廣東省五校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試卷

Page24廣東省五校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.留意事項(xiàng)：1.開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自已的校名、姓名、班級、考號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必需保持答題卡的整齊.第一部分選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由得解得或，所以或，又由解得，所以，所以，故選:D.2.某地天氣預(yù)報中說將來三天中該地下雪的概率均為0.6，為了用隨機(jī)模擬的方法估計將來三天中恰有兩天下雪的概率，用計算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)整數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時，表示該天下雪，其概率為0.6，每3個隨機(jī)數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機(jī)數(shù)：522553135354313531423521541142125323345131332515324132255325則據(jù)此估計該地將來三天中恰有兩天下雪概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】20組數(shù)據(jù)中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9組隨機(jī)數(shù)，所以.故選：B3.設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是（）A.兩條直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線【答案】A【解析】【詳解】設(shè)，則，可得：，化簡得：，即或，則在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是兩條直線.故選：A4.在中，已知，，，滿意此條件的三角形只有一個，則滿意（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】由正弦定理得，則有，.∵滿意條件的三角形只有一個，即有唯一的角與其對應(yīng)，則，故.故選：D5.圓內(nèi)接四邊形中，，是圓的直徑，則（）A.12 B. C.20 D.【答案】B【解析】【詳解】由題知，，∴.故選：B.6.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么取得最小正值時為（）A.11 B.12 C.7 D.6【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，故可得，因?yàn)椋士傻?，即，所以，可得，又因?yàn)椋士傻?，所以?shù)列的前6項(xiàng)和有最大值，且，又因?yàn)?，，故取得最小正值時n等于.故選：A.7.已知過橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，則即，所以，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，即，又，所以，，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B8.定義在的函數(shù)滿意：對，，且，成立，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由且，，則兩邊同時除以可得，令，則在單調(diào)遞增，由得且，即解得，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9.已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，在線段上存在一點(diǎn)，使得到漸近線的距離為，則雙曲線離心率的值可以為（）A. B.2 C. D.【答案】AB【解析】【詳解】的一條漸近線方程為，設(shè)，，，整理得：，因?yàn)?，所以，即，解得：，因?yàn)椋?，，，所以AB正確，CD錯誤.故選：AB10.已知正實(shí)數(shù)，滿意，下列說法正確的是（）A.的最大值為2 B.的最小值為4C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】【詳解】對于A,因?yàn)?，即，解得，又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，，所以，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故A錯誤；對于B，，即，解得（舍），當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故B正確；對于C,由題可得所以，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，故C正確；對于D,，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故D正確，故選:BCD.11.已知正方體的邊長為2，為正方體內(nèi)（包括邊界）上的一點(diǎn)，且滿意，則下列說正確的有（）A.若為面內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度為B.過作面使得，若，則的軌跡為橢圓的一部分C.若，分別為，的中點(diǎn)，面，則的軌跡為雙曲線的一部分D.若，分別為，的中點(diǎn)，與面所成角為，則的范圍為【答案】ABD【解析】【詳解】對于A項(xiàng)，正方體中，平面，若為面內(nèi)一點(diǎn)，所以.又因?yàn)椋?，在中，所以故點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的個圓弧，所以點(diǎn)的軌跡長度為故A正確.對于B項(xiàng)，因?yàn)?，即為定值，線段也為定值，取的中點(diǎn)，故點(diǎn)的軌跡是以為軸線，為母線的圓錐的側(cè)面上的點(diǎn).設(shè)平面即為下圖的圓面，過點(diǎn)作的平行線交圓錐底面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，從圖形可得，易得，故的軌跡為橢圓的一部分，所以B正確.對于C項(xiàng),平面與軸線所成的角即為平面與所成的角，是平面與軸線所成的角，在中，而母線與軸線所成的角為，在中，即母線與軸線所成的角與截面與軸線所成的角，所以點(diǎn)的軌跡應(yīng)為拋物線，故C不正確.對于D項(xiàng),以為原點(diǎn)，分別為軸的非負(fù)半軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接并延長交上底面于點(diǎn)，設(shè)，則，則，設(shè)面的法向量為所以所以與面所成角的正弦值為又因?yàn)樗裕蔇正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)為奇函數(shù)D.為函數(shù)函數(shù)圖像的對稱軸【答案】CD【解析】【詳解】對于A，，定義域?yàn)椋院瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B,定義域?yàn)?，所以函?shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C,，定義域?yàn)椋O(shè)，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；對于D,設(shè)定義域?yàn)?，，所以為函?shù)函數(shù)圖像的對稱軸，故D正確，故選:CD.其次部分非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知首項(xiàng)為2的數(shù)列對滿意，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】【解析】【詳解】設(shè)，即，故，解得：，故變形為，，故是首項(xiàng)為4的等比數(shù)列，公比為3，則，所以，故答案為：14.已知直線的方向向量為，點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】【詳解】，，所以，點(diǎn)到的距離為．故答案為：．15.函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，直線（）與這部分圖象相交于三個點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為，，，則______.【答案】【詳解】由圖可知，，即，則，解得，，故.則，最小正周期為.直線（）與這部分圖象相交于三個點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為，，，則由圖可知，.∴.故答案為：16.已知實(shí)數(shù)x、y滿意，則的取值范圍是________．【答案】.【解析】【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿意，當(dāng)時，方程為的圖象為雙曲線在第一象限的部分；當(dāng)時，方程為的圖象為橢圓在第四象限的部分；當(dāng)時，方程為的圖象不存在；當(dāng)時，方程為的圖象為雙曲線在第三象限的部分；在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象如圖所示，表示點(diǎn)到直線的距離的倍依據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為，令，即，與雙曲線漸近線平行，視察圖象可得，當(dāng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相切時，點(diǎn)到直線的距離最大，即當(dāng)直線與橢圓相切時，最大，聯(lián)立方程組，得，，解得，又因?yàn)闄E圓的圖象只有第四象限的部分，所以，又直線與的距離為，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離大于1，所以綜上所述，，所以，即，故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求的值.【答案】（1）（2）【小問1詳解】令，則.故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】，令，由得，故關(guān)于對稱，故當(dāng)時，關(guān)于對稱.故.18.已知等比數(shù)列對隨意的滿意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為，中較小的數(shù)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則有，兩式相除化簡得，解得，又，可得.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】，則.令，即，∵，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；∴.故當(dāng)，；當(dāng)時，.故.19.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線與曲線交于（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），求的最小值.【答案】（1）或.（2）20【小問1詳解】由題知，動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，設(shè)，所以，當(dāng)時，，化簡得，當(dāng)時，，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，或..【小問2詳解】由題得，過點(diǎn)作直線與曲線交于（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），所以由（1）得，設(shè)直線為，將代入中得，所以，即，，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以所以的最小值為20.20.已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，且，設(shè).（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，且，所以?shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即，即，可得，，所以時，，即，而此時時，，所以；【小問2詳解】由（1），所以，所以，所以.21.已知四棱錐中，，，，，，面面，.（1）求證：；（2）求面與面所成的二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）0【小問1詳解】由題知，，，，，，面面，.過作，過作，即，連接交于，因?yàn)?，所以四邊形平行四邊形，所以，因?yàn)樵谥校?所以,所以，因?yàn)?，，，所以所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以在中?即，又因?yàn)?，平面平面且交于，所以面，因?yàn)槊妫?，因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?【小問2詳解】由（1）得，面，平面，，作,所以面，，所以，所以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向得空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，所?所以,設(shè)面與面的法向量分別為，所以，即，令，得，，即，令，得，設(shè)面與面所成的二面角為，所以面與面所成的二面角的余弦值為.所以面與面所成的二面角的余弦值為0.22.換元法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛，其目的在于把不簡單解決的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情景.例如，已知，，，求的最小值.其求解過程可以是：設(shè)，，其中，則；當(dāng)時取得最小值16，這種換元方法稱為“對稱換元”.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)，的距離之和為4.（1）請利用上述方法，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過軌跡與軸負(fù)半軸交點(diǎn)作斜率為的直線交