2024學(xué)年福州市長(zhǎng)樂(lè)一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一階段考試卷附答案解析

學(xué)年福州市長(zhǎng)樂(lè)一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一階段考試卷完卷時(shí)間：120分鐘，滿分：150分單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線x+y﹣1＝0是圓（x﹣m）2+（y﹣1）2＝1的一條對(duì)稱軸，則m＝（）A．0 B．1 C．2 D．42．“a＝1”是“直線a2x﹣y+1＝0與直線x+y＝0互相垂直”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．向量，，且，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或4．下列命題正確的是（）A．若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則直線l∥α B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使 C．若空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為 D．若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為5．已知正方體ABCD﹣EFGH的棱長(zhǎng)為1，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足，則P點(diǎn)到直線AB的距離為（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)A（2，﹣3），B（﹣5，﹣2），若直線l：mx+y+m﹣1＝0與線段AB（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．B． C． D．7．點(diǎn)到直線l：的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)l的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；8.邊長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線l的傾斜角是30°B．過(guò)點(diǎn)與直線l平行的直線是C．直線到直線l的距離為D．若直線m：，則l⊥m10．下列說(shuō)法正確的是（）A．在四面體OABC中，若，則A，B，C，G四點(diǎn)共面 B．若G是四面體OABC的底面三角形ABC的重心，則 C．已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為1，且∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則對(duì)角線 D．若向量，則稱（m，n，k）為在基底下的坐標(biāo)，已知向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為（1，2，3），則向量在基底下的坐標(biāo)為11．長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．長(zhǎng)方體外接球的表面積等于7π B．P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB1的最小值等于3 C．點(diǎn)A1到平面點(diǎn)C1BD的距離等于 D．二面角A1﹣BD﹣A的正切值等于2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．兩條直線2x+3y﹣k＝0和x﹣ky+12＝0的交點(diǎn)在y軸上，那么k的值是．13．已知點(diǎn)，，，，則向量在向量上的投影向量的模為已知P，Q分別在直線l1：x﹣y+1＝0與直線l2：x﹣y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，點(diǎn)A（﹣4，6），B（5，﹣1），則|AP|+|PQ|+|QB|的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知ΔABC的頂點(diǎn)為，，，求：（1）邊AC上的中線所在直線的方程；（2）邊AC上的高所在直線的方程；（3）邊AC的垂直平分線的方程.16．(15分)如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．（1）求證：AB1⊥平面A1BD；（2）求平面A1BD與平面A1DC1的夾角的余弦值．17．（15分）設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y+2﹣a＝0（a∈R）．（1）求證：不論a為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)M；（2）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；（3）若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S，求S的最小值．18.（17分）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸、y軸、z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作．（1）若，，求的斜60°坐標(biāo)；（2）在平行六面體ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．①若，求向量的斜60°坐標(biāo)；②若，且，求．19.（17）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有表有廣，而上有表無(wú)廣：芻，草也，甍，屋蓋也”.翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱：芻甍為茅草屋頂”．現(xiàn)將一個(gè)正方形折疊成一個(gè)“芻甍”，如圖1，E、F、G分別是正方形的三邊AB，CD，AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB，CG就得到了一個(gè)“芻甍“，如圖2．（1）若O是四邊形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)；求證：AO∥平面GCF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小為π，求直線AB與平面GCF所成角的正弦值．2024-2025學(xué)年第一學(xué)期長(zhǎng)樂(lè)一中階段一考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)科參考答案第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678AABCDDCD二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011BCBCDABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．±613．214．10+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）（1）設(shè)中點(diǎn)為，所以，即，所以，直線：，即，所以邊上的中線所在的直線方程為.（2）由題意得，所以邊上高的斜率為-2，所以邊上高所在直線的方程為：，即.（3）由（2）得的垂直平分線的斜率為-2，由（1）得的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，所以的垂直平分線的方程為：，即.16．（15分）（1）證明：設(shè)AB1∩A1B＝F，連接DE，DA，DB1，由題意知，四邊形ABB1A1為正方形，∴AB1⊥A1B，在Rt△ACD中，，在Rt△B1C1D中，，∴DA＝DB1，∵F是AB1的中點(diǎn)，∴AB1⊥DF，∵A1B∩DF＝F，且A1B，DF?平面A1BD，∴AB1⊥平面A1BD．（2）解：取BC的中點(diǎn)O，B1C1的中點(diǎn)E，連接AO，OE，則AO⊥BC，OE⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，∴AO⊥平面BCC1B1，又OE?平面BCC1B1，∴AO⊥OE，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OA所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，C1（﹣1，2，0），B1（1，2，0），∴，由（2）知平面A1BD的一個(gè)法向量為，設(shè)平面A1DC1的法向量為，則，取，得x＝﹣3，y＝0，∴，設(shè)平面A1BD與平面A1DC1的夾角為α，則cosα＝，∴平面A1BD與平面A1DC1的夾角的余弦值為．17．（15分）（1）證明：因?yàn)橹本€l的方程為（a+1）x+y+2﹣a＝0，即a（x﹣1）+x+y+2＝0，聯(lián)立，解得x＝1，y＝﹣3，故直線l過(guò)定點(diǎn)M（1，﹣3）；（2）解：因?yàn)閘在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得a＝2，此時(shí)直線l的方程為3x+y＝0；當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得a﹣2＝，解得a＝0，此時(shí)直線l的方程為x+y+2＝0，故直線l的方程為3x+y＝0或x+y+2＝0；（3）令y＝0，可得x＝＞0，令x＝0，可得y＝a﹣2＜0，則a＜﹣1，此時(shí)S＝|OA||OB|＝××（2﹣a）＝，令t＝a+1，則t＜0且a＝t﹣1，所以S＝﹣×＝（t+﹣6）＝（﹣t﹣）+3×+3＝6，當(dāng)且僅當(dāng)﹣t＝﹣，即t＝﹣3，此時(shí)a＝﹣2，S取得最小值6．18．（17分）解：（1）∵，∴＝，∴的斜60°坐標(biāo)為[0，3，5]．（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①＝＝＝＝；②由題，由M＝[2，t，0]，知，由，知：，∴，∴，解得t＝﹣2則＝＝19．解：（1）證明：取線段CF中點(diǎn)H，連接OH、GH，如圖所示：由題意得四邊形EBCF為矩形，AG＝EF，則O是EC的中點(diǎn)，∴OH∥EF，且OH＝EF，∴OH∥AG，OH＝AG，∴四邊形AOHG是平行四邊形，∴AO∥GH，又AO?平面GCF，GH?平面GCF，∴AO∥平面GCF；（2）建立以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EB、EF所在的直線為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)E作z軸⊥平面EBCF，如圖所示：由圖1可知AE⊥EF，EF⊥EB，由二面角的定義可知此時(shí)∠AEB即為平面AEF與平面EFB的一個(gè)二面角，即∠AEB＝π＝120