山東省威海市乳山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題

PAGE12-山東省威海市乳山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．2．若曲線在處的切線垂直于直線，則（

）A．2 B．1 C．4 D．33．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特殊是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了許多珍貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)的極值點(diǎn)是1，則（

）A． B． C． D．15．已知函數(shù)f（x）＝xlnx+x（x﹣a）2（a∈R），若對(duì)隨意x∈[1則a的取值范圍為（）A．(-∞，94) B．(-∞，326．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C． D．7.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是（

）A． B．C． D．10．函數(shù)的定義域?yàn)?，它的?dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是的微小值點(diǎn)C．函數(shù)在上有極大值 D．是的極大值點(diǎn)11．已知，則（

）A．曲線在處的切線平行于x軸 B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．的微小值為e D．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解12．已知函數(shù)，函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)B．，使C．關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．函數(shù)的值域?yàn)槿?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______.14．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)________.15．記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在，滿意且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”.已知：，若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.16．已知函數(shù)，若存在一條直線同時(shí)與兩個(gè)函數(shù)圖象相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求a，b的值；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(3)求函數(shù)在上的最值．18．設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).19.已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范圍.20．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)探討的單調(diào)性；(2)若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．已知函數(shù)．(1)探討函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意，存在，使，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣ax．（Ⅰ）探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x2，求證：x1高二數(shù)學(xué)月考試卷參考答案一、單選題1．【詳解】依題意可知切點(diǎn)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，，即又即故選：D.2．【詳解】，，由題意得：，解得：故選：B3．【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)椋訢錯(cuò)誤．故選：B．4．【詳解】因?yàn)?，所以，由題意，得，即，解得，即，則.故選：B.5．解：對(duì)函數(shù)f（x）＝xlnx+x（x﹣a）2（a∈R）求導(dǎo)，得：f′（x）＝1+lnx+（x﹣a）2+2x（x﹣a），?x∈[12，2]，xf′（x）＞f（x）?x[1+lnx+（x﹣a）2+2x（x﹣a）]＞xlnx+x（x﹣a）2則?x∈[12，2]，2a＜2x+1x，∵2x+當(dāng)且僅當(dāng)2x=1x，即x=22時(shí)“＝”成立，∴2a＜2∴a的取值范圍是（﹣∞，2]．故選：C．6．【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，則由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上減函數(shù)，，即.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。故選：A.7.【解析】定義域?yàn)椋视袃蓚€(gè)不同的根，即，與兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，其中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在處取得極大值，也是最大值，，且當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，畫(huà)出的圖象如下：明顯要想，與兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，須要滿意，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B8．【詳解】由題意，函數(shù)，可得，又由函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即在上有兩解，即在在上有不等于2的解，令，則，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以且，又由在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，綜上所述，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，即，故選C.二?多選題【詳解】，，，，故選：AC.10．【詳解】由的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此有，是的極大值點(diǎn)，所以選項(xiàng)A、D正確；當(dāng)，或時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上沒(méi)有極大值，且不是的微小值點(diǎn)，所以選項(xiàng)B、C不正確，故選：AD11．【解析】因?yàn)椋▁＞0且），得，所以，，所以曲線在x＝e處的切線平行于x軸，故A正確；令，得x＞e，令，得0＜x＜1或1＜x＜e，所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以的微小值為，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí)，的圖象與直線y＝－1有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤．故選：AC12．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，是函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，．綜上可得，選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)D，，即函數(shù)的值域?yàn)?，選項(xiàng)D正確．結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖像可得：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則也有且只有一個(gè)零點(diǎn)；所以對(duì)于選項(xiàng)C，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?關(guān)于的方程有一個(gè)非零的實(shí)數(shù)根?函數(shù)的圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn)，且，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)改變時(shí)，，的改變狀況如下：0+00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增所以極大值，微小值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)改變時(shí)，，的改變狀況如下：120+e單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增所以微小值．綜上可得，或，解得的取值范圍是，故C正確．故選：BCD．三?填空題：13．【詳解】由，得，所以切線的斜率為，又，所以切線方程為即故答案為：14．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．故答案為：，．15．【詳解】函數(shù)與，則與，由題意得，則，令，則，令，則，所以時(shí)，則，故單調(diào)遞增；時(shí)，則，故單調(diào)遞減；所以在處取得微小值，也是最小值，，且時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為:16．2．【詳解】數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)，存在一條直線同時(shí)與兩函數(shù)圖象相切；當(dāng)，若存在一條直線同時(shí)與兩函數(shù)圖象相切，則時(shí)，有解，所以，令，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，且在上恒成立，所以，即．故答案為：解答題17．（1）因，故，由于在處取得極值，故有即,化簡(jiǎn)得解得,經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，,令解得或，令解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以在處取得極值，符合題意，所以．（2）由（1）得，故．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．（3）由（1）知．令，得．在時(shí)，隨x的改變．，的改變狀況如下表所示：x23正0負(fù)0正11單調(diào)遞增18單調(diào)遞減單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有微小值．因?yàn)椋虼嗽诘淖钚≈禐椋畲笾禐?8．（1），曲線在點(diǎn)處與直線相切，，∴（2），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；此時(shí)是的極大值點(diǎn)，是的微小值點(diǎn)．19.（1）函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，由得，由得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有微小值，微小值為，無(wú)極大值．（2），不等式成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，所以a的取值范圍是.20．（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：，若，則，即在上是增函數(shù)；若，由得，由得，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（2）當(dāng)時(shí)，，，令，依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，即恒成立，令，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．【解析】（1）定義域?yàn)椋?，令，得或．?dāng)即時(shí)：，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間有，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．即存在，使，即存在，使得，即，令，，則，由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以．22．解：（I）f′（x）＝ex﹣1﹣a，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞lna，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，由f′（x）＜0得x＜lna，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減；（II）證明：不妨設(shè)x1＜x2，所以a=ex-1x在（0令g（x）=ex-1x，x∈（0，2當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，又g（1）＝1，g（2）=e2，x→0時(shí)，g（x）→所以1＜a＜1要證x1x2＞1a，即證ax又