新教材2024-2025學年高中數學第4章概率與統計4.2隨機變量4.2.4隨機變量的數字特征第2課時離散型隨機變量的方差分層作業(yè)新人教B版選擇性必修第二冊

第四章其次課時離散型隨機變量的方差A級必備學問基礎練1.[探究點二]設隨機變量X聽從二項分布,且期望E(X)=3,p=15,則方差D(X)等于(A.35 B.45 C.2.[探究點一]已知隨機變量X的分布列為X012P111設Y=2X+3,則D(Y)等于()A.83 B.53 C.23.[探究點一]已知離散型隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3,且P(X≥1)=23,P(X=3)=16,若X的數學期望E(X)=54,則D(4X-3)=A.19 B.16 C.194 D.4.[探究點二]設隨機變量X,Y滿意Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)=716,則D(Y)=(A.325.[探究點一·2024吉林長春高二階段練習](多選題)設0<p<1,已知隨機變量ξ的分布列如下表,則下列結論正確的是()ξ012Pp-p2p21-pA.P(ξ=0)<P(ξ=2)B.P(ξ=2)的值最大C.E(ξ)隨著p的增大而增大D.當p=12時,D(ξ)=6.[探究點一]已知隨機變量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,則P(X=2)=.(結果用數字表示)

7.[探究點二]若隨機事務A在1次試驗中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機變量X表示事務A在1次試驗中發(fā)生的次數,則方差D(X)的最大值為;2D(XB級關鍵實力提升練8.(多選題)袋子中有2個黑球,1個白球,現從袋子中有放回地隨機取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分數為X,則()A.X~B4,23 B.P(X=2)=881C.X的期望E(X)=83 D.X的方差D(X)=9.將3個完全相同的小球放入3個盒子中,盒子的容量不限,且每個小球落入盒子的概率相等.記X為安排后所?？蘸械膫€數,Y為安排后不空盒子的個數,則()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)10.若X是離散型隨機變量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,又已知E(X)=43,D(X)=29,則|x1-x2A.53 B.211.某人共有三發(fā)子彈,他射擊一次命中目標的概率是23,擊中目標后射擊停止,射擊次數X為隨機變量,則方差D(X)=12.已知袋中裝有大小相同質地勻稱的5個球,其中3個黑球和2個白球,從袋中無放回地隨機取出3個球,記取出黑球的個數為X,則E(X)=,D(X)=.

13.某財經雜志發(fā)起一項調查,旨在預料某地經濟前景,隨機訪問了100位業(yè)內人士,依據被訪問者的問卷得分(滿分10分)將經濟前景預期劃分為三個等級(悲觀、尚可、樂觀).分級標準及這100位被訪問者得分頻數分布狀況如下:經濟前景等級悲觀尚可樂觀問卷得分12345678910頻數23510192417974假設被訪問的每個人獨立完成問卷(互不影響),依據閱歷,這100位人士的看法即可代表業(yè)內人士看法,且他們預料各等級的頻率可估計將來經濟各等級發(fā)生的可能性.(1)該雜志記者又隨機訪問了兩名業(yè)內人士,試估計至少有一人預料該地經濟前景為“樂觀”的概率;(2)某人有一筆資金,現有兩個備選的投資意向:物聯網項目或人工智能項目,兩種投資項目的年回報率都與該地經濟前景等級有關,依據閱歷,大致關系如下(正數表示贏利,負數表示虧損):經濟前景等級樂觀尚可悲觀物聯網項目年回報率/%124-4人工智能項目年回報率/%75-2依據以上信息,請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差,并用統計學學問給出投資建議.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.已知m,n均為正數,隨機變量X的分布列如下表:X012Pmnm則下列結論肯定成立的是()A.P(X=1)<P(X≠1)B.E(X)=1C.mn≤1D.D(X+1)<115.某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為5元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應,每天的銷售數據依據[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.試銷結束后,這款酸奶正式上市,廠家只供應整箱批發(fā):大箱每箱50瓶,批發(fā)成本85元;小箱每箱30瓶,批發(fā)成本65元.由于酸奶保質期短,當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,確定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為(45,55]時看作銷量為50瓶).(1)設早餐店批發(fā)一大箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量X,批發(fā)一小箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量Y,求X和Y的分布列;(2)從早餐店的收益角度和利用所學的學問作為決策依據,該早餐店應每天批發(fā)一大箱還是一小箱?(必需作出一種合理的選擇)

參考答案其次課時離散型隨機變量的方差1.C由于二項分布的數學期望E(X)=np=3,所以二項分布的方差D(X)=np(1-p)=3×1-15=125,故選C.2.A由X的分布列得E(X)=0×13+1×13+2×13=1,D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×13+(2-1)2×13=23,因為Y=2X+3,則D(Y)=43.A由題知P(X=0)=13,設P(X=1)=a,則P(X=2)=12-a,因此E(X)=0×13+1×a+2×12-a+3×16=54,解得X0123P1111則D(X)=13×0-542+14×1-542+14×2-542+16×3-542=1916,因此D(4X-3)=16D(X)=19.故選A4.C由題意得,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=716,解得p=14,∴D(X)=2×p×(1-p∴D(Y)=42D(X)=16×38=6.故選C5.ADP(ξ=0)=p-p2=p(1-p)<1-p,所以A正確;令p=34,則P(ξ=2)=14,P(ξ=1)=342=916>14,所以B錯誤;由題意得E(ξ)=p2+2(1-p)=(p-1)2+1,因為0<p<1,所以E(ξ)隨著p的增大而減小,所以C錯誤;當p=12時,E(ξ)=1×122+2×12=54,D(ξ)=0-542×14+1-542×14+2-56.32625∵D(Y)=4D(X)=3.2,∴D(X)=0.8又X~B(n,p),∴np解得p=0.8,n=5.故P(X=2)=C52p2(1-p)3=7.142-22隨機變量X的全部可能取值為0,1,由題意,得XX01P1-pp,從而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.D(X)=p-p2=-p2-p+14+14=-p-1222D(X)-1E(X)=2p-2p2故2D(X)-18.ACD由于每次取球互不影響,故全部結果有4類:①4次全是白球,X=0,其概率為P(X=0)=134=181.②4次只有1次是黑球,X=1,其概率為P(X=1)=C41×23×13③4次只有2次是黑球,X=2,其概率為P(X=2)=C42×232×132=2481④4次只有3次是黑球,X=3,其概率為P(X=3)=C43×233×1⑤4次全是黑球,X=4,其概率為P(X=4)=234=1681.故X~B4,23,故A正確,B錯誤;因為X~B4,23,所以X的期望E(X)=4×23=因為X~B4,23,所以X的方差D(X)=4×23×1故選ACD.9.C因為一共有3個盒子,所以X+Y=3,因此E(X)=E(3-Y)=3-E(Y),D(X)=D(3-Y)=(-1)2D(Y)=D(Y),由題意可知X=0,1,2,P(X=0)=A333×3×3=627=29,P(X=2)=A313×3×3=327=19,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-29-19=23,10.D∵23+∴隨機變量X的可能取值為x1,x2,∴2解得x1=53,x2=故選D.11.3881由題意知X的可能取值為1,2,3,P(X=1)=23,P(X=2)=13×23=2∴X的分布列為X123P221∴E(X)=1×23+2×29+3×E(X2)=1×23+4×29+9×∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=388112.95925P(X=1)=C31C53=310P(X=3)=C3所以X的分布列為X123P331所以E(X)=310×1+35×2+110×3D(X)=310×1-952+35×2-952+110×3-952=92513.解(1)由題意可知100名被訪問者中,預料某地經濟前景為“樂觀”的人數為9+7+4=20人,概率為0.2,若又隨機訪問了兩名業(yè)內人士,至少有一個預料該地經濟前景為“樂觀”的概率為P=0.22+C21·0.2·(1-0.2)=0.(2)由題意可知,預料該地經濟前景為“樂觀”的概率為20100=0.預料該地經濟前景為“尚可”的概率為10+19+24+17100=0.預料該地經濟前景為“悲觀”的概率為2+3+5100=0.1設投資物聯網和人工智能項目年回報率的期望分別為E(X1),E(X2),方差分別為D(X1),D(X2),則E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001856,D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000561.∵E(X1)>E(X2),∴投資物聯網項目比投資人工智能項目平均年回報率要高,但二者相差不大.∵D(X1)>D(X2),∴投資人工智能項目比投資物聯網項目年回報率穩(wěn)定性更高,風險要小,∴建議投資人工智能項目.14.BCD由分布列的性質得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m,當m=14,n=12時,P(X=1)=P(X≠1),故選項A錯誤;因為E(X)=n+2m=1,故選項B正確;因為m,n均為正數,所以1=n+2m≥22mn,即mn≤18,當且僅當n=2m=12時,等號成立,故選項C正確;由n=1-2m>0,得0<m<12.又E(X)=1,所以D(X+1)=D(X)=m+m=15.解(1)若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為85元,依題意,銷量有20,30,40,50四種狀況.當銷量為20瓶時,利潤為5×20-85=15元,當銷量為30瓶時,利潤為5×30-85=65元,當銷量為40瓶時,利潤為5×40-85=115元,當銷量為50瓶時,利潤為5×50-85=165元.隨機變量X的分布列為X1565115165P0.30.40.20.1若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為65元,依題意,銷量有20,30兩種狀況.當銷量為20瓶時,利潤為5×20-65=35元,當銷量為30瓶時,利潤為5×30-65