新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系分層作業(yè)新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

第一章1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)級(jí)必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),則向量b等于()A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)2.[探究點(diǎn)一、二]已知a=(1,2,y),b=(x,1,2),且a∥b,則x·y=()A.1 B.-1 C.-2 D.23.[探究點(diǎn)二](多選題)已知向量a=(1,1,0),則與a共線的單位向量e=()A.-2B.(0,1,0)C.22D.(-1,-1,0)4.[探究點(diǎn)一]若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),則△ABC的形態(tài)是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形5.[探究點(diǎn)二、三](多選題)對(duì)于隨意非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),以下說法錯(cuò)誤的有()A.若a⊥b,則x1x2+y1y2+z1z2=0B.若a∥b,則xC.cos<a,b>=xD.若x1=y1=z1=1,則a為單位向量6.[探究點(diǎn)二、三]已知向量a=(1,0,m),b=(2,0,-23),若a∥b,則|a|=()A.-1 B.0 C.1 D.27.[探究點(diǎn)三]已知向量a=(5,3,1),b=(-2,t,-25),若a與b的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.8.[探究點(diǎn)二、三·北師大版教材習(xí)題]已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=AB,b=AC,(1)設(shè)|c|=3,c∥BC,求c的坐標(biāo);(2)求a與b的夾角;(3)若ka+b與ka-2b相互垂直,求實(shí)數(shù)k的值.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.(多選題)已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn),若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),則 ()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=53 D.AP∥BC10.[2024山西渾源高二階段練習(xí)]已知向量{a,b,c}是空間向量的一組單位正交基底,向量{a+b,a-b,a+c}是空間向量的另一組基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(2,3,4),則p在{a+b,a-b,a+c}下的坐標(biāo)為()A.(-12,52,4) BC.(12,-52,4) D.(52,11.已知點(diǎn)A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AB在AC上的投影的數(shù)量為12.已知空間向量a=(1,-2,3),則向量a在坐標(biāo)平面xOy上的投影向量是.

13.[2024湖北高二階段練習(xí)]如圖,已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A'B'C'D'的對(duì)角線BD'上,∠PDC=60°.設(shè)D'P=λD'B,則λ14.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).(1)求cos<AC,PB(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE⊥平面PAC,求N點(diǎn)的坐標(biāo).15.已知點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積;(2)若|a|=3,且向量a分別與向量AB,AC垂直,求向量C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,△PBC為等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四邊形ABCD為直角梯形,滿意AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=26.(1)若點(diǎn)F為DC的中點(diǎn),求cos<AP,BF(2)若點(diǎn)E為PB的中點(diǎn),點(diǎn)M為AB上一點(diǎn),當(dāng)EM⊥BF時(shí),求|

1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系1.B2.D因?yàn)閍∥b,所以2x=1所以x·y=2.3.AC對(duì)A,存在實(shí)數(shù)λ=-2,使(1,1,0)=-2(-22,-22,0),且(-2對(duì)B,不存在實(shí)數(shù)λ,使(1,1,0)=λ(0,1,0),故B錯(cuò)誤;對(duì)C,存在實(shí)數(shù)λ=2,使(1,1,0)=2(22,22對(duì)D,|(-1,-1,0)|=1+1=2,不是單位向量,故D錯(cuò)誤.4.AAB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1).由AB·AC>0,得A為銳角;由CA·CB>0,得C為銳角;由BA·BC>0,得B為銳角5.BD對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)閍⊥b,則a·b=x1x2+y1y2+z1z2=0,A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),若x2=0,且y2≠0,z2≠0,若a∥b,分式x1對(duì)于C選項(xiàng),由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可知cos<a,b>=x1對(duì)于D選項(xiàng),若x1=y1=z1=1,則|a|=12+12+16.D由a∥b,得a=λb,即(1,0,m)=λ(2,0,-23),所以1=2λ,m=-23λ,所以λ=12,m=-23×1所以a=(1,0,-3),所以|a|=12+0故選D.7.(-∞,-65)∪(-65,5215)由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×(-25)=3t-525,因?yàn)閍與b的夾角為鈍角,所以a·b<0,即3若a與b的夾角為180°,則存在λ<0,使a=λb(λ<0),即(5,3,1)=λ(-2,t,-25所以5=-2故t的取值范圍是(-∞,-65)∪(-658.解(1)BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2).因?yàn)閏∥BC,所以c=λBC,所以c=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).又|c|=3,所以|c|=4λ2+λ2+4λ2=3|λ|=3,所以λ=±1,所以c=(-2,(2)a=AB=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),所以a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1,|a|=12+12+0所以cos<a,b>=-12×因?yàn)?lt;a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π-arccos1010(3)由(ka+b)⊥(ka-2b)得(ka+b)·(ka-2b)=0,所以k2a2-2ka·b+ka·b-2b2=0,所以2k2-k·(-1)-2×5=0,所以2k2+k-10=0,所以k=2或k=-529.ACAP·AB=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,即BP=BA+AP=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP·AP=3+6-3=6≠0,∴AP與BP不垂直,故B不正確;BC=AC-AB∴|BC|=62假設(shè)AP=kBC(k∈R),則1=6k,-2=k,10.C不妨設(shè)向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),則向量a+b=(1,1,0),a-b=(1,-1,0),a+c=(1,0,1).設(shè)p=x(a+b)+y(a-b)+z(a+c),即(2,3,4)=x(1,1,0)+y(1,-1,0)+z(1,0,1),∴x+y即p在{a+b,a-b,a+c}下的坐標(biāo)為(12,-52故選C.11.-4∵AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),∴cos<AB,AC>=0-20+042+(-5)2×42+(-3)2=-2012.(1,-2,0)13.2-1以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD'為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,則A(1,0,0),C(0,1,0),D'(0,0,1),B(1,1,0),則P(λ,λ,1-λ)(0<λ<1),∴DP=(λ,λ,1-λ),DC=(0,1,0),∴cos<DC,DP>=DC·DP|由0<λ<1,解得λ=2-1.14.解(1)由題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(0,12,1),從而AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2)則cos<AC,PB>=(2)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi),故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,z),則NE=(-x,12,1-z),由NE⊥平面PACNE化簡得z即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(36,0,1)15.解(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),設(shè)θ為AB,則cosθ=AB·∴sinθ=32.∴以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積S=|AB||AC|sinθ=73(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意,得-2x∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).16.解(1)因?yàn)椤鱌BC為等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,所以PC=PB=22.又PD2=(26)2=24,PC2+CD2=(22)2+42=24,所以DC⊥PC.因?yàn)镻C∩BC=C,PC,BC?以點(diǎn)C為原點(diǎn),CP,CD所在直線分別為x軸、z軸,過點(diǎn)C作PB的平行線,以此為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,如圖所示.則P(22,0,0),B(22,22,0),F(0,0,2),