高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題17 導(dǎo)數(shù)中的三角函數(shù)問題解析版

專題17導(dǎo)數(shù)中的三角函數(shù)問題1．設(shè)函數(shù).（1）若在處的切線為，求的值；（2）當時，恒成立，求的范圍.【解析】（1）由得：，且.由題意得：，即，又在切線上.∴，得.（2）當時，，得，當時，，當時，，此時.∴，即在上單調(diào)遞増，則，要使恒成立，即，∴.2．已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）證明：當時，．【解析】（1），,當時,；當時,當變化時,的變化情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此,當時,有極大值,并且極大值為，沒有極小值.（2）令函數(shù),由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點.設(shè)為,則，當時,；當時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，當時,.故.3．設(shè)函數(shù)．（1）若在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：當時，．【解析】（1）設(shè)，因為當時，為增函數(shù)，當時，，，所以在上恒大于零，所以在上不存在零點，當時，在上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的和為增函數(shù)，所以在上為單調(diào)函數(shù)，所以在上若有零點，則僅有1個，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍（2）證明：設(shè)，則，則，所以，因為，所以，所以在上遞增，在上恒成立，所以在上遞增，而，因為，所以，所以恒成立，所以當時，4．已知函數(shù)，（其中）.（1）證明：當時，；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，，，，恒成立，在上單調(diào)遞減，所以，當時，都有，因此，當時，；（2）即，由得，令，，令，，則，得在單調(diào)遞減，，從而當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，，得.即實數(shù)的取值范圍為.5．已知函數(shù)，.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）若，則，∴∴，令，則，∴，令，則，，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2），令，，則令，則.∵，∴，∴，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，故所以實數(shù)的取值范圍是.6．設(shè)，．（1）討論在上的單調(diào)性；（2）令，試判斷在上的零點個數(shù)，并加以證明．【解析】（1），令，則，或，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，時，，單調(diào)遞減，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和．（2）在上有3個零點，證明如下：，則，故是的一個零點，，是偶函數(shù)，要確定在上的零點個數(shù)，只需確定時，的零點個數(shù)即可，①當時，，令，即，，時，，單調(diào)遞減，，，時，，單調(diào)遞增，，在有唯一零點．②當時，由于，，，而在，單調(diào)遞增，，故，故在，無零點，在有一個零點，由于是偶函數(shù)，在有一個零點，而，故在上有且僅有3個零點．7．設(shè)（1）恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：當時，．【解析】（1）解，當時，恒成立，所以在為增函數(shù)?此時恒成立：當時，存在，使得，所以在單調(diào)遞減，當時，與矛盾．綜上所述，的取值范圍為；（2）證明：原不等式等價于易知，令，則，，所以在是減函數(shù)，考慮到在也是減函數(shù)，所以，在為增函數(shù)，又因為，所以時，，所以在為增函數(shù)，又因為，所以在成立，命題獲證．8．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求證：；（3）求證：當時，方程有且僅有2個實數(shù)根.【解析】（1）因為，，故在點處的切線斜率為，點為，故所求的切線方程為，（2）令，的定義域為，，當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴當時，恒成立，故當時，；（3）由，即，則，設(shè)，的定義域為，，設(shè)，的定義域為，，當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，，∴存在唯一的使得，當時，，則，∴在上單調(diào)遞增，當時，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值也是最大值，從而又，，∴在與上各有一個零點，即當時，方程有且僅有2個實數(shù)根9．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題可知.令，得，從而，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由可得，即當時，恒成立.設(shè)，則.令，則當時，.∴當時，單調(diào)遞增，，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.∴，∴.10．已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【解析】（1），，由得，當時，；當時，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵，且，∴由（1）知，不妨設(shè).要證，只需證明，而，在上單調(diào)遞減，故只需證明.又，∴只需證明.令函數(shù)，則，當時，，，故，∴在上單調(diào)遞增，故在上，∴成立，故成立.11．已知.（1）當有兩個零點時，求的取值范圍；（2）當，時，設(shè)，求證：.【解析】(1)由題知，有兩個零點，時，，故當有一個非零實根，設(shè)，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，時，；時，.所以，的取值范圍是或.(2)由題，，法一：，令，令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，法二：要證成立，故設(shè)，，()，令，則，在上單調(diào)遞增.又，使，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.=0，12．已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)的值，并證明：對，恒成立．（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)在上零點的個數(shù)，并說明理由．【解析】（1）根據(jù)題意，，曲線在點處的切線方程為，，，此時若要證明，對，恒成立，需證明，，故需證明，則令，，；；，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；故有當，，即對，恒成立，，恒成立．（2）根據(jù)題意可得，，在同一個直角坐標系中作出函數(shù)和的圖象如下：假設(shè)當時，函數(shù)和的相交，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；即得，，，又，綜上可得，函數(shù)在上無零點，在上只有一個零點，即函數(shù)在上只有一個零點．13．設(shè)函數(shù)，，（為參數(shù)）．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間，并證明有且只有兩個零點；（2）當時，證明：在區(qū)間上有兩個極值點．【解析】（1）當時，，，.當時，；當時，，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．且，，，.根據(jù)零點存在定理得，在有唯一零點，在有唯一零點，因此，在上有且只有兩個零點．（2）當時，，，令，則，當時，，當時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又因為，，，根據(jù)零點存在定理得，在和各有一個零點分別為，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在上有一個極大值點和一個極小值點．14．已知函數(shù)，.（1）若在上有極值點，求的取值范圍；（2）若，時，，求的最大值.【解析】（1），依題意，有變號零點，令，則，所以在有實根，注意到，所以，解得，即.（2），，當時，，顯然成立；當時，，所以.記，則恒成立，，，在單調(diào)遞增，，若，則，記，，則，所以存在，使得，當時，，單調(diào)遞減，所以時，，不符題意，當時，，即時，單調(diào)遞增，所以，，符合題意，當時，，由，，所以，而時，，所以成立，綜上所述，的最大值為3.15．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，.（1）若曲線在點處的切線斜率為，求的最小值；（2）若當時，有解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由得.曲線在點處的切線斜率為，，，.當時，，，，當時，，，則，在上單調(diào)遞增，；（2），設(shè)，，則當時，有解.，.當時，，解，可得或，解得，.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.，，且，，的取值范圍為.16．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，，求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，．所以．所以所求切線方程為．（2）法一：設(shè)，則當時，．所以，所以．因為，其中，，．又當時，，所以在單調(diào)遞增．因為，，所以存在，使．03極小所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．依題意，只需，即．所以的取值范圍是．法二：設(shè)，則當時，．當時，．當時，設(shè)．則．令，則．所以時，，單調(diào)遞增．所以時，，，單調(diào)遞增．依題意，只需，即．所以的取值范圍是．17．已知函數(shù).（1）當時，求證：；（2）求證：當時，方程有且僅有個實數(shù)根.【解析】(1)令，的定義域為，，當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∴當時，恒成立，故當時，；(2)設(shè)，的定義域為，，設(shè)，的定義域為，，當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，，∴存在唯一的使據(jù)，當時，則，∴在上單調(diào)遞增，當時，則，∴在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值也是最大值，又，，，∴在與上各有一個零點，即當時，方程有且僅有個實數(shù)根.18．已知函數(shù)．（1）試討論函數(shù)在區(qū)間上的極值點的個數(shù)；（2）設(shè)，當時，若方程在區(qū)間上有唯一解，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1），①當時，因為，所以，所以單調(diào)遞增，在上無極值點；②當時，在上單調(diào)遞減，，所以存在，使得，則為的極大值點；在上單調(diào)遞增，，所以存在使得，則為的極小值點；所以在上存在兩個極值點．③當時，在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得，則為的極小值點；在上單調(diào)遞減，，所以存在使得，則為的極大值點；所以在上存在兩個極值點．綜上所述，當時，在上無極值點；當或時，在上存在兩個極值點．（2）當時，，則，設(shè)，則．因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為．所以存在唯一的，使得，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為，又因為方程在區(qū)間上有唯一解，所以．19．已知函數(shù)．（1）若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，，若恰有1個零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）∵在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴對任意恒成立∴，則，令，．則，∴在單調(diào)減，則的最小值為，∴，即，所以實數(shù)a的取值范圍是，（2）①，，所以，當時，，所以在單調(diào)遞增，又因為，所以在上無零點．當時，，使得，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，，所以若，即時，在上無零點，若，即時，在上有一個零點，當時，，在上單調(diào)遞減且，所以在上無零點，綜上，20．已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若在上有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）證明：當時，，令，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即；（2），由在上有兩個極值點，則在上有兩個不同的實根，即，設(shè)，，令，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，又，所以當時，方程有兩個不同的實數(shù)根，所以實數(shù)a的取值范圍為.21．已知函數(shù)，其中為的導(dǎo)數(shù)．（1）若為定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當時，記，求證：當時，恒成立．【解析】（1）因為，所以，要使為定義域內(nèi)的單調(diào)減函數(shù)，需滿足，即，令，，由且函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，知的最大值為，所以當時，在定義域內(nèi)單調(diào)減函數(shù)．綜上，a的取值范圍是．（2）當時，，，要，即證，當時，，而，所以成立，當時，令，則，記，則，所以當時，單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即有成立．綜上，對任意，恒有成立．22．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，討論的零點個數(shù).【解