廣東省廣州市天河區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)二模試題含解析

Page21廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)二模試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】由題可知：，所以．故選：B．2.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合向量共線的定義推斷作答.【詳解】若，則，即，當(dāng)，即時(shí)，滿意，而無意義，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.若綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和為8，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】干脆令計(jì)算可得答案.【詳解】令得，解得故選：C.4.已知隨機(jī)變量的分布列如下：12若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)期望公式及概率和為1列方程求解.【詳解】由已知得解得故選：B.5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在上單調(diào)，則的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件列式，由此求得的取值集合.【詳解】關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以①；，而在上單調(diào)，所以，②；由①②得的取值集合為.故選：C6.若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則下列結(jié)論正確的為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)在上為奇函數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到最小值與最大值的和為0，推導(dǎo)出.【詳解】，由題意得：，故，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故為奇函數(shù)，則，A正確，D錯(cuò)誤；故肯定異號(hào)，所以，BC錯(cuò)誤.故選：A7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.8.已知函數(shù)，且恒成立，若恰好有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由恒成立，可得.留意到，則的零點(diǎn)為.函數(shù)零點(diǎn)為.后分四種狀況探討即可.【詳解】因恒成立，則，則，又，則的零點(diǎn)為，1.又函數(shù)零點(diǎn)為.①當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)，在上有零點(diǎn)，則符合題意；②當(dāng)時(shí)，在上有零點(diǎn)，在上有零點(diǎn)，則不合題意；③當(dāng)時(shí)，在上有零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)，則符合題意；④當(dāng)時(shí)，在上有零點(diǎn)，1，在在上無零點(diǎn)，則不合題意.綜上：.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（）A.是純虛數(shù) B.對應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限C. D.【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的概念推斷A；算出推斷B；算出推斷C；求出推斷D.【詳解】對于A：，其實(shí)部為零，虛部不為零，純虛數(shù)，A正確；對于B：，其在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，B錯(cuò)誤；對于C：，則，C錯(cuò)誤；對于D：，則，D正確.故選：AD.10.下列等式能夠成立的為（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦余弦公式及倍角公式逐一計(jì)算推斷.【詳解】對于A：，A錯(cuò)誤；對于B：，B正確；對于C：，C正確；對于D：，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知圓：，則（）A.圓關(guān)于直線對稱B.圓被直線截得的弦長為C.圓關(guān)于直線對稱的圓為D.若點(diǎn)在圓上，則的最小值為5【答案】BCD【解析】【分析】利用圓的方程可求得圓心與半徑，由直線不過圓心即可推斷A；求出圓心到直線的距離，進(jìn)而求得弦長，即可推斷B；設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，列方程組求出，由此可得所求圓的方程，即可推斷C；表示與點(diǎn)的距離，求得，進(jìn)而可得所求的最小值，即可推斷D．【詳解】圓的一般方程為，，故圓心，半徑為＝5，，則直線不過圓心，故A錯(cuò)誤；點(diǎn)到直線的距離，則圓被直線截得的弦長為，故B正確；設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，則，解得，即，故圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，即，故C正確；表示與點(diǎn)的距離，又，的最小值是，故D正確．故選：BCD．12.如圖，正方體的棱長為2，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）A.直線可能與平面相交B.三棱錐與三棱錐的體積之和為定值C.當(dāng)時(shí)，與平面所成角最大D.當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【解析】【分析】A.利用面面平行的性質(zhì)定理，推斷A；B.利用等體積轉(zhuǎn)化，可推斷B；C.利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面角的定義，即可推斷C；D.首先確定點(diǎn)的位置，再利用球的性質(zhì)，以及空間向量的距離公式，確定球心坐標(biāo)，即可確定外接球的半徑，即可推斷D.【詳解】A.如圖，，且平面，平面，所以平面，同理平面，且平面，平面，且，所以平面平面，且平面，所以平面，故A錯(cuò)誤；B.如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面，平面，，.故B正確；C.因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，且，平面，平面，所以平面，且平面，所以，即，點(diǎn)是的中點(diǎn)，此時(shí)線段最短，又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，即上任何一個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，設(shè)為，設(shè)與平面所成角為，，,當(dāng)時(shí)，線段最短，所以此時(shí)最大，所以最大，故C正確；D.的周長為，為定值，即最小時(shí)，的周長最小，如圖，將平面展成與平面同一平面，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，作，垂足為，，解得：，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，,，連結(jié)，平面，且經(jīng)過的中心，所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心，則,即，解得：，，所以外接球的表面積，故D正確.附：證明平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，且，平面，平面，所以平?平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱錐是正三棱錐，所以經(jīng)過的中心.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查空間幾何的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是第四個(gè)選項(xiàng)的推斷，充分利用數(shù)形結(jié)合和空間向量的綜合應(yīng)用，解決三棱錐外接球的球心問題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的圖象在處的切線方程為____________【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為.故答案為：14.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁在內(nèi)的6名同學(xué)在競賽后合影留念，若甲、乙二人必需相鄰，且丙、丁二人不能相鄰，則符合要求的排列方法共有__種．（用數(shù)字作答）【答案】144【解析】【分析】依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將甲乙看成一個(gè)整體，與甲、乙、丙、丁之外兩人全排列，②排好后，有4個(gè)空位，在其中任選2個(gè)，支配丙、丁，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將甲乙看成一個(gè)整體，與甲、乙、丙、丁之外的兩人全排列，有種狀況，②排好后，有4個(gè)空位，在其中任選2個(gè)，支配丙、丁，有種狀況，則有種排法，故答案為：144．15.在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段和上，且，，當(dāng)__________時(shí)，則有最小值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】先求出，，，，則，代入結(jié)合均值不等式即可求出答案.【詳解】因?yàn)樵诘妊菪沃?，已知，，，，可知，所以，，，，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最小值．故答案為：；.16.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案．圖形的作法為：從一個(gè)正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，將圖①，圖②，圖③，圖④中的圖形周長依次記為，則______．【答案】##【解析】【分析】視察圖形可知周長形成的數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求解作答.【詳解】視察圖形知，各個(gè)圖形的周長依次排成一列構(gòu)成數(shù)列，從其次個(gè)圖形起先，每一個(gè)圖形的邊數(shù)是相鄰前一個(gè)圖形的4倍，邊長是相鄰前一個(gè)圖形的，因此從其次個(gè)圖形起先，每一個(gè)圖形的周長是相鄰前一個(gè)圖形周長的，即有，因此數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，，所以.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用計(jì)算整理得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）將變形，利用裂項(xiàng)相消法求，進(jìn)一步視察證明不等式.【小問1詳解】①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，即，又當(dāng)時(shí)，，解得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；【小問2詳解】由（1）得，，因?yàn)椋?8.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若角的平分線交于且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡得到，依據(jù)正弦定理計(jì)算得到，得到角度.（2）設(shè)，，確定，計(jì)算，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，即，即.由正弦定理得，，，故.，，故，又，故，故；【小問2詳解】，設(shè)，，依據(jù)向量的平行四邊形法則：，即，，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.19.在四棱錐中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中點(diǎn)，，，.（1）證明：平面EAC.（2）若四棱錐的體積為，求直線EC與平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造中位線的方法來證得平面EAC.（2）依據(jù)四棱錐的體積求得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線EC與平面PAB所成角的正弦值.【小問1詳解】連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫媲医痪€為，平面，所以平面.設(shè)，則，解得.因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以，?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，則，所以直線EC與平面PAB所成角的正弦值為.20.某創(chuàng)業(yè)者支配在某旅游景區(qū)旁邊租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定將來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)旁邊五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天，這五家“農(nóng)家樂”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/日），t為入住天數(shù)（單位：天），以頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖．x100150200300450t9065453020（1）若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深化調(diào)查，記為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù)，求的概率分布列；（2）令，由散點(diǎn)圖推斷與哪個(gè)更合適于此模型（給出推斷即可，不必說明理由）？并依據(jù)你的推斷結(jié)果求回來方程；（，的結(jié)果精確到0.1）（3）依據(jù)第（2）問所求的回來方程，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí)，100天銷售額L最大？（100天銷售額L＝100×入住率×收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，．【答案】（1）012P（2）（3）150元/天【解析】【分析】（1）依據(jù)圖象得出的全部可能狀況，利用超幾何分布求得不同下的概率，進(jìn)而列出分布列.（2）由散點(diǎn)圖推斷出更適模型的回來方程，分別求出和，求出回來方程.（3）寫出100天銷售額L的表達(dá)式，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)求得最大值，即可得出收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).【小問1詳解】由題意，抽取兩家深化調(diào)查，可能為0，1，2.,，，∴的分布列為：012P【小問2詳解】由散點(diǎn)圖可知,散點(diǎn)并非勻稱分布在一條直線的兩側(cè)，而是大致分布在一條曲線的兩側(cè)，不符合線性回來模型要求，∴更合適于此模型，∵∴∴回來方程為：【小問3詳解】由題意得，,在中當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取最大值，∴收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為150元/天時(shí)，100天銷售額L最大.21.已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.（1）當(dāng)，且為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；（2）記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn),連接.利用幾何法，分別證明出,為的角平分線，即可證明；（2）利用“設(shè)而不求法”分別表示出，解方程求出.【小問1詳解】如圖示：當(dāng)時(shí)，恰為拋物線的焦點(diǎn).由拋物線的定義可得：.取的中點(diǎn),連接,則為梯形的中位線，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,所以.在中，由可得：.因?yàn)闉樘菪蔚闹形痪€，所以，所以，所以.同理可證：.在梯形中，,所以，所以，所以,即.【小問2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.由直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，可設(shè).設(shè),則，消去可得：，所以，.則.而.所以，解得：.22.已知定義在上的函數(shù).（1）若，探討的單調(diào)性；（2）若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）分類探討，答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類探討解和作答.（2）當(dāng)時(shí)，可得為隨意正數(shù)，