8。上一

2

動點(diǎn)，作NEPO=NABC,射線PE交射線8A于點(diǎn)七，聯(lián)結(jié)4P.

（I）如圖I,當(dāng)點(diǎn)E1與點(diǎn)A重合時，證明：叢ABPs叢BCD，,

（2）如圖2,點(diǎn)七在。4的延長線上，當(dāng)石尸=A。時，求AE的長；

（3）當(dāng)4A尸E是以AP為底的等腰三角形時，求4E的長.

E

圖1圖2備用圖

17.（2023?奉賢區(qū)一模）如圖,在平行四邊形A4CQ中,點(diǎn)￡在邊A。上，C￡交對角線8。于點(diǎn)凡ZDCE=Z

ADB.

(1)求證：AB?BC=BF?CE；

(2)如果AO=3OE=6.

①求C/7的長;

②如果80=10,求cosNABC值.

18.（2023?寶山區(qū)一模）如圖1,在AA8C中，BC=2遙，AB=5,cot/ABcJ-點(diǎn)。、E分別在邊A。、A8上

2

（不與端點(diǎn)重合），8。和CE交于點(diǎn)尸，滿足NA8D=N8C￡

(1)求證：C0=DF?DB；

（2）如圖2,當(dāng)CEJ_A6時，求C。的長:

（3）當(dāng)△<?￡）?是等腰三角形時，求。八F8的值.

（備用圖）

19.（2023?崇明區(qū)一模）已知RtZSABC中，N84C=90°,A8=AC=4,AO〃4C.點(diǎn)E為射線人。上的一個動點(diǎn)

（不與A重合），過點(diǎn)石作石F_LBE,交射線CA于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)8E

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上時，EF與AB交于點(diǎn)G,求證：AAEGs△FBG\

（2）在（1）的情況下，射線CA與8E的延長線交于點(diǎn)Q,設(shè)A￡=x,QF=y,求），關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

寫出定義域；

（3）當(dāng)8E=3時，求C尸的長.

DEAD__________________A

，丁

X

BCBc

（備用圖）

六.解直角三角形（共1小題）

20.（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在△人8C中，AB=AC=\0,sin8=3,點(diǎn)。、石分別在邊人8、BC上,滿足NCQE

5

=NB.點(diǎn)F是OE延長線上一點(diǎn)，且/日才=乙4。。.

（1）當(dāng)點(diǎn)。是的中點(diǎn)時，求tan/BCO的值；

（2）如果4。=3,求變的值；

DE

（3）如果是等腰三角形，求C尸的長.

A

BEC

上海市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試卷按題型難易度分層分類匯編（11

套）?03解答題（較難題）

參考答案與試卷解析

一.二次函數(shù)綜合題（共10小題）

1.（2023?寶山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線），=-/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）、8（2,0）,

將該拋物線位于r軸上方的部分沿丫軸翻折，得到的新圖象記為“圖象ir,“圖象ir與），軌交于點(diǎn)c.

（|）寫出“圖象u”對應(yīng)的函數(shù)解析式及定義域;

（2）求NAC8的正切值;

（3）點(diǎn)尸在x軸正半軸上，過點(diǎn)P作），軸的平行線,交直線BC于點(diǎn)E,交“圖象U”于點(diǎn)F,如果與

△ABC相似，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

1

O

-X2+X+2(X>2或X4-1)

【答案】（1）y=<

X2-X-2(T<X<2)

⑵⑶i/AC8=3；

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（工,0）或（亞運(yùn)，0）或(2,0)或(2+2技,o).

2433

【解答】解：（1）由題意得：v(x+1)(x-2)=-X2+X+2,

則翻折后的函數(shù)表達(dá)式為：j=?-x-2,

-X2+X+2(X>2或X<-1)

即），=,

x^-x-2(T<x<2)

則SMBC=工%ABXCO=^XACXBH,

22

即3X2=^X3”,

解得：BH=3,

V5

6

則sin/AC8=^=2^=-^,

BC2V2V10

則tanNACB=3；

(3)由點(diǎn)8、C的坐標(biāo)得，直線EC的表達(dá)式為：y=x-2,

設(shè)點(diǎn)。(■〃，0),在點(diǎn)E(〃?，"L2),點(diǎn)F(〃?，m2-tn-2)或(in,-m2+m+2),

則CE=&m,FE=-nr+2m或病-4,

如下圖NE=45°=AABC,

故當(dāng)/與△ABC相似時，NECF=NACB或NBCA,

①當(dāng)NECF-NACZ?時，即tanZ￡CF-tanZACB-3,

在△《￡：?中，過點(diǎn)尸作"7_LCE于點(diǎn)”，

設(shè)：CH=t,貝ljHF=3t=HE,

則4f=CE=V2w且3j^t=EF=-m2+2m或nr-4,

解得：〃?=」或?qū)蓿ú缓项}意的值已舍去）；

24

②些NECT=NC4。時，則tan/￡b=tanNCAO=2,

同理可得：3t=CE=^~2m且2^pit=EF=-m2+2m或nr-4,

解得：機(jī)=2或空運(yùn)（不合題意的值已舍去）：

33

綜上，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為：（工0）或（亞公，0）或（20）或（絲叵，0）.

2433

2.（2023?徐匯區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線），=&1+/>+3經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）、B（4,0）,

與），軸相交于點(diǎn)C

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸，垂足為點(diǎn)。，直線PO與直線4c相交

于點(diǎn)E.

①蘭CP=CE時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②聯(lián)結(jié)AC過點(diǎn)尸作直線AC的平行線，交x軸于點(diǎn)凡當(dāng)N8PF=NC84時，，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式；>--衛(wèi)儲+旦什3；(2)①。<2,旦)，②。(3,3).

442

【解答】解：(1)???拋物線y=a?+隊+3經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、8(4,0),

?a-b+3=0

I16a+4b+3=0,

4

???拋物線的表達(dá)式：尸-&A與+3；

44

(2)①過C作C”J_PD于”,

?：PC=CE,

:?PH=EH,

，：CH〃OB,

：.ZHCE=NCBO,

laiZHCE=tanZCBO,

???IHEI--0C--3--,

CHOB4

令EH=3k,則CH=4k,PH=3k,PD=3+3k,

???？的坐標(biāo)是(4k,3+3%),

???P在拋物線上，

:.一旦(4k)2+2義(4k)+3=3+3左，

44

.??k=2或k=0(舍)，

2

???P的坐標(biāo)是(2,9)；

@*：PG//AC,

:./CAB=/PFB,

v5C=VOC2<IB2=V32+42=5,4B=04+°8=5,

:?AB=CB,

：.ZCAB=ZBCA,

:./PFB=NBCA,

■:NABC=NBPF,

；?Z.CAB=/PBD,

TP在拋物線上，

???設(shè)P(a,-342+2/+3)>

44

?：4CAB=/PBD,

tanZ.CAB=tanZPBD,

?PDCO.

DBAO

a+3

------=3,

4-a

，〃=3或a=4(舍)，

當(dāng)。=3時，一豈p+Zz+3=3,

44

3.(2023?虹口區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系直力中，已知拋物線y=-7+2履-4k(AV0)的頂點(diǎn)為P,拋物

線與y軸交于點(diǎn)A.

(1)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)4(-3,M在拋物線匕聯(lián)結(jié)4員

①求頂點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②過拋物線上點(diǎn)。作DM_Lx軸，垂足為M,QM交線段4B于點(diǎn)E,如果。E=EM,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)OP,如果O尸與x軸負(fù)半軸的夾角等于NAPO與NPOA的和，求k的值.

o

【答案】⑴①頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-I,5）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3,I）；

②點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,4）；

（2）&的值為2■泥.

【解答】解：（1）①將點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）代入y=-/+2日-4%得，-44=4,

：.k=-1,

.*.y=-/-lv+4=-（x+1）2+5,

；?頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1,5）,

將A--3代入y=-x1-2.r+4得，y=-9+6+4=1,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3,I）；

②X（0,4）,B（-3,I）,

設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b,

.?」-3a+b=l,解得卜=1,

Ib=4b=4

/.直線AB的解析式為y=x+4,

如圖1,

設(shè)點(diǎn)。（。，?。2-24+4）,則MQ,0）,E（。，。+4）,

/.DE=-a2-2a+4-a-4=-a2-3a,EM=a+4,

?；DE=EM,

-a2-3a=a+4,解得a=-2,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,4）；

（2）如圖2,過點(diǎn)P作PM_L），軸于點(diǎn)M,作PN_Lx軸于點(diǎn)N,

Vy=-jr+2kx-4k=-(x-k)2+/C-4k,

???頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為a，F(xiàn)?4A),4(0,-4k),

:.PM=ON=-k,PN=OM=e-4k,OA=-4k,

：.AM=OM-OA=^,

V^PON=ZAPO+ZPOA,NAPO+NPOA=NB4M,

???NPON=N%M,

???PW_Ly軸，PN_Lx軸，

：.4PNO=/PMA,

:.叢PNOS^PMA,

.0N__PN

??前,，

--kk2-4k

??——=------，

k2-k

:?k=2xj大或2-限

?"VO,

??/的值為2■泥.

圖2

4.（2023?崇明區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy中，對稱軸為直線戈=2的拋物線"+2經(jīng)過點(diǎn)人（4,

2

0）、點(diǎn)M（l,M,與），軸交于點(diǎn)用

（1）求拋物線的解析式，并寫出此拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)結(jié)A8、AM.BM,求Sd5M的面積；

（3〕過M作x軸的垂線與A8交于點(diǎn)P,Q是直線MP上點(diǎn)，當(dāng)△8MQ與aAM尸相似時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（21，上48河=2：

⑶Q的坐標(biāo)為（1,~|）或（1,-1）.

【解答】解：（1）???拋物線），=蘇+云+2的對稱軸為直線工=日.

???-也=員①，

2a2-

???拋物線法+2經(jīng)過點(diǎn)A（4,0）,

二16a+4H2=0②，

由①②可得a=~-1,

22

???),=-_1/+m+2,

'22

在)，=-?+當(dāng)+2中，令.1=旦得：)，=--lx(3)2+3x3+2=空,

22222228

???拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(S,在)；

28

(2)過M作MP〃了軸交A8于P,如圖：

在y=--kr+-^v+2中，令x=0得y=2,

22

:,B(0,2),

VA(4,0),

???直線AB解析式為)，=--lr+2,

在y=-」儲+m+2中，令x=1得)，=3,

22

：.M(1,3),

在y=-1+2中，令x=1得v=—,

22

：.p(1,J.),

2

.??PM=3-3=3,

22

S-ABM=—PMX\XA-x?|=—X—X4=3：

222

(3)過4作于〃，如圖：

由(2)知，B(0,2),W(1,3),

BM2=2,

是等腰直角三角形，

???N8MQ=45°,

VA(4,0),

?"B2=20,AM2=18,

:.AM2+BM2=AB2,

???NAM8=90°,

???NAMP=90°?N8MQ=45°=4BMQ,

要使△BMQ與AAMP相似，只需迪=理或/=里

MPAMAMMP

設(shè)Q(1,f),則MQ=3-f,

當(dāng)曲=圓時&

MP前3

2

解得/=§，

2

當(dāng)?shù)?現(xiàn)時，?與

AMMP372A

2

解得f=-1.

：.Q(1,-1),

5.(2023?金山區(qū)一模)已知拋物線y=o?+云-3經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),8(-2,-3),頂點(diǎn)為點(diǎn)P,與y軸交于

點(diǎn)C.

(I)求該拋物線的表達(dá)式以及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)將拋物線向上平移機(jī)(〃?>())個單位后，點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,若此時MB〃人C,求〃?的值；

(3)設(shè)點(diǎn)。在拋物線丁=/+/狀-3上，且點(diǎn)。在直線3C上方，當(dāng)NO8C=N84C時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴尸,+2x-3,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,-4)；

(2)機(jī)的值為6；

(3)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-2).

24

【解答】解：(1)???拋物線尸爾+云-3經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),5(-2,-3),

..a+b-3=0,解得a=l

4a_2b_3=_3b=2

???拋物線的解析式為產(chǎn)3.

??)=/+2..3=(A+1)2-4,

???頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-4)；

(2)如圖I,

y=^+2x-3,令x=0,貝ijy=-3,

AC(0,-3),

設(shè)直線AC的解析式為y=k.x+c,

(k+c=0,解得付3,

Ic=-3Ic=-3

???直線AC的解析式為y=3x-3,

*：M13//AC,

:.設(shè)MB的解析式為y=3x+d,

?:B(-2,-3),

:.-6+d=-3,解得d=3,

:?MB的解析式為y=3x+3,

???將拋物線向上平移機(jī)(陽＞0)個單位后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,A(1,0),

:?點(diǎn)M為(1,/〃)，

代入MB的解析式為y=3x+3得，.的=3+3=6,

m的值為6：

(3)如圖2,過點(diǎn)。作。"_LAC于"，過點(diǎn)。作CKJ_AB于K,

???點(diǎn)A(1,0),B(-2,-3),C(0,-3),

???NABC=45°,BC=2,48=在2+32=3加,

???sinNA8C=空=2^,

BC2

:,CK=BK=?,

??,4B=3加,

：,AK=2^/2,

在RtZXACK中，tan/CAK=^，，

AK2

*：ZDBC=ZBAC,

???tanNO8C=也」，

BH2

在RLM)C”中，設(shè)DH=k,

:.BH=2k,

：.CH=2k-2,

：.D(2k-2,A-3),

???點(diǎn)D在拋物線y=/+2.3上，

:.(2k-2)2+2(2k-2)-3=k-3,解得A=0(舍去)或區(qū)，

4

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（▲,-2）.

24

6.（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線y=aP+法+3的對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)為A,

與x軸分別交于點(diǎn)8和點(diǎn)C（點(diǎn)8在點(diǎn)。的左邊），與y軸交于點(diǎn)。，其中點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,0）.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2〕將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點(diǎn)記為￡,聯(lián)結(jié)。￡.

①如果QE〃AC,求四邊形ACQE的面積；

②如果點(diǎn)E在直線0c上，點(diǎn)。在平移后拋物線的對稱軸上，當(dāng)N7）QE=NCQQ時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】(1)y=/-4_r+3；(2)①15；②(4,-4加-1)或(4,-1).

【解答】解：(1)???拋物線y=o?+如3的對稱軸為直線工=2,經(jīng)過點(diǎn)C(3,0),

［上:2

2a,

9a+3b+3=0

解得：卜;1,

lb=-4

???拋物線的表達(dá)式為產(chǎn)7-4x+3；

(2)①??}=/-4.i+3=(x-2)2-L

AA(2,-1).

設(shè)拋物線的對?稱軸交x軸干點(diǎn)G,

：.AG=\.

令x=0,則y=3,

：.D(0,3),

???OD=3.

令y=0,則X2-4x+3=0,

解得：x=1或x=3,

:,B(I,0).

如果。E〃AC,需將拋物線向左平移，設(shè)。石交x軸于點(diǎn)兒平移后的拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)"，如圖,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),

???OC=3.

由題意：ZACB=45°,

*：DE//AC,

產(chǎn)C=NAC4=45°.

：,OF=OD=3,

：.F(-3,0),

由題意：EH=l,

:?FH=EH=1,

：.E(-4,-1).

???AE〃x軸，DE//AC,

???匹邊形EFCA為平行四邊形，

?：AE=2-(-4)=6,

:.Sr?行四邊形EFCA=6X1=6.

VSADFC=—xFC?OO=工X6X3=9,

22

，匹邊形ACDE的面枳=S行四邊形"'6+5△。代=6+9=15：

②如果點(diǎn)E在直線。C上，點(diǎn)。在平移后拋物線的對稱軸上，/DQE=NCDQ,如圖,

當(dāng)點(diǎn)。在工軸的下方時，

設(shè)平移后的拋物線的對稱軸交x軸于F，由題意：EF=\.

???OD=OC=3,

???NOOC=NOCO=45°,

:.NFCE=NOCD=45°,

:.CF=EF=1,

：,E(4,-I).

7CD=22=322

VOD-KDCV2,CE=^CF+EP=V2>

：,DE=CD+CE=4^/2.

?：4DQE=NCDQ,

:.EQ=DE=4近,

:?QF=EF+EQ=M[i+\,

：.Q(4,-4^2-1);

當(dāng)點(diǎn)。在x軸的下方時，此時為點(diǎn)Q',

*：ZDQ'E=ZCDQf,

：.EQ'=DE=4近,

：,Q'F=EQ'-EF=4>j2-I*

：,Q'(4,4V2-1).

綜上，當(dāng)NOQE=NCOQ時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,-46-1)或(4,4爽-1).

7.（2023?松江區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線），=a*+c（a*O）經(jīng)過點(diǎn)A（2,0）和點(diǎn)

8（7,3）.

（I）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）平移這條拋物線，所得新拋物線的頂點(diǎn)為P（/〃，〃）.

①如果尸。=%，且新拋物線的頂點(diǎn)在△AO8的內(nèi)部，求?〃的取值范圍；

②如果新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且NPOA=NOBA,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

yI

5-

4-

B?3

2-

1-

A

IIIII_____________]劣

-5-4-3-2-1012345x

—1-

—2-

一3-

-4-

—5-

【答案】(1)y=?+4：

(2)①1V〃?+〃V2；

②(工，1).

24

【解答】解：(1)???拋物線)=&，+。(〃wo)經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)8(?1,3),

.*a+c=。，解得產(chǎn)］

Ia+c=3c=4

，拋物線的表達(dá)式為)，=?f+4：

(2)①???PO=B4,

工點(diǎn)P在。4的垂直平分線上，

???點(diǎn)A(2,0),

???點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=l,

設(shè)直線AB為尸H+b,

??,點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)8(-1,3),

??.(2k+b=0,解得

-k+b=3Ib=2

:.直線AB為y=-x+2,

當(dāng)x=1時、y=-x+2=1,

J0,4的垂直平分線與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

???新拋物線的頂點(diǎn)P(〃】，“)在ZXAOB的內(nèi)部,

??.，?的取值范圍為0＜，2V1,

:.1<m+n<2：

②如圖,

設(shè)0戶與44交于Q,Q(x,-X+2),

???/P0A=N084,NQ4Q=/84O,

???△AOQS.B。，

?02二0A

**B0=BA,

???點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)8(-1,3),

/.0.4=2,BO=yj12+32=V_1O?BA=3^i，

?0Q二2

一行二啦‘

3

AVX2+(-X+2)2=^->解得尸或I,

???〈(-￡,2)或(2,-1)(舍去),

3333

???直線OQ為y=/,

■:P(加，n),

H~-^-in>

2

，新拋物線為y=-(x-in)2+_^b

???新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

:.-(-in)2+_1機(jī)=0,解得陽=0或〃?=」■,

22

工點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1).

24

8.（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線yax^+bx+l與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8

（2,0）,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)P（1,/?）與點(diǎn)Q都是拋物線上的點(diǎn).

①求tan/P8C的值；

②如果NQBP=45°,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】（1）y=?』+"2,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）；

（2）①工；

3

②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2,2）.

39

【解答】解：（I）將人（-I,0）、8（2,0）代入），=/+/"+2得,

卜-b+2=0,解得

l4a+2b+2=0lb=l

???該拋物線的表達(dá)式為y=-Phr+2.

當(dāng)x=0時，y=2,

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）；

（2）①連接PC,過點(diǎn)。作P〃_L8C,垂足為點(diǎn)〃.

?:P（1,w）在），=?f+x+2上,

???〃?=-1+1+2=2,P（1,2）,

VC（0,2）,B（2,0）,

，BC=2&，PC1OC,NBCO=4°,

：?NPCH=45°,

"H=PH鼎岑.

:?BH=BC?CH=2V2

22

.?,NP8C=里亞.能3

BH223

②由題意可知，點(diǎn)。在第二象限.過點(diǎn)。作QOJLx軸，垂足為點(diǎn)。.

'：ZQBP=ZCBA=45°,

:.NQBD=/CBP，

VtanZP?C=A.

3

，tanNQ8D=?=X

BD3

設(shè)0Q=〃，則3。=3〃，00=3〃-2.

Q（2-3〃，n）>

將Q（2?3〃,n）代入y=?.P+x+2,得?（2-3〃）2+2-3n+2=n,

解得〃=g或（）（舍去），

9

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2,2）.

39

9.（2023?楊浦區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系％。y中，拋物線y=魯2+〃x+c與x軸交于點(diǎn)A（-4,0）和點(diǎn)8,

與），軸交于點(diǎn)C（0,3）,拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D

（1）求拋物線的表達(dá)式：

（2）點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG_Lx軸，垂足為點(diǎn)G,PG與直線AC交于點(diǎn)H.如果P”

=AH,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)AP,試問點(diǎn)B關(guān)于直線CO對稱的點(diǎn)E是否恰好落在直線人P上？請說明

理由.

【答案】⑴產(chǎn)?當(dāng)2?當(dāng)+3；

44

⑵P（一包

3*

（3）8關(guān)于直線C。對稱的點(diǎn)E恰好落在直線4P上，理由見解答過程.

【解答】解：（1）把A（-4,0）,C（0,3）代入v=歷+c得:

y4

-12-4b+c=0

c=3'

-

解得＜b=N,

c=3

(2)如圖:

rtl/1(-4,0),C(0,3)可得直線入。解析式為y-崇+3,八。一正正石村一5,

設(shè)p(〃?，-2-2n+3),則H(m,Ww+3),

444

：.PH=(-&〃2-2〃+3),(且加+3)=-3"』-3次,"G=MM+3,

44444

ZHAG=ZCAO,NAGH=90°=NAOC,

/.△A"GS/\4CO,

3

111+?

.AH=GH即AH=4'

??而OC*'~53

.?.A”=2〃+5,

4

*：PH=AH,

:.-3切2-3機(jī)=互〃+5,

44

解得機(jī)=-區(qū)或〃?=-4(與A重合，舍去)，

3

:.P(?區(qū)，-1^)：

33

(3〕點(diǎn)8關(guān)于直線C。對稱的點(diǎn)E恰好落在直線AP上，理由如"

作5關(guān)于直線CO的對稱點(diǎn)E,過￡作￡W_Lx軸于W,設(shè)交CO于K,如圖:

由)，=-當(dāng)2-2+3得拋物線對稱軸為直線x=-1,B(1,0),

442

：.D(-3,0)，4。=旦

22

VC(0,3),

.?.CD=^ZK,

2

￡關(guān)于直線CO對稱，

???NBA7)=90°=ZDOC,BK=EK,

■:4CDO=/BDK,

：,4BDKSACD0,

5_

.BK=BD=DK即噠=2_=奧

"00CD0D'33瓶3'

丁2

:?BK=J^,QK=返，

2

:.BE=2BK=2低,

VZEWB=90°=4DKB,/WBE=/DBK,

.EW=BW=BE叩上L=BW=樂

**DK麗麗’、近7?"

22

：.EW=2,B\V=4,

：,OW=BW-OB=3,

:?E(-3,2),

由A(-4,0),尸(-$,-11)得直線A尸解析式為y=2x+8,

33

在)，=2x+8中，令x=-3得)，=2,

???E在直線直線4P上，UPB關(guān)于直線CD對稱的點(diǎn)E恰好落在宜線A尸上.

10.(2023?長寧區(qū)一模)己知拋物線y=o?+必+c(。＞0)與