高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值解析版

專題06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值一、單選題1．函數(shù)在上的最小值為（）A． B．4 C． D．【解析】，所以時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以是在上的唯一極值點(diǎn)，極小值也是最小值．．故選：D．2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B．C． D．【解析】因?yàn)?，，則，令得，所以，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：D.3．一邊長(zhǎng)為的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒.當(dāng)方盒的容積最大時(shí)，（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】由題意可得：無蓋方盒的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，則無蓋方盒的容積，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時(shí)，方盒的容積最大，故選：B..4．設(shè)函數(shù)，若有成立，則實(shí)數(shù)取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由，得，令，得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，因?yàn)?，，所以由有成立，可得，所以，故選：A5．若函數(shù)在上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由題知，，，由得，，由得或.所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，上遞減，若函數(shù)在上有最大值，則，解得.故選：A．6．已知函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)任意x都有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，?duì)定義域內(nèi)任意x都有，則對(duì)恒成立，令，則，令，解得：，令，解得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值是，故．選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤.故選:A.7．直線分別與曲線，相交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．2 D．【解析】令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故，易知點(diǎn)，，故，因此，的最小值為.故選：C.8．若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由，得，又關(guān)于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，則，設(shè)，，則，即在上單調(diào)遞增，則，于是有，從而得在上單調(diào)遞增，因此，，則，所以的取值范圍是.故選：D二、多選題9．已知函數(shù)，則（）A．在上單調(diào)遞增B．是的極大值點(diǎn)C．有三個(gè)零點(diǎn)D．在上最大值是【解析】因?yàn)椋?，令，解得或，與隨的變化情況如下表：200極大值極小值因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；是的極大值點(diǎn)，故正確；因?yàn)?，，，，由函?shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可知有三個(gè)零點(diǎn)，故正確；當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，，所以在，上的最大值是4，故正確．故選：．10．已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的極大值為，極小值為C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為D．曲線在點(diǎn)處的切線方程為【解析】由可得，對(duì)于A：由即，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由即，解得：；由即，解得：或；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，的極小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：由選項(xiàng)B知：在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)處切線的斜率曲線在點(diǎn)處的切線方程為即，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11．設(shè)的最大值為，則（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，則，，在區(qū)間上，所以在區(qū)間上遞減，所以，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，則，在區(qū)間上遞增，即，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，則，在區(qū)間上遞增，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.12．已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A． B． C． D．【解析】不等式，而或，則當(dāng)時(shí)，令，，時(shí)，，顯然在單調(diào)遞減，而，使得，時(shí)，時(shí)，在上遞增，在上遞減，又，從而得，最小值1不能取到，即恒成立，所以，則當(dāng)時(shí)，令，，同理可得恒成立，所以，綜上：不等式恒成立的實(shí)數(shù)滿足，則選項(xiàng)A，B符合.故選：AB三、填空題13．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是________．【解析】，令，則，所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，因此14．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【解析】因?yàn)椋瑒t，令，可得；令，可得或.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，令，即，即，解得，如下圖所示：

由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．已知函數(shù)，若存在成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】由題意，函數(shù)，可得，設(shè)，可得，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，即，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，其中最小值為，要使得存在成立，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16．已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【解析】依題意，知，即對(duì)任意恒成立，從而，因此由原不等式，得恒成立．令，則．令，得．當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題17．已知在時(shí)有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.【解析】（1），由題知：聯(lián)立（1）?（2）有(舍)或.當(dāng)時(shí)在定義域上單調(diào)遞增，故舍去；所以，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意（2）當(dāng)，時(shí)，故方程有根或由，得或由得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，，減區(qū)間為：.函數(shù)在取得極大值，在取極小值；經(jīng)計(jì)算，，，，所以最小值為0，最大值為4.18．設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），.曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；【解析】（1），，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，所以.（2），定義域?yàn)?，令得，?dāng)變化時(shí)，和的變化如下表：1－0＋增0減由上表可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為.19．已知函數(shù)（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值.【解析】（1）由已知，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上遞增，當(dāng)時(shí)，令得，得，在上遞減，在上遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，在上遞增，又，時(shí)，時(shí)，，則在上遞減，在上遞增，，當(dāng)時(shí)，，由（1）知在上遞增，又，則在上遞減，在上遞增，，當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上遞減，在上遞增，且，時(shí)，時(shí)，，在上遞減，在在遞增，則，綜上所述：函數(shù)在上的最小值為.20．已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最大值為，求a的值.【解析】（1）.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得.∵切點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，.①若，∵，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，，∴，舍去；②若，為減函數(shù)，∴，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，，∴，舍去；③若，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，，∴.綜上，.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值(參考數(shù)據(jù)：)；（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）求導(dǎo)得：，令可得，令可得，于是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是當(dāng)時(shí)，取最大值為，又，，于是當(dāng)時(shí)，取最小值為綜上：當(dāng)時(shí)，取最大值為，當(dāng)時(shí)，取最小值為（2）原不等式即為：，可化簡(jiǎn)為記，則原不等式有解可轉(zhuǎn)化為的最大值求導(dǎo)得：，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減于是：，于是，解得：.22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求過坐標(biāo)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖像相切的直線方程；（2）當(dāng)