山西省晉中市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題理

Page192024~2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（理科）（時間：120分鐘滿分：150分）留意事項1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?姓名?班級?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡相應(yīng)的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案用0.5毫米及以上黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則等于（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A.0B.C.1D.3.下列命題中，真命題有（）①；②；③若命題是真命題，則是真命題；④是奇函數(shù).A.4個B.3個C.2個D.1個4.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則的值為（）A.B.C.或D.5.下午活動時間，全校進(jìn)行大掃除，某班衛(wèi)生委員將包括甲?乙在內(nèi)的6位同學(xué)平均分成3組，分別派到3塊班級管轄區(qū)域清理衛(wèi)生，問甲?乙被分到同一個管轄區(qū)域的概率為（）A.B.C.D.6.中國的技術(shù)領(lǐng)先世界，技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是聞名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽視不計.依據(jù)香農(nóng)公式，若帶寬增大到原來的倍，信噪比從1000提升到16000，則比原來大約增加了（）（附：）A.B.C.D.7.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，若，則等于（）A.27B.25C.20D.108.已知的綻開式中的系數(shù)為5，則等于（）A.B.C.D.9.已知是奇函數(shù)并且是上的單調(diào)函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.10.若點是圓上任一點，則點到直線距離的最大值為（）A.5B.6C.D.11.如圖，已知拋物線，圓，過點的直線與拋物線和圓依次交于，則等于（）A.1B.2C.4D.812.已知三棱錐的頂點在底面的射影為的垂心，若的面積為的面積為的面積為，滿意，當(dāng)?shù)拿娣e之和的最大值為8時，則三棱錐外接球的體積為（）A.B.C.D.二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則向量與向量的夾角為__________.14.若直線是函數(shù)的圖象在某點處的切線，則實數(shù)__________.15.已知函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿意條件的的最大值為__________.16.若數(shù)列滿意，令，則__________.三?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個試題考生都應(yīng)當(dāng)作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.（本小題滿分12分）在中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若為邊上的一點，，且__________，求的面積.①是的平分線；②為線段的中點.（從①，②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）.18.（本小題滿分12分）如圖所示，點在圓柱的上底面圓周上，四邊形為圓柱下底面的內(nèi)接四邊形，且為圓柱下底面的直徑，為圓柱的母線，且，圓柱的底面半徑為1.（1）證明：；（2）為的中點，點在線段上，記，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或起先呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛藏期.一探討團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛藏期（單位：天）人數(shù)501502003002006040（1）求這1000名患者的潛藏期的樣本平均數(shù)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果四舍五入為整數(shù)）；（2）該傳染病的潛藏期受諸多因素的影響，為探討潛藏期與患者年齡的關(guān)系，以潛藏期是否超過8天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)列聯(lián)表推斷，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān)；潛藏期8天潛藏期天總計50歲以上（含50）10050歲以下65總計200（3）以這1000名患者的潛藏期超過8天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛藏期超過8天的概率，每名患者的潛藏期是否超過8天相互獨立.為了深化探討，該探討團(tuán)隊隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其中潛藏期超過8天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，橢圓上的點與左?右頂點所構(gòu)成三角形面積的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過橢圓右焦點的直線的斜率分別為，滿意交于點，交于點，線段與的中點分別為.推斷直線是否過定點，若過定點求出該定點；若不過定點，請說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對隨意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分，請考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.22.（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的一般方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點在上，點在上，求的最小值及此時點的直角坐標(biāo).23.（本小題滿分10分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若，且的最小值為，求證：.2024~2024學(xué)年第一學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)答案（理科）1.B，，故選B.2.C，則，故選C.3.B對于①，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，即，所以①正確；對于②，當(dāng)時，，所以成立，所以②正確；對于③，若命題是真命題，則至少有一個為真命題，所以真假不能推斷，所以③錯誤；對于④，令，定義域為，則，所以是奇函數(shù)，所以④正確，故選B.4.B依題意，雙曲線的漸近線方程為，因兩條漸近線的夾角為，于是得直線的傾斜角是或，即或，解得或，而，則，故選B.5.B6位同學(xué)平均分成3組，并派到3塊班級管轄區(qū)域的狀況有（種）.其中甲乙被分到同一個管轄區(qū)域的狀況有（種），所以所求概率，故選B.6.D由題意，所以比原來大約增加了，故選D.7.A設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為所以解得則，故選A.8.D由題意知：，解得，故選D.9.C是奇函數(shù)并且是上的單調(diào)函數(shù)，等價于方程在上有三個不同的實數(shù)解，即函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；且，的取值范圍為，故選C10.C由題知，直線過定點（0，-1），所以圓心到定點的距離為所以點到直線距離的最大值為，故選C.11.A圓，點與拋物線的焦點重合，設(shè)，所以，，①當(dāng)直線的斜率不存在時，.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消，得.綜上，，故選A12.D連接交千點，連接（圖略）.因為為的垂心，所以，因為平面，所以，所以平面，所以，可得，因為，，所以，所以，所以平面，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，所以，因此兩兩垂直.設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，所以，解得.所以三棱錐外接球的體積為.故選D.13.解析設(shè)向量與向量的夾角為.，，，.14.解析設(shè)切點坐標(biāo)為，則所以.15.解析由，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為由題知，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.16.解析：列舉法，，，，，，，，即，又，，，，，，，17.解（1）由正弦定理知，，，代入上式得，，（2）若選①：由平分得，，，即.在中，由余弦定理得，又，聯(lián)立，得，解得舍去，.若選②：得，，得，在中，由余弦定理得，即，聯(lián)立可得，.18.（1）證明為直徑，點在圓上且不同于點，，又為母線，平面，又平面，從而，又，平面，又平面，（2）解，圓柱的底面直徑為2，即，又為的中點，，即四邊形為正方形，兩兩相互垂直，以為原點，分別以的方向為，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，令，易知平面的一個法向量為，.又由題知二面角為銳二面角，所求的余弦值為.19.解（1）（天）.（2）由題設(shè)知：潛藏期天數(shù)在的頻率為，潛藏期天數(shù)在的頻率為，故200人中潛藏期在上有140人，在上有60人.列聯(lián)表如下：潛藏期8天潛藏期8天總計50歲以上（含50）752510050歲以下6535100總計14060200，故在犯錯誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為潛藏期與患者年齡有關(guān).（3）由題知，一名患者潛藏期超過8天的概率為，設(shè)20名患者中潛藏期超過8天的人數(shù)為，則，且，由題意得，即化簡得解得，即潛藏期超過8天的人數(shù)最有可能是6.20.解（1）設(shè)右焦點，由題知求得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）方法一：設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得消去得，由根與系數(shù)的關(guān)系知，則，代入直線的方程得，所以，同理得.①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，將點的坐標(biāo)代入直線，得易知為方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，由題知，所以，得，所以直線，所以直線過定點.②當(dāng)直線的斜率不存在時，，即，所以，且.不妨設(shè)，所以，即直線，滿意過定點.綜上，直線過定點.方法二：設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去得，.由根與系數(shù)的關(guān)系知，，，代入直線的方程得，所以，同理得.①當(dāng)直線的斜率存在時，即.，（上式結(jié)合化簡），直線，由橢圓的對稱性可知，若定點存在，則必在軸上，所以令，得，所以直線過定點.②當(dāng)直線的斜率不存在時，，即，所以.不妨設(shè)，所以，即直線，滿意過定點.綜上，直線過定點.21.解（1），①當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，令，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）方法一：對隨意的，恒成立，即，今，旦，，且，今，，且由題意得，，即.下面證明對于隨意的，恒成立.當(dāng)時，當(dāng)時，即.即在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，0，即得證.故說明，滿意條件.方法二：令，，當(dāng)時，，在上單調(diào)?增，，在上恒成立.對隨意的恒成立.即恒成立，等價于恒