高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題16 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題解析版

專(zhuān)題16極值點(diǎn)偏移問(wèn)題1．已知函數(shù)，若，且，證明：.【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，若，則必有，所以，而，令，則，所以函數(shù)在為減函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以.2．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求證：；（2）求證：.【解析】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，①?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增.所以的最小值為，所以，即，解得.（2）由題意，要證，只要證，由（1）易知，即，而在區(qū)間上是增函數(shù)，所以只要證明，因?yàn)?，即證，設(shè)函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，而，所以，即，所以.3．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）．設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取滿(mǎn)足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)．設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為．（2）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．4．已知（1）若，求的最大值；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明:.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，則在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且有，當(dāng)時(shí)，，即為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即為上的減函數(shù)，所以.（2）證明：由題意知：由，則，即為方程的兩個(gè)不同的正根，故而需滿(mǎn)足：，解得，所以令，，令，所以；則為上的減函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，即為上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即為上的減函數(shù)，所以，所以，證畢.5．已知函數(shù).（，，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.【解析】（1）當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，不成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，即，由題意知，，為方程的兩根，故，不妨設(shè)，則，，由（1）知，當(dāng)，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），當(dāng)時(shí)，恒有，，又，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），從而，綜上可得：．6．已知函數(shù).（1）若存在單調(diào)減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）若為的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，證明：.【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，根?jù)題意知有解，即有解，令，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；（2）由是的不同極值點(diǎn)，知是兩根(設(shè))即，①②聯(lián)立可得：③要證，即證，即由③可得令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明成立(*)在上單調(diào)遞增，，(*)成立，得證.7．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：有唯一零點(diǎn)；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求證：.【解析】（1）（）∵，，所以在，上遞增，在遞減，又，時(shí)，，所以有唯一零點(diǎn)；（2）（），.若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），則方程的判別式且，，因而，又，∴，即，設(shè)，其中，由得，由于，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的最大值為，從而成立.8．已知函數(shù)（）.（1）若是定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求的取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)?，，∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴，即對(duì)恒成立.則恒成立.∴，∵，∴.所以，a的取值范圍是.（2）設(shè)方程，即得兩根為，，且.由且，得，∵，，∴，∴.，∵，∴代入得，令，則，得，，，∴而且上遞減，從而，即，∴.9．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．【解析】（1）的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，；，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（2）若函數(shù)有兩個(gè)零，點(diǎn)，，根據(jù)（1），可得．不妨設(shè)，由，得兩式相減，得，解得，要證明，即證，即證，設(shè)，則．則，則，所以在上為增函數(shù)，從而，即成立，因此，成立．即證.10．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性（2）若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.【解析】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明：因?yàn)?，是的兩個(gè)零點(diǎn).所以，，所以，則，要證，即證.不妨設(shè)，則等價(jià)于.令，則，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，即對(duì)任意恒成立.故.11．已知函數(shù).（1）若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若，且，證明：.【解析】（1），，則，，令，得或；令，得；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：，，令，則，所以在上為增函數(shù)；，，與同號(hào)，不妨設(shè)，設(shè)，則，，，，在上為增函數(shù)，，，，又在上為增函數(shù)，，即.12．已知函數(shù)．（1）求的圖象在處的切線(xiàn)方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，證明：．【解析】（1），定義域?yàn)?，，?因此，函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為，即；（2）令，得，由題意可得，兩式相加得，兩式相減得，設(shè)，可得，，要證，即證，即，令，即證.構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以，.因此，.13．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，則，由，得，由，得，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得最大值為，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)沒(méi)有極值.（2）因?yàn)?，所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)?，所以，要證，等價(jià)于證明，等價(jià)于證明，等價(jià)于證明，等價(jià)于證明，因?yàn)椋?，所以等價(jià)于證明，設(shè)，即證，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，所以.14．已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為：，，證：.【解析】（1）由題意可知，的定義域?yàn)?，且，令，則函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；由可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；故要滿(mǎn)足題意，必有，解得.（2）證明：由（1）可知，，故要證，只需證明，即證，不妨設(shè)，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，由，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以得證，即證.15．已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程，并證明：；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，證明：.【解析】（1），所以，，即切線(xiàn)方程：.下證：，令因?yàn)椋?，顯然在單調(diào)遞增，，所以易得在遞減，遞增，所以，所以.（2），則為方程的兩根，不妨設(shè)，顯然在時(shí)單調(diào)遞增，由，，所以存在，使，當(dāng)，，遞減，，，遞增，由（1）得，，所以：，∴，要證：，需證：，即證：，因?yàn)椋?，所以，即證：，即：，令，，，顯然在單調(diào)遞增，且，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即不等式成立.16．已知函數(shù)，其中a為正實(shí)數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①若，即時(shí)，則，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為；②若，即時(shí)，令，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，.因?yàn)?，，要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點(diǎn)存在定理，可知在上唯一實(shí)根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.17．已知有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求a的取值范圍(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn),求證：【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)函數(shù)取最小值當(dāng)時(shí)，，即，所以至多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，即因?yàn)?，所以在有一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)椋?，，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍是.（2）不妨設(shè)，由（1）知，，.構(gòu)造函數(shù)，則因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，恒有，即因?yàn)椋杂谑怯?，且在單調(diào)遞增，所以，即18．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)的值；（3）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求證：．【解析】（1）．．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，由得；由，解得．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，且的最小值，即．，．令，可知在上為增函數(shù)，且（2）