北京市豐臺區(qū)2023屆高三下學(xué)期綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)試題 附答案

北京市豐臺區(qū)2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)（二）高三數(shù)學(xué)2023.04本試卷共6頁，150分．考試時(shí)長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）（A）{1} （B）{0，1} （C）{－1，0，1} （D）{－1，0，1，2}2.若復(fù)數(shù)，則（）（A） （B）－ （C） （D）53.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則＝（）（A）－5 （B）5 （C）7 （D）84.若某圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則它的體積為（）（A） （B） （C）π （D）2π5.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若E為AD的中點(diǎn)，則＝（）（A） （B） （C） （D）6.已知圓C：，若雙曲線的一條漸近線與圓C相切，則m＝（）（A） （B） （C）2 （D）87.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）（A）向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度（B）向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度（C）向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度（D）向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度8.已知A、B是△ABC的內(nèi)角，“△ABC為銳角三角形”是“B”的（）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件9.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）（A） （B）（C）若，則（D）若，則10.已知A，B，C是單位圓上的三個(gè)動點(diǎn)，則的最小值是（）（A）0 （B）－ （C）－1 （D）－2第二部分（非選擇題110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.在的展開式中的系數(shù)為___．（用數(shù)字作答）12.已知點(diǎn)P（0，2），直線，則過點(diǎn)P且與直線l相交的一條直線的方程是___．13.若函數(shù)，則___；f（x）的值域?yàn)開__．14.在水平地面豎直定向爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)炸開的每塊碎片的運(yùn)動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中碎片達(dá)到的最大高度為40米，碎片距離爆炸中心的最遠(yuǎn)水平距離為80米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為___米．15.已知函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①f（x）的最小正周期是π；②f（x）的一條對稱軸方程為③若函數(shù)在區(qū)間[0，]上有5個(gè)零點(diǎn)，從小到大依次記為，，，，，則；④存在實(shí)數(shù)a，使得對任意，都存在且，滿足．其中所有正確結(jié)論的序號是___．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（本小題13分）在四邊形ABCD中，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解決下列問題．（I）求BD的長；（II）求四邊形ABCD的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17.（本小題14分）如圖，在多面體ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，平面ABF//平面CDE，A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，．（I）求證：；（II）求點(diǎn)F到平面BCE的距離；（III）過點(diǎn)F與CE垂直的平面交直線BE于點(diǎn)P，求EP的長度．18.（本小題14分）某地區(qū)教育研究部門為了解當(dāng)前本地區(qū)中小學(xué)教師在教育教學(xué)中運(yùn)用人工智能的態(tài)度、經(jīng)驗(yàn)、困難等情況，從該地區(qū)2000名中小學(xué)教師中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行了訪談．在整理訪談結(jié)果的過程中，統(tǒng)計(jì)他們對“人工智能助力教學(xué)”作用的認(rèn)識，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：沒有幫助有一些幫助很有幫助合計(jì)性別男21020女354080年齡40歲以下（含40歲）13540歲以上62645假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每位教師對“人工智能助力教學(xué)”作用的認(rèn)識相互獨(dú)立．（I）估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中認(rèn)為人工智能對于教學(xué)“沒有幫助”的人數(shù)；（II）現(xiàn)按性別進(jìn)行分層抽樣，從該地區(qū)抽取了5名教師，求這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對于教學(xué)“很有幫助”的概率；（III）對受訪教師關(guān)于“人工智能助力教學(xué)”的觀點(diǎn)進(jìn)行賦分：“沒有幫助”記0分，“有一些幫助”記2分，“很有幫助”記4分．統(tǒng)計(jì)受訪教師的得分，將這100名教師得分的平均值記為，其中年齡在40歲以下（含40歲）教師得分的平均值記為，年齡在40歲以上教師得分的平均值記為，請直接寫出，，的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）19.（本小題15分）已知橢圓C：經(jīng)過兩點(diǎn)A（－2，0），B（，）．（I）求橢圓C的方程和離心率；（II）設(shè)P，Q為橢圓C上不同的兩個(gè)點(diǎn)，直線AP與y軸交于點(diǎn)E，直線AQ與y軸交于點(diǎn)F，若點(diǎn)M（1，0）滿足，求證：P，O，Q三點(diǎn)共線．20.（本小題15分）已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（II）若f（x）是增函數(shù)，求a的取值范圍；（III）證明：f（x）有最小值，且最小值小于f（1）．21.（本小題14分）已知等比數(shù)列{}的公比為，其所有項(xiàng)構(gòu)成集合A，等差數(shù)列{}的公差為d（，其所有項(xiàng)構(gòu)成集合B．令，集合C中的所有元素按從小到大排列構(gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列{}．（I）若集合，寫出一組符合題意的數(shù)列{}和{}；（II）若，數(shù)列{}為無窮數(shù)列，，且數(shù)列{}的前5項(xiàng)成公比為p的等比數(shù)列．當(dāng)時(shí)，求p的值；（III）若數(shù)列{}是首項(xiàng)為1的無窮數(shù)列，求證：“存在無窮數(shù)列{}，使的充要條件是“d是有理數(shù)”．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）豐臺區(qū)2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)（二）高三數(shù)學(xué)參考答案2023.4一、選擇共10小題，每小題4分，共40分題號12345678910答案BCBADCDADB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分11.24 12.（答案不唯一） 13.0； 14.80 15.②③三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（本小題13分）選擇條件①：解：（I）在△BCD中，由余弦定理得，即，解得．………………6分（II）在△BCD中，BC＝3，CD＝2，，所以BD2＋CD2＝BC2，因此，所在△ABD中，AB＝1，AD＝2，，所以AB2＋AD2＝BD2，所，又因?yàn)?，所以．……………?3分選擇條件②：解：（1）在△BCD中，BC＝3，CD＝2，由余弦定理得=1\*GB3①，在△ABD中，AB＝1，DA＝2，由余弦定理得=2\*GB3②，因?yàn)?，所以，由①②解得，代?1\*GB3①得………………6分（II）因?yàn)?，所以，所以，所以．………?3分17.（本小題14分）（I）證明：因?yàn)槠矫鍭BF//平面CDE，平面平面ABF＝AF，平面平面CDE＝DE，所以AF//DE．………………4分（II）因?yàn)镈E⊥平ABCD，AD，DC平直ABCD，所以，又因?yàn)?，·所以AD，DC，DE兩兩垂直，以D為原點(diǎn)建立空直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖所示，，，設(shè)平面BCE的法向量為由得所以，所以平面BCE的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)F到平面BCE的距離…………9分（III）設(shè)，可得，因?yàn)镕P在CE的垂面上，所以FP⊥CE，所以，所以，所以…………14分18.（本小題14分解：（I）；…………4分（II）設(shè)事件A＝“按性別進(jìn)行分層抽樣，從該地區(qū)抽取了5名教師，這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對于教學(xué)很有幫助”．按性別進(jìn)行分層抽樣，從該地區(qū)抽取了5名教師，其中1名男教師，4名女教師．由題意可知100名被調(diào)查的教師中．有8名男教師和40名女教師認(rèn)為人工智對于教學(xué)“很有幫助”，所以估計(jì)從該地區(qū)教師中任取一名男教師，認(rèn)為人工智能對于教學(xué)“很有幫助”的概率為；任取一名女教師，認(rèn)為人工智能對于教學(xué)“很有幫助”的概率為．故…………11分（III）…………14分19.（本小題15分）解：（I）因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，A（－2，0），B（，）．所以，解得，所以橢圓C的方程為：，因?yàn)椋詸E圓C的離心率為．…………5分（II）方法1：設(shè)點(diǎn)，所以直線PA的方程為，直線AQ的方程，所以點(diǎn)因?yàn)?，所以?1\*GB3①當(dāng)直線PQ無斜率時(shí)，設(shè)x＝m，則代入①得，解得，所以P，O，Q三點(diǎn)共線．當(dāng)直線PQ有斜率時(shí)，設(shè)，由得：所以代入①得：解得：n＝0或n＝2k當(dāng)n＝2k時(shí)，直線PQ的方程，不符合題意．所以P，O，Q三點(diǎn)共線．綜上，P，O，Q三點(diǎn)共線．………………15分方法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)F（0，n），直線PA的方程為，所以點(diǎn)E（0，）因?yàn)椋运?，即，所以直線AF的方程為要證P，O，Q三點(diǎn)共線，由橢圓的對稱性，只需證在直線AF上．又因?yàn)?，所以，所以所以在直線AF上，所以P，O，Q三點(diǎn)共線………………15分20.（本小題15分）解：f（x）的定義域?yàn)椋↖）當(dāng)a＝0時(shí)，所以，因此，所求切線方程關(guān)，即．………………4分（II），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是增函數(shù)，所以在區(qū)間（0，＋∞）上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間（0，＋∞）上恒成立，法1：轉(zhuǎn)化為在區(qū)間（0，＋∞）上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以，所以．當(dāng)時(shí)，滿足條件．所以a的取值范圍是………………9分法2：當(dāng)時(shí)，在區(qū)（0，＋∞）上恒成立，符合題意．當(dāng)時(shí)，令，則在區(qū)間（0，＋∞）上恒成立，因?yàn)椋?，所以，綜上所述：a的取值范圍是．………………9分（III）由（II）知，當(dāng)時(shí)，f（x）是增函數(shù)，f（x）的最小值；當(dāng)時(shí)，由得，，該方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，設(shè)為，且，隨x的變化，的變化情況如下表：x＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f（x）的極小值為，f（x）的最小值為，記為．當(dāng)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，此時(shí)，綜上所述，………………15分21.（本小題14分）解：（I）為4，6，9；為1，3，5，7（答案不唯一）…………4分（II）由題意，因?yàn)閿?shù)列是公差d不為0的無窮數(shù)列，所以數(shù)列的公差必為正數(shù)否則，假設(shè)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，與矛盾．?dāng)?shù)列的前5項(xiàng)為，且，因?yàn)閐＞0，所以是遞增數(shù)列．因?yàn)椋裕藭r(shí)必有，事實(shí)上，若，則的前5項(xiàng)即是的前5項(xiàng)，與矛盾，所以或．若，則，所以，此時(shí)的前5項(xiàng)為，即，所以數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以符合題意；若，則或①時(shí)，有成等差數(shù)列，所以，解得p＝1，與p＞1矛盾；=2\*GB3②時(shí)，有，所以，所以的前5項(xiàng)為，因?yàn)?，所以，即，所以，與為等差數(shù)列矛盾．所以不可能．綜上，p的值為．…………9分（III）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1的無窮數(shù)列，由（2）知，數(shù)列是遞增的數(shù)列；對于公比不為1的無窮數(shù)列，必有．否則，若q為負(fù)，則相鄰兩項(xiàng)必有一項(xiàng)